RECHERCHE DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR DE DEUX NOMBRES

91. Soient les deux nombres 852 el 192. En les divisant l'un par l'autre, nous trouvons pour quotient 4 et pour reste 84. Nous en concluons que le plus grand commun diviseur cberché n'est pas 192 (89), el que ce plus grand commun diviseur est égal à celui des nombres 192 et 84 (90).

Divisons alors 192 par 84 ; nous trouvons pour quotient 2 et pour reste 24. Le plus grand commun diviseur cherché étant égal à celui des nombres 84 et 24, divisons 84 par 24; nous trouvons pour quotient 3 et pour re»te 12. La recherche étant ramenée à celle du plus grand commun diviseur des nombres 24 el 12, divisons 24 par 12; nous trouvons pour quotient 2 et pour reste o; par suite, le plus grand commun diviseur demandé est 12.

On dispose habituellement l'opération comme ci-dessous, en plaçant chaque quotient au-dessus du diviseur correspondant :

92. Ce qui précède permet d'énoncer la règle suivante : Pour avoir le plus grand commun diviseur de deux nombres, on divise le plus grand par le plus petit; si le reste de cette division est nul, le plus petit nombre est le plus grand commun diviseur cherché. Dans le cas contraire , on divise le plus petit nombre par ce premier reste, et l'on obtient ainsi un deuxième reste; si ce deuxième reste est nul, le premier reste est le plus grand commun diviseur cherché. Dans le cas contraire, on divise le premier reste par le deuxième, et l'on con-

tînue ainsi jusqu'à ce qu'on trouve un reste nul : le reste qui précède ce reste nul est le plus grand commun diviseur deviandè.

93. En appliquant la règle précédente, on ne peut manquer d'arriver à un reste nul; car, la série des restes étant indéfiniment décroissante, on finira, dans les cas les plus défavorables, par obtenir le reste i qui divise tous les nombres.

Lorsque deux nombres ont ainsi l'unité pour plus grand commun diviseur, c'est-à-dire lorsqu'ils n'ont en réalité aucun diviseur commun, on dit qu'ils sont premiers entre eux,