Soit 7283 à multiplier par

500 est égal à 5 fois 100, ou à 100 fois 5 (52); par conséquent, pour répéter le multiplicande 500 fois, il suffit de le répéter 5 fois, puis de multiplier le résultat par 100. La multiplication par 5 se fera conformément à la méthode exposée plus haut (54), et pour multiplier le résultat par 100, on écrira, à sa droite, deux zéros (55). Nous pouvons donc énoncer la règle suivante.

Pour multiplier un nombre quelconque , par un chiffre significatif suivi d’un ou plusieurs zéros, on le multiplie par ce chiffre , considéré co/nme représentant des unités simples , et on écrit, à la droite du produit, autant de zéros qu'il y en a à la droite du multiplicateur.

Multiplication de deux nombres quelconques.

36. Soit 375 à multiplier par 286. Pour répéter 375, 286 fois, il suffit (31) de le répéter, successivement, 6 fois, 80 fois et 200 fois, et d’ajouter les résultats. Chacune de ces multiplications partielles rentre dans l’un des deux cas précédents et n’exige pas d’explications nouvelles. Nous pouvons donc énoncer la règle suivante.

Pour faire le produit de deux nombres entiers, on multiplie, successivement, le multiplicande par chacun des chiffres du multiplicateur, et on ajoute les résultats , après avoir placé à la droite de chacun d'eux , un nombre de zéros égal au nombre de chiffres qui précèdent le multiplicateur qui l'a fourni.

Dans la pratique jj>n se dispense d’écrire les zéros, on se borne à donner aux chiffres'cles produits partiels, la place qu'ils occuperaient après l’addition de ces zéros.

MULTIPLICATION DES NOMBRES ENTIERS

Exbmple. 375

Produits de plusieurs facteurs.

37. Faire le produit de plusieurs facteurs, c’est multiplier les deux premiers , le résultat obtenu par le troisième , ce résultat par le quatrième, et ainsi de suite.

Exemple. 2x3x5x4x6 signifie : le produit de 2 par 3 , qui este, multiplié par 5, ce qui donne 30; puis, le résultat par 4, ce qui donne 120, et enfin ce dernier résultat par 6 : ce qui fait 720.

Carrés et puissances.

38. Le produit d’un nombre par lui-même , se nomme son carré ou sa deuxième puissance. Si le nombre est pris trois fois comme facteur, le produit se nomme cube ou troisième puissance; en général, si on prend un nombre 4, 5, 6,... fois comme facteur, le produit se nomme quatrième, cinquième , sixième,... puissance de ce nombre.

Exemple. Dans notre système de numération, les unités des divers ordres, dix, cent, mille, etc., sont les puissances de la base dix.

Pour écrire une puissance d’un nombre , on écrit au-dessus de lui, le nombre de fois qu’il doit être pris comme facteur, qui se nomme l 'exposant de la puissance.

Exemple. 10*, signifie 10 au cube, ou 1000 ; 3 est l’exposant.

Théorèmes relatifs h la multiplication.

39. Théorème I. Un produit ne change pas quand on intervertit les fadeurs.

Quoique la démonstration de ce théorème ait déjà été donnée (32) pour le cas de deux facteurs , nous la reproduirons ici ,

MULTIPLICATION des sombres entiers. ?3

afin de rassembler tout ce qui est relatif à cette proposition importante.

1° Un produit de deux facteurs ne change pas quand on intervertit les facteurs.

Soient les facteurs 25 et 12; il faut prouver que 25 fois 12, est égal à 12 fois 25. Or, pour former 25 fois 12 , il faut répéter 25 fois chacune des douze unités qui composent 12; par cette multiplication , ces unités deviennent égales à 25, et le produit se compose, par conséquent, de 12 fois 25.

2° Un produit ne change pas quand on intervertit les deux premiers facteurs.

Soit , en effet, le produit 5 X 7 X 8 X 9, il faut prouver qu’il est égal à 7 x 5 x 8 X 9. Or, pour effectuer la première opération , il faut multiplier 5 par 7, le produit par 8 et le nouveau produit par 9. Pour effectuer la seconde, il faut multiplier 7 par 5, le produit par 8 et le nouveau produit par 9; ce qui est absolument la même chose, puisque cinq multiplié par sept, est égal à sept multiplié par cinq.

3° Un produit de trois facteurs ne change pas quand on intervertit les deux derniers.

Soit le produit 12 x 7 X 8; il faut prouver qu’il est égal à 12x8X7. Cela résulte encore du théorème relatif au cas de deux facteurs, en ver lu duquel 7 x 8 est égal à 8 X7 ; cette égalité signifie, en effet , que 8 fois 7 unités, valent 7 fois 8 unités. Le mot unité désignant ici une grandeur tout à fait arbitraire , cette grandeur peut être une collection de douze objets , ou une douzaine ; et par suite

8 fois 7 douzaines, valent 7 fois 8 douzaines ;

ce qui est la traduction , en langage ordinaire , de l’égalité que nous voulons prouver,

car, le premier membre de cette égalité, exprime sept douzaines répétées huit fois, et le second huit douzaines répétées sept fois.

4° Un produit ne change pas quand on intervertit les deux derniers facteurs.

Soit le produit 3X7x8X9x5x4; il faut prouver qu’il est égal à 3 X 7 X 8 x 9 X 4 X 5.

24 MULTIPLICATION DES NOMBRES ENTIERS

Pour former ces deux produits, il faudrait commencer, dans les deux cas, par multiplier 3 par 7, le produit par 8 et le' nouveau produit par 9. Sans effectuer ces opérations, désignonsen le résultat par une lettre P; pour achever le premier produit , il faut multiplier P par 5 et le produit par 4 , pour achever le second, il faut multiplier P par 4 et le produit par 5, ce qui revient au même , car, en vertu du théorème précédent , on a