PX5X4 = PX4X

5° Un produit ne change pas quand on intervertit deux facteurs v- consécutifs.

Soit le produit 3X5X7X9X11X4X5X6. Il faut prouver qu’il est égal à3x5X7x9x4XÜX5X6.

D’après la proposition précédente , on a

Si on multiplie ces deux nombres égaux par 5 et les résultats obtenus par 6, les produits seront évidemment égaux , et , par conséquent ,

3X5X7 X9X1 1 X4X5X6 =3XÔX7X9X4 XI 1 X5X6 ;

' * • VJ *t' * *

C’est ce qu’il fallait démontrer.

6 ° Démontrons enfin que dans un produit de plusieurs facteurs, on peut changer, d'une manière quelconque, l’ordre des facteurs sans altérer la valeur du produit.

Il est permis (5°) d’intervertir deux facteurs consécutifs. Or, par une suite d’inversions de ce genre, on pourra amener les facteurs à se succéder dans tel ordre que l’on voudra. On pourra choisir, en effet , l’un quelconque d’entre eux , et l’amener à la première place en le changeant successivement avec ceux qui se trouveront à sa gauche. Cela fait, on pourra en choisir un second et l’amener de la même manière à la seconde place, puis un troisième, que l’on fera parvenir à la troisième place, et ainsi de suite .jusqu’à ce qu’ils soient tous placés dans l’ordre assigné.

40. Théorème II. Pour multiplier un nombre, par le produit de plusieurs facteurs , on peut le multiplier, successivement, par ces divers facteurs.

MULTIPLICATION DES NOMBRES ENTIERS

Soit le nombre 13 à multiplier par le produit 2 x 3 X 5 , qui est égal à 30; on a

Or, dans le produit 30X13, on peut remplacer 30 par 2X3x5. Car, par définition, pour effectuer 2X3X5X13, il faudra d’abord former le produit 2 x 3 x 5 ou 30, et le multiplier par 1 3 ; on a donc

ou , en changeant l’ordre des facteurs dans le second membre , 30 X 13 = 13 X 2 X 3 X 5 ; c’est précisément ce qu’il fallait démontrer.

41. Remarque I. Pour multiplier un produit par un nombre, il suffit de multiplier un de ses facteurs par ce nombre. Nous venons de voir, en effet, que

Or, le second membre peut s’écrire

et, par conséquent, pour multiplier le produit 2X3X5 par 13, il a suffi de multiplier un de ses facteurs par 13.

42. Remarque 11. On peut multiplier un produit par un autre produit , en formant un produit unique avec les facteurs du multiplicande et ceux du multiplicateur.

Soit à multiplier 5X7X4 par 8X5X3. Pour multiplier un nombre par le produit 8 x 5 X3, il suffit (40J de le multiplier successivement par chacun des facteurs de ce produit , on a donc

la parenthèse dans le second membre ne changeant rien aux opérations indiquées , on peut la supprimer et écrire

(5X7X 4) X(8X5X 3) = 5X7X4X8X5X3, ce qu’il fallait démontrer.

Comme la démonstration est fondée sur ce que l'expression (5X7X4)X8X5X3 a absolument la mémi^ÿmification

26 multiplication des nombres entiers.

avant et après la suppression de la parenthèse, il n'est peut-être pas inutile d’insister sur ce point.

signifie le produit effectué, 5X7X4, multiplié par 8, puis le résultat par 5, puis enfin le résultat par 3.

signifie, 5 multiplié par 7, le résultat multiplié par 4 (ce qui donne le produit 5x7x4), puis le résultat par 8, puis le nouveau résultat par 5, et enfin le dernier résultat par 4. On voit que les deux opérations sont identiquement les mômes.

45. Remarque III. On peut remplacer, dans un produit, un nombre quelconque de facteurs par leur produit effectué.

L’ordre des facteurs étant indifférent, supposons que ceux dont on parle soient les premiers , il devient alors évident que les opérations à faire restent les mêmes si on remplace ces facteurs par leur produit effectué. Soit, par exemple, le produit 5X7X9X 13X11 ; si on le remplace par 315X13X11 (315 est égal à 5X7x9), l’opération indiquée reste absolument la même; car, pour effectuer le produit proposé, il faut, par définition , multiplier 5 par 7 puis le produit par 9 , ce qui fait 315 , puis multiplier ce résultat 315 par 13 et le résultat par 11, ce qui revient à former le produit 315 X 13X11.

44. Remarque IV. Pour multiplier deux puissances d’un même nombre, il suffit d’ajouter leurs exposants.

Soit, en effet, h multiplier 2* par 2*, c’est-à-dire 2X2X2 par 2x2 x 2 x2; il suffit (Remarque II) de former un produit unique avec les facteurs du multiplicande et ceux du multiplicateur. Or, ce produit est - -

ou 2 1 .

4 R. Remarque V. Pour multiplier deux nombres terminés par des zéros, on peut supprimer ces zéros, faire ensuite la mxdtipli- • cation et ajouter, à la droite du produit, autant de zéros qu'il y en v a dans les facteurs .

MULTIPLICATION DES NOMBRES ENTIERS. 27

Soit à multiplier 378000 par 2700, c’est-à-dire 378 X 10* par 27 x 10*, on a,

10 5 étant égal à 100000 on voit (35) que pour former le produit demandé , ii suffit de multiplier 378 par 27 et d’ajouter cinq zéros au résultat.

Multiplication d’une somme par une somme.

46. Soit 9+4 à multiplier par 7-f-5. U faut répéter le multiplicande 7+5 fois , ce qui peut se faire en le répétant 7 fois , puis 5 fois, et ajoutant les résultats. Mais, pour multiplier une somme 9 + 4, il suffit de multiplier chacune de ses parties (30) ; le produit demandé se compose donc de 7 fois 9, plus 7 fois 4, plus 5 fois 9, plus 5 fois 4, ce qui s’écrit ainsi

Ainsi donc , pour multiplier une somme par me somme, il faut multiplier chacune des parties du multiplicande , par chacune des parties du multiplicateur et ajou ter les résultats.

Multiplication d'une différence par un nombre quelconque.

47. Soit la différence 17 — 4 à multiplier par 5; cela revient (32) à multiplier 5 par 17 — 4. Or, pour cela, il suffit de le répéter 17 fois , puis 4 fois, et de retrancher les résultats. On a donc ,

par conséquent, pour multiplier une différence par un nombre quelconque, il suffit démultiplier ses deux termes par ce nombre. Application. Soit à multiplier 7997 par 8 on a

Par conséquent

7997 X 8 = (8000 — 3) X 8 = 64000 — 24 = 63976. Nombre des chiffres d’un produit

48. Théorème III. Le nombre des chiffres d’un produit de deux

28 MULTIPLICATION UES .NOMBRES ENTIERS

facteurs est égal à la somme du nombre des chiffres du multiplicande et du nombre des chiffres du multiplicateur ou à cette somme diminuée d’une unité.

Supposons, par exemple, que le multiplicateur ait six chiffres. Il est au moins égal à l’unité suivie de cinq zéros et moindre que l’unité suivie de six zéros. Le produit est donc au moins égal (35) au multiplicande suivi de cinq zéros et moindre que le multiplicande suivi de six zéros; il a, par conséquent, cinq chiffres au moins et six au plus , de plus que le multiplicande.

Méthode abrégée pour taire la raulliplicalion.

40. Pour multiplier deux nombres on fait souvent usage d’un procédé qui permet d'écrire immédiatement le produit définitif, sans former les produits partiels intermédiaires.

Soit par exemple, à multiplier 375 par 286; il faut, conformément à la règle exposée plus haut, multiplier successivement le multiplicande par 6, par 80 et par 200, et, pour cela, on doit multiplier, successivement, par chacun de ces trois nombres, les trois parties 300 , 70 et 5 dont se compose le multiplicande. Cela fait , en tout, neuf multiplications partielles que l’on doit exécuter, savoir, celles des trois multiplicandes 300 , 70 et 5 , par les trois multiplicateurs 200, 80, 6; il suffira (45) de multiplier 3, 7 et 5 par 2, 8 et 6, en écrivant, à la droite de chaque produit, autant de zéros qu’il devait y en avoir après les deux facteurs multipliés , c’cst-à-dire , un nombre de zéros égal au nombre des chiffres placés avant eux dans les deux nombres proposés. D’après celte remarque , il est bien facile de former successivement les produits qui représentent des unités simples, ceux qui représentent des dizaines, ceux qui représentent des centaines, etc., et de les ajouter au fur et à mesure qu’on les obtient. Ainsi dans l’exemple que nous considérons,

il est clair que, parmi les neuf produits que nous avons à former, un seul peut représenter des unités simples , c’est celui des unités du multiplicande par les unités du multiplicateur.

MULTIPLICATION DES NOMBRES ENTIERS

6 fois 5 font 30. Le chiffre des unités du produit est donc 0 et nous devons retenir trois dizaines. Deux des produits partiels représentent des dizaines, ce sont les unités multipliées par les dizaines et les dizaines multipliées par les unités. 7 fois 6, 42, 8 fois 5, 40 ; 40 et 42 font 82 et 3 dizaines qui ont été retenues 85 dizaines , le chiffre des dizaines est donc 5, et l'on doit retenir 8 centaines.

Trois des produits partiels représentent des centaines, ce sont les unités multipliées parles centaines, les dizaines par les dizaines et les centaines par les unités. 6 fois 3 font 18, 8 fois 7, 56, 2 fois 5, ‘10; 10, 56 et 18 font 84 et 8 centaines de retenue 92. Le chiffre des centaines est donc 2 et il faut retenir 9 mille.

Deux des produits partiels représentent des mille, ce sont les dizaines multipüées par les centaines et les centaines multipliées par les dizaines. 8 fois 3 font 24, 2 fois 7 font 14 ; 14 et 24 font 38 et 9 de retenue 47, le chiffre des mille est donc 7 et il faut retenir 4 dizaines de mille.

Un seul produit donne des dizaines de mille , c’est celui des centaines parles centaines. 2 fois 3 font 6 et 4 de retenue 10, le chiffre des dizaines de mille est donc 0, et il reste une centaine

dé Mme; i2 ; '

Remarque. Il sera toujours facile de trouver tous les produits qui représentent des unités d’un ordre assigné. On commencera pour cela, par chercher celui d’entre eux qui correspond aux unités les plus élevées dans le multiplicande , tous les autres s’obtiendront ensuite en remarquant que l’ordre des unités représentées par le produit, ne change pas quand on avance , à la fois , d’un rang vers la droite dans le multiplicande et d’un rang vers la gauche dans le multiplicateur.

Soit, par exemple, à multiplier 783214 par 291573; cherchons les produits partiels qui représentent des dizaines de millions. Les unités les plus élevées du multiplicande sont des. centaines de mille; pour avoir des dizaines de millions, il faut les multiplier par des centaines ; le premier des produits demandés est donc 5x7. Les autres sont 1 X 8, 9 X 3, 2 X 2 ; et leur somme 35 j 8 -f. 27 + 4 est égale à 74. Il n’en faut pas conclure que, dans le produit, le chiffre des dizaines de millions soit 4, car les millions ont donné des retenues.

Cherchons encore les produits partiels qui, dans la multipli-

multiplication des sombres entiers.

cation proposée, donnent des dizaines de mille; celui de ces produits qui correspond aux plus hautes unités possibles du multiplicande, est le produit, des dizaines de mille du multiplicande, par les unités du multiplicateur, c’est-à-dire, 8x3, les autres sont 3X7, 2X5, 1X1, 4x9.

RÉSUMÉ

28. Définition de ta multiplication; ce qu’on entend par multiplicande, multiplicateur, produit, facteur d’un produit, multiples d’un nombre. — 29. Table de multiplication. — 30. Il résulte immédiatement des définitions, que si le multiplicande est une somme, il faudra, pour avoir le produit, multiplier toutes ses parties par le multiplicateur et ajouter les résultats. — 31 . Si le multiplicateur est une somme, il faudra multiplier le multiplicande par ses différentes parties et ajouter los résultats. — 32. On démontre aussi que dans un produit de deux facteurs , on peut changer l’ordre des facteurs. — 33. Moyen de multiplier un nombre parlO, 100, 1000.... — 34. A l’aide de ces trois principes, on aperçoit facilement le moyen de multiplier un nombre quelconque par un multiplicateur d'un seul chiffre. — 31». Puis, par un chiffre significatif suivi do plusieurs zéros. — 36. Puis , enfin , par un nombre quelconque. — 37. Définition d’un produit de plusieurs facteurs. — 38. Des carrés et puissances quelconques des nombres. — 39. Dans un produit d’un nombre quelconque de facteurs, on peut intervertir l’ordre des facteurs. On démontre d’abord cette proposition pour le cas de deux facteurs; puis, on prouve que , dans le cas où il y en a trois , on peut changer les deux derniers. 11 en résulte immédiatement que l’on peut faire le même changement dans le cas d’un nombre quelconque de facteurs ; puis , que l’on peut intervertir deux facteurs consécutifs, et , enfin , par une série d’inversions de ce genre, amener les facteurs à se succéder dans tel ordre que l’on voddra. — 40. Pour multiplier un nombre par un produit, il suffit de le multiplier successivement par les facteurs du produit. — 41. Pour multiplier un produit par un nombre, il suffit de multiplier un de ses facteurs par ce nombre. — 42. Pour multiplier deux produits , il suffit de former un produit unique avec les facteurs de chacun d’eux. — 43. L’on peut supprimer dans un produit un nombre quelconque de facteurs et les remplacer par leur produit effectué. — 44. Pour multiplier deux puissances d’un même nombre, il suffit d’ajouter leurs exposants. — 48. Moyen de simplifier la multiplication lors- . que les facteurs du produit sont terminés par des zéros. — 46. Multiplication d'une somme par une somme. — 47. D’une différence par un nombre quelconque. — 48. Théorème relatif au nombre des chiffres d'un produit. — 49. Moyen abrégé de faire la multiplication.

MULTIPLICATION DBS NOMBRES ENTIERS

EXERCICES

f I. La consommation moyenne annuelle par habitant, est 4 France de 167 litres de blé, 69 litres de vin; 21879 grammes de viande , 6525 grammes de sel et 3648 grammes de sucre. Déduiip de ces chiffres la consommation totale, en supposant le nombre des habitants, de 34230178.

/ n. Si un nombre est terminé par 5 , son carré est terminé par 25.

^ III. Si deux nombres ne sont terminés ni par O ni par 5, la différence de leurs quatrièmes puissances est terminée parju# de ces deux chiffres.

* IV. Pour trouver le produit de deux nombres, compris entre 5 et 10, on peut procéder de la manière suivante : Fermer dans la main gauche autant de doigts qu'il manque d’unités au multiplicande pour être égal à 10, et dans la main droite, autant qu’il en manque au multiplicateur ; faire le produit de ces deux nombres de doigts , et lui ajouter autant de dizaines qu’il est resté de doigts non fermés.

I V. Si l’on donne deux suites de nombres, qui en contiennent autant l’une que l’autre , dans quel ordre dôit-on les disposer pour que la somme des produits obtenus , en multipliant les nombres correspondants, soit la plus grande possible?

Î VI. On prend un nombre quelconque de chiffres. On double premier, on ajoute 5 au résultat , et on multiplie la somme par^; au produit ainsi obtenu, on ajoute le second chiffre, puis onftnultiplie par 10; on ajoute au produit le troisième chiffre, on multiplie encore par 10 et on ajoute le quatrième; ainsi de suite indéfiniment. Prouver que le résultat ainsi obtenu, diminué de 25 ou de 250 ou de 2500..., suivant le nombre des ,• chiffres donnés, sera égal au nombre formé par ces chiffres, écrits dans l’ordre où op les avait placés.

Ait. Â * i? s 6 on marque sur

une ligne AB deux points R et S, et l’on mesure cette ligne et scs différentes parties, prouver que l’on aura toujours

(AB) X (RS)-t- (AR) X (BS)= (AS) X (BR).

(AB), (RS), (AR), (BS), (AS), (BR), désignant les nombres, qui mesurent ces différentes lignes :

MULTIPLICATION des nombres entiers.

Exemple. AB=100, AR=20, BS=10, RS=70. 100X70 + 20X10 =90 X 80.

tVHf. Le produit de la somme de deux nombres, par leur différence , est égal à la différence de leurs carrés.

^ IX. Déduire du théorème précédent, que, la somme de deux nombres étant donnée , leur produit est le plus grand possible quand ils sont égaux.

f X . Le produit de deux nombres étant donné , s’ils sont égaux, leur somme est la plus petite possible ; montrer l'identité de cette proposition avec la précédente. /

• $1. La somme des carres de deux nombres est plus grande que le double de leur produit.

dfXII. Le produit des nombres entiers depuis unc'limite quelconque n, jusqu’au nombre 2«t — 2 inférieur de deux unités au double de n, est égal au produit des nombres impairs depuis l jusqu’à 2» — 3, par la puissance (n — l) ,m ' de 2.

/ XIII. Quelle est la valeur du cuivre produit en France pendant l’année 1847, sachant que le quintal de cuivre vaut 211 francs et que l’on a fabriqué 312 quintaux avec des minerais indigènes et 6108 avec des minerais étrangers.

Î X1V. On a fabriqué en France, en 1847, 1874111 quintaux de onte dans des hahts fourneaux au coke. Quels ont été le poids et la valeur du coke brûlé, sachant que l’on consomme 171 kilogrammes de coke par quintal de fonte obtenu et que le coke revient, en moyenne, à 245 centimes les cent kilogrammes.