DES FRACTIONS EN GÉNÉRAL

13G. D'après ce qui précède, on forme une fraction en partageant l'unité en un nombre quelconque de parties égales el en prenant une ou plusieurs de ces parties. Le nombre des parties égales dans lesquelles l'unité est ainsi partagée est le dénominateur de la fraction, et le nombre qui exprime combien on a pris de ces parties est le numérateur. Le numérateur el le dénominateur sont aussi appelés les termes de la fraction.

Pour écrire une fraction, on écrit le dénominateur au-dessous

du numérateur, en les séparant par un trait horizontal. Ainsi

-représente la fraction qui a 5 pour numérateur et 7 pour

dénominateur.

Pour énoncer une fraction, on énonce d'abord le numéra-

DES FRACTIONS. gr

leur, puis le dénominateur, en faisant suivre ce dernier de la

terminaison ième. Ainsi - s'énonce cinq septièmes. II y a pour-

j tant une exception à faire à l'égard des fractions qui ont pour dénominateur 2, 3 ou 4- Lorsque l'unité se trouve partagée en 2, 3, 4 parties égales, ces parties sont appelées demies,

tiers, quarts; ainsi les fractions -•> -^t - s'énoncent un demi ,

deux tiers, cinq quarts.

Une fraction est évidemment inférieure, supérieure ou égale à l'unité, suivant que son numérateur est inférieur, supérieur ou égala son dénominateur.

137. Lorsque la fraction proposée est plus grande que l'unité,

on a souvent besoin à' extraire l'entier contenu dans la fraction.

Soit, par exemple, la fraction — ; comme l'unité est formée

de 7 septièmes, nous avons à chercher combien de fois 33 septièmes contiennent 7 septièmes, ou, ce qui est la même chose, combien de fois 33 contient 7. En divisant 33 par 7, on trouve le quotient 4 et le reste 5 ; donc 33 septièmes contiennent 4 f'^is 7 septièmes ou 4 unités, et, en outre, 5 septièmes. On a donc

Ainsi : Pour extraire l'entier contenu dans une fraction, il suffit de dii'iser le numérateur par le dénominateur; en ajoutant au quotient obtenu la fraction qui a pour numérateur le reste de la division et pour dénominateur celui de la fraction proposée, on reproduit la valeur de celle-ci.

Réciproquement, quand on a un entier joint à une fraction, on peut avoir besoin de réduire l'entier en fraction. Considé-

rons, par exemple, la somme 4 ^ — '•> chaque unité valant7sep-

tièmes, 4 vaut 4x7 septièmes. Donc il y a, dans 4 + -^ un

nombre de septièmes égal à 4 X 7 -+- 5 ou égal à 33; donc

s. et Je C. — Arithm. G

82 LIVRE m. - CHAPITRE I.

Ainsi : Pour nieitre sous fo une de fraction un entier joint à une fraction donnée y il suffit d'ajouter au numérateur de la fraction donnée le produit de son dénominateur par l'entier.

138. La règle pour l'extraciion de l'enlier contenu dans une fraction conduit à celte conséquence importante: Pour qu'une fraction puisse être réduite à un nombre entier, il faut et il suffit que le numérateur de la fraction soit divisible par le dénominateur. Par exemple, en appliquant la règle dont il

s'agit à la fraction — > on trouve que cette fraction est égale au

quotient 4 des nombres 28 et 7.

Réciproquement, tout nombre entier peut être considéré

comme une fraction ayant pour dénominateur un nombre pris

à volonté. Comme l'unité est égale à 7 septièmes, 4 est égal à

4X7 septièmes, c est-a-dire a ■- ou a — • 1

Pour réduire un entier en fraction de dénominateur donné, il suffit donc de prendre pour numérateur de la fraction le produit de l'entier par le dénominateur imposé. I

139. I. Si l'on rend le numérateur d'une fraction un certain nombre de fois plus grand ou plus petit, la fraction est rendue le même nombre de fois plus grande ou plus petite.

Soit, par exemple, la fraction -; en multipliant son numé-

5x3 rateur par 3, on obtient la fraction ; cette nouvelle frac-

tion est 3 fois plus grande que la première. En effet, les deux fractions dont il s'agit sont l'une et l'autre composées de septièmes; la première fraction en contient 5, la seconde en contient 5x3, c'est-à-dire 3 fois plus que la première. Donc la seconde fraction est 3 fois plus grande que la première.

Ainsi l'on rend la fraction - trois fois plus grande en multipliant son numérateur par 3, et inversement on rend la fraclion

trois fois plus petite en divisant son numérateur par 3.

140. II. Si l'on rend le dénominateur d'une fraction un certain nombre de fois plus grand ou plus peiity la fraction est rendue le même nombre défais plus petite ou plus grande.

Soit, par exemple, la fraclion -•, en mulliplianlson dénomi-

naleur par 3, on obtient la fraclion ^r; cette nouvelle frac-

lion est 3 fois plus petite que la première. En effet, pour partager l'unité en 7 X 3 parties égales, il suffit de la diviser d'abord en 7 parties égales, puis de diviser ensuite cha-

cune de ces 7 parties en trois parties égales; il s ensuit que -

contient 3 fois ttI en d'autres termes, ~ esl 3 fois plus

pelil que - : donc aussi 77 esl 3 fois moindre que -•

Ainsi l'on rend la fraction - trois fois plus petite en multipliant son dénominaleur par 3, el inversemenl on rend la

fraclion r trois fois plus grande en divisant son dénomi-

naleur par 3.

141. III. Une fraction ne change pas de valeur lorsqu'on multiplie ou lorsqu'on divise ses deux termes par un même

nombre.

Soit, par exemple, la fraction-; en mulliplianlson numéraux 3

leur par 3, on oblienl la fraclion qui esl 3 fois plus grande

que -•, en multipliant le dénominaleur de celte deuxième frac-

5x3 lion par 3, on forme la nouvelle fraclion ^j qui est 3 fois

moindre que ^ et qui, par suite, est égale a -•

Donc la fraclion - ne change pas quand on multiplie ses deux

5x3 termes par 3; et inversemenl la fraction ^ ne change pas

quand on divise ses deux termes par 3.

84 UVRE lU. - CHAPITRE I.