RÉDUCTION DE PLUSIEURS FRACTIONS AU PLUS PETIT DÉNOMINATEUR COMMUN
150. En appliquant la règle que nous venons d'exposer, les fractions sur lesquelles on opère ne se trouvent pas, en général, réduites au dénominateur commun le plus simple. Nous allons indiquer ici un procédé pour réduire plusieurs fractions au plus petit dénominateur commun.
Supposons que les fractions données aient été réduites à leur
plus simple expression; toute fraction égale à l'une d'elles s'obtiendra (143) en multipliant les deux termes de celle-ci par un même nombre entier : donc tout dénominateur commun auquel on puisse réduire les fractions proposées est un multiple commun de leurs dénominateurs. En outre, tout multiple commun de ces dénominateurs deviendra dénominateur commun des fractions proposées si l'on multiplie les deux termes de chacune de ces fractions par le nombre de fois que son dénominateur est contenu dans le multiple commun.
On conclut de là la règle suivante :
Pour réduire des fractions au plus petit dénominateur commun, on commence par réduire chacune d'elles à sa plus simple expression. Les fractions proposées étant ainsi réduites, on cherche le plus petit commun multiple de leurs dénominateurs et l'on multiplie les deux termes de chacune d'elles par le nombre de fois que son dénominateur est contenu dans le plus petit multiple commun.
Exemple T. — Soient les fractions irréductibles
Le dénominateur -2^ de la dernière fraction est divisible par chacun des autres dénominateurs ; c'est donc le plus petit multiple commun de tous les dénominateurs (108). En divisant 24 par ces dénominateurs, on trouve pour quotients
ce sont les nombres par lesquels il faut respectivement multiplier les deux termes des fractions proposées. En faisant le calcul, on trouve
Exemple II. — Soient les fractions irréductibles
ii3 317 229 260 540 648
Pour avoir le plus petit multiple commun des trois dénominateurs, nous décomposerons chacun d'eux en facteurs pre-
miers; nous aurons ainsi
Le plus pelll commun multiple de ces nombres est 2'X3<X5, ou 3240.
En le divisant par chacun d'eux (69, 70), on trouve pour quotients
c'est-à-dire
Ces nombres sont ceux par lesquels il faut respectivement multiplier les deux termes des fractions proposées. En faisant le calcul, on trouve
ICI 7 1902 1145 324c 3240 3240-
loi. I. Lorsque plusieurs fractions sont égales, la fraction obtenue en les ajoutant terme à terme est égale à chacune des fractions proposées.
En effet, les fractions proposées, étant égales, conduiront toutes, quand on les réduira à leur plus simple expression, à la même fraction irréductible (li7). Les termes des fractions données étant respectivement des équimultiples des termes de cette fraction irréductible (14-3), la fraction obtenue en les ajoutant terme à terme remplira encore la même condition, c'est-à-dire qu'elle sera égale à cette fraction irréductible et, par suite, à chacune des fractions proposées.
On démontre, par un raisonnement analogue, qw'en retranchant terme à terme deux fractions égales, on obtient une fraction égale à chacune d'elles.
152. IL Lorsqu'on ajoute terme à terme deux fractions inégales, la fraction obtenue reste comprise entre les deux frac~ tions proposées.
^ . . • ... 3ii^ 3^11
Soient les deux fractions 7^ el — • On a y<C — '• par conse-
quant, si l'on réduit ses deux fractions au même dénominateur (148), le numérateur de la première sera moindre que celui de la seconde, et l'on aura
3X7 <iiX4-
r, , , ,, ..33-t-II
Cela pose, pour comparer les deux fractions -r et
réduisons-les au même dénominateur. Le numérateur de la première sera 3 X (4 + 7)> le numérateur de la seconde sera (3 H- II) X 4- En supprimant la partie commune (3 x4) et en se reportant à l'inégalité précédente, on voit que c'est la première fraction qui a le plus petit numérateur. On a donc
En comparant de la même manière les deux fractions
et — 5 on trouve
Le théorème est donc démontré.
On en conclut immédiatement que, lorsqu'on ajoute terme à
terme un nombre quelconque de fractions inégales, la fraction
obtenue reste comprise entre la plus petite et la plus grande
des fractions proposées.
Soient les fractions inégales-^? -•> — •, rangées par ordre de
grandeur croissante. D'après ce qui précède, la fraction -.
, . . 3 8 , , . 3 3 4-8 csi comprise entre les fractions -rei-? et les fractions -r? -, ?
-j — sont rangées par ordre de grandeur croissante. Si l'on 9 7
ajoute terme à terme les fractions et — -, la fraction
