RECHERCHE DES DIVISEURS D'UN NOMBRE

128. I. Pour que deux nombres soient divisibles l'un par l'autre, il faut et il suffit que chacun des facteurs premiers du diviseur se trouve dans le dividende avec un exposant au moins égal à celui qu'il a dans le diviseur.

En premier lieu, celle condition est nécessaire; car, si le dividende esl divisible par le diviseur, il est égal au produit du diviseur par le quolieni; par conséqueni, il se compose de lous les facteurs premiers du diviseur ei, en outre, de ceux du quotient.

En second lieu, celle condilion esl suffisante; car, si elle esl remplie, on pourra décomposer le dividende en deux parlies, dont l'une sera le produit des facteurs premiers qui composent le diviseur, et dont l'autre, produit des facteurs premiers restants, représentera le quotient (54).

11 résulte de ce ihéorèmeque, pour former tous les diviseurs d'un nombre, il suffit de le décomposer en facteurs premiers, puis de combiner entre eux ces fadeurs de toutes les manières possibles.

129. Proposons-nous d'obtenir tous les diviseurs du nombre 16776. Nous avons trouvé (125)

Il est alors évident que tout diviseur de 16776, y compris l'unité et le nombre donné lui-même, peut être considéré comme le produit de trois facteurs qui sont : le premier, l'un des nombres i, 2, q}, 2'; le deuxième, l'un des nombres i, 3, 3'; le troisième, l'un des nombres i, 233. Par conséqueni, on aura lous les diviseurs de 16776 en formant le tableau suivant :

el en prenant lous les produits qu'on obtient en multipliant chaque nombre de la première ligne par chaque nombre de la deuxième, puis les différents résultats trouvés par chaque nçmbre de la troisième ligne.

APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS, yi

En miillipliant d'abord les nombres de ia première ligne par ceux de la deuxième, on forme ce second tableau :

puis, en mullipliani les nombres qu'il coniieni par ceux de la troisième ligne du premier tableau, on obtient ce troisième tableau :

qui renferme tous les diviseurs de 1677Ô. La règle pratique est évidente.

130. II. Le nombre des diviseurs d'un nombre est égal au produit des exposants de ses facteurs premiers, chaque exposant étant préalablement augmenté d'une unité.

Reporlons-nous à l'exemple précédent. Pour avoir les diviseurs du nombre 16776, on forme le tableau

et l'on multiplie chaque nombre de la première ligne par chaque nombre de la deuxième, puis les résultats obtenus par chaque nombre de la troisième.

Or, les exposants des facteurs premiers du nombre donné étant 3, 2, I, la première ligne renferme (3 + i) nombres, la deuxième en renferme 2-1-1, et la troisième i -f- 1. En multipliant les nombres de la première ligne par ceux de la seconde, on aura donc (3 -i- i) x (2 -h i) produits; et, en multipliant ces premiers résultats par les nombres de la troisième ligne, on aura (3-i-i)x(2-Hi)X(i + i) produits.

Le nombre des diviseurs de 16776 est donc

(Sh- i)x(2-i-i)x (i + i); ce qui démontre le théorème énoncé.

131. Le nombre des diviseurs d'un nombre est impair on pair, suivant que ce nombre est ou n'est pas un carré.

En effet, lorsqu'un nombre est un carré, les exposants de ses facteurs premiers sont tous pairs (127), et le nombre de ses diviseurs est impair comme produit de nombres impairs. Si, au contraire, le nombre donné n'est pas un carré, l'un de ses facteurs premiers au moins a un exposant impair, et le nombre de ses diviseurs devient pair comme produit d'un nombre pair par un nombre quelconque.

COMPOSITION DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ET DU PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE DE DEUX OU PLUSIEURS NOMBRES.

132. I. Si deux ou plusieurs nombres sont décomposés en facteurs premiers , on obtient leur plus grand commun diviseur en faisant le produit des facteurs premiers communs à ces nombres pris chacun avec son plus petit exposant.

En effet, considérons deux ou plusieurs nombres et supposons, pour fixer les idées, que ces nombres n'aient que les seuls facteurs premiers. 3, 5, 7, communs. Supposons, en outre, que le facteur 3 se trouve dans l'un des nombres avec l'exposant 2, et dans les autres nombres avec des exposants égaux ou supérieurs à 2; que le facteur 5 se trouve dans l'un des nombres avec l'exposant 4. el dans les autres nombres avec des exposants égaux ou supérieurs à 4; enfin que le facteur 7 se trouve dans l'un des nombres avec l'exposant i, et dans les autres avec des exposants égaux ou supérieurs à i.

Cela posé, un diviseur commun des nombres proposés ne peut contenir d'autres facteurs premiers que 3, 5, 7, et il ne peut les contenir qu'avec des exposants au plus égaux à 2, 4, I, respectivement; il est donc <^/m plus égal à 3^ X 5' x 7. D'ailleurs, 3' X 5' X 7 divise effectivement chacun des nombres proposés (128); ce produit est donc leur plus grand commun diviseur.

133. II. Si deux ou plusieurs nombres sont décomposés en facteurs premiers, on obtient leur plus petit commun multiple en faisant le produit de tous les facteurs premiers ( communs