II résulte de là que
Une fraction dont les deux termes sont premiers entre eux est irréductible.
Car, d'après ce qui précède, loule fraction égale à une fraction dont les deux termes sont premiers entre eux a des termes respectivement plus grands que ceux de cette fraction.
Réciproquement, les deux termes d'une fraction irréductible sont premiers entre eux.
Car, si les deux termes d'une fraction ne sont pas premiers entre eux, en les divisant l'un et l'autre par leur plus grand commun diviseur, on n'altère pas la valeur de la fraction (141 ), et celle-ci se trouve ainsi réduite à une expression plus simple.
On voit donc que : Pour réduire une fraction à sa plus simple expression, il suffit de chercher le plus grand commun diviseur de ses deux termes, et de les diviser l'un et l'autre par ce plus grand commun diviseur.
Car, en opérant ainsi, on forme une fraction égale à la proposée (141 ), et qui est irréductible, puisque ses deux termes sont premiers entre eux (96).
Exemple. — Soit la fraction ^ — ••> le plus grand commun diviseur de 252 et de Sgô est 36; en divisant iSy. et SgG par 36, on trouve les quotients 7 et 1 1 : la fraction proposée est donc
égale à
145. Quelquefois, dans la pratique, on réduit une fraction à sa plus simple expression en supprimant successivement, au numérateur et au dénominateur, les facteurs communs que l'on aperçoit; et quand, après celte suppression, les deux termes sont premiers entre eux, la fraction se trouve réduite à sa plus simple expression. Soit, par exemple, la fraction
Y-7-i en supprimant le facteur 2 commun à ses deux termes,
1 26 elle devient — ^' Les deux termes de celle-ci sont encore di- 19b
visibles par 2, et, en supprimant ce facteur, on obtient — •
Enfin les deux termes de cette dernière fraction sont divisi-
8f, LIVRE III. - CHAPITRE I.
bles par 9, et en effeciuani la division on trouve — • Comme 7
el II sont premiers entre eux, la fraction proposée se trouve réduite à sa plus simple expression.
14G. Quand on réduit à sa plus simple expression une fraclion dont le numérateur est un multiple du dénominateur, 1*' dénominateur se trouve réduit à l'unité, et il est inutile d
récrire. Par exemple, la fraction — se réduit à -ou simplement
à 4 (138). On peut donc regarder un nombre entier comme une fraction dont le dénominateur est i, et l'on y sera naturellement conduit dans le Chapitre suivant par des considérations nouvelles.
147. Pour former toutes les fractions égales à une fraction irréductible donnée, il suffit de multiplier les deux termes de cette fraction par la suite naturelle des nombres.
Deux fractions irréductibles égales sont identiques (14-3>
