PREUVES PAR 9 OU PAR 11 DE LA MULTIPLICATION ET DE LA DIVISION

86. Le reste de la division d'un nombre par 9 ou par 1 1 peut, comme on vient de le voir, être déterminé irès-rapidemenl. On a déduit de cette propriété un moyen fort simple de faire la preuve de la multiplication et de la division.

Multiplication. — Supposons qu'on ait eu à multiplier 2096 par 347 et qu'on ait trouvé pour produit 727312 (35).

D'après le théorème du n°81, on divisera par 9 le produit obtenu et ses deux facteurs. On trouvera ainsi les restes 4. 8 61 5. En divisant par 9 le produit des restes des deux facteurs, c'est-à-dire 8 x 5 ou ^o, on doit trouver de nouveau le reste 4 donné par le produit effectué. C'est ce qui a lieu en effet, de sorte que la vérification réussit.

De là résulte la règle suivante :

Pour faire la preuve par g de la multiplication, on fait le produit des restes de la division par (^ des facteurs donnés; si le résultat est égal au reste de la division par 9 du produit obtenu ou ne difère de ce reste que d'un multiple de 9, oji a une vérification du premier calcul.

Division. — Supposons qu'ayant eu à diviser 590549 par SSg on ait trouvé pour quotient 687 et pour reste 416 (61).

Les restes de la division par 9 des nombres 859 et 687 étant 4 et 3, le produit 859x687 ne diffèrede4x3que d'un multiple de 9, d'après ce qui a été dit plus haut, et comme 4^6 est un multiple de 9 plus 2, les sommes 859X687 +4'6 et 4x3 + 2 ne diffèrent que d'un multiple de 9. Or, si la division proposée a été bien faite, 590549 est égal à 859x687 + 416, et, comme 590549 est un multiple de 9 plus 5, les nombres

DIVISIBILITÉ. 5i

5 el 4 X 3 + a ne peuvent différer que d'un multiple de 9; la différence de ces nombres étant 9, la vérification a lieu.

De là résulte la règle suivante :

Pour faire la preuve par 9 de la division, on fait le produit des restes par 9 du diviseur et du quotient et l'on ajoute à ce produit le reste par g du reste trouvé. Si le résultat est égal au reste du dividende par 9 ou ne digère de ce reste que d'un multiple de 9, on a une vérification du premier calcul.

87. Tout ce que nous venons de dire à l'égard du diviseur g s'applique sans modification à tout autre diviseur et, en particulier, au diviseur 11. Ainsi la preuve des opérations par 11 s'effectue de la même manière que la preuve par 9. De ce que la preuve par 9 ou par 11 d'une opération a réussi, on ne peut conclure avec certitude que le résultat obtenu est exact; mais on est en droit d'affirmer que l'erreur commise, s'il y en a une, est un multiple de 9 ou de 11. Donc, lorsque les deux preuves réussissent, l'erreur, si elle existe, doit être à la fois un multiple de 9 et un multiple de 1 1 .

Remarquons que les diviseurs 2, 4> 5, 8, i5,. . . donnent des restes encore plus faciles à calculer que les diviseurs 9 et 11. Si on ne les emploie pas, c'est q.ue la preuve par ces différents nombres ne fait porter la vérification que sur le premier, les deux premiers ou les trois premiers chiffres à droite du nombre proposé, tandis que, dans la preuve par 9 ou par 11, tous les chiffres de ce nombre interviennent.

5x LIVRE II. — CHAPITRE II.