RETOUR A LA FRACTION ORDINAIRE GÉNÉRATRICE

209. Etant donnée une fraction décimale périodique, on peut se proposer de chercher la fraction ordinaire qui, par sa réduction en décimales, lui a donné naissance. On dit alors qu'on remonte à !a fraction ordinaire génératrice de l'expression décimale périodique.

210. I. La fraction ordinaire génératrice crime fraction décimale périodique simple, sans partie entière, a pour numérateur la période et pour dénominateur un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période.

Soit, en effet, la fraction décimale périodique simple

On a évidemment

et celte égalité exprime que, si l'on réduit la fraction ordinaire

— - en décimales, on trouve, après trois divisions partielles,

le quoiieni 0,267 et le reste 0,267. On est donc alors placé

dans les mêmes condiiions qu'au début de l'opération, et il

est démontré que les trois premiers chiffres du quotient se

reproduisent periodiquemenl. — - est donc la fraction ordi-

naire génératrice de la fraction périodique simple considérée.

II suit de là que, si l'on considère un nombre n de périodes

de plus en plus grand, la fraction 0,267267267. . .267(„) tend

(203) vers une limite déterminée et égale à — '-'

211. Le dénominateur de la fraction ordinaire génératrice d'une fraction périodique simple, étant formé de chiffres tous égaux à 9, ne renferme ni le facteur 2, ni le fadeur 5 (83) ; il en est de même, à plus forte raison, quand on réduit celte fraction ordinaire à sa plus simple expression. On peut donc dire que le dénominateur de la jraclion ordinaiie génératrice d'une fraction périodique simple est toujours premier avec to.

C'est la réciproque du théorème du n° 20G.

212. IL La fraction ordinaire génératrice d'une fraction décimale périodique mixte, sans partie entière, a pour numérateur l'ensemble de la partie non périodique et de la période diminué de la partie non périodique et pour dénominateur un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période, suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres dans In partie non périodique.

Soit, par exemple, la fraction décimale périodique mixte

La fraction 0,34267 267. . .267(0) est égale à

Elle a donc (210), lorsque le nombre n des périodes croît indéfinimenl, une limite déterminée et égale à

34 ^ I 267 roo 100999

c'est-à-dire à

L'énoncé est ainsi vérifié.

129, LIVRE ITT. - r.IIAPTTRE IV.

213. Lo dcnominaieur de la frariion ordinaire généralrice d'une fraction périodique niixie, étant composé de chiffres 9 suivis d'un certain nombre de. zéros, renferme à la fois des facteurs premiers 2 et 5 et dos facteurs premiers difTérents.

Lorsqu'on réduira cette fraction génératrice à sa plus simple expression, les facteurs premiers du dénominateur autres que 2 et 5 ne pourront pas tous disparaître, sans quoi la fraction ordinaire correspondante donnerait naissance à un quotient décimal exact (201 ).

De plus, on ne pourra jamais diviser par 10 les deux termes de la fraction génératrice. Si cette division était possible, en efîet, le numérateur serait terminé par un zéro ; le dernier chifîre de la partie non périodique serait donc égal au dernier chiffre de la période, de sorte qu'on se serait trompé dans l'évaluation de cette période, et qu'elle commencerait en réalité un rang plus tôt.

Puisque les deux termes de la fraction génératrice ne sont pas à la fois divisibles par to, ce qui revient à dire que si on peut les diviser par 2 on ne peut pas les diviser par 5, et inversement, on voit que le dénominateur de celle fraction contiendra, après sa réduction, autant de facteurs 2 on autant de facteurs 5 qu'il contenait primitivement de zéros. Par conséquent, l'exposant le plus élevé des facteurs premiers o. et 5 du dénominateur de la fraction ordinaire génératrice est égal an nombre de chiffres de la partie non périodique de la fraction périodique mixte donnée.

C'est la réciproque du théorème du n° 207.

214. En rapprochant les n"= 206 et 211, 207 et 213, on voit ({u' une fraction décimale périodique simple ne peut provenir que d'une fraction ordinaire, dont le dénominateur est premier avec 10, et qu'une fraction périodique mixte ne peut provenir que d'une fraction ordinaire, dont le dénominateur renferme à la fois des facteurs premiers 2. et 5 et des facteurs premiers différents.

215. Si des entiers se trouvent joints à la fraction décimale périodique considérée, on en fait d'abord abstraction, et on les ajoute ensuite à la fraction génératrice obtenue.

DES OPÉRATIONS ABRÉGÉES