CHAPITRE IV

Définitions.

30. Le m o Cd ivis ign i fi c littéralement , partage en diverses parties. Diviser une grandeur par un nombre entier, c’est la partager en autant de parties égales qu’il y a d’unités dans ce nombre , et évaluer l'une des parties. En arithmétique, la grandeur à diviser est représentée par un nombre que, dans ce chapitre, nous supposerons entier; ce nombre se nomme dividende; celui qui exprime en combien de parties égales on le divise se nomme diviseur, et la valeur de l’une des parties s’appelle quotient. Le but de la division est de trouver le quotient quand on connaît le dividende et le diviseur.

81. Lorsaue le quotient d’une division ne sera pas entier, n nous noys\jornerons, dans ce chapitre, à chercher le plus grand nombre entier qui y soit contenu, renvoyant son évaluation exacte à la théorie des fractions. Si l’on considère cette partie entière du quotient comme obtenue en divisant une portion du dividende , le reste est la partie non divisée. Par (ÿcniptf, dans la division de 10 par 4, la partie entière du qu^pjrt, qju est étant seulement le quart de 8, le reste est deïBRmiiés. ;

REMARQjggJL £eAs3ë (Pv&e'divifion est t&u&’fars moindre que le diviseur le divisant parce diviseur, on

obtiendrait au moins une unité nouvelle à ajouter à la partie entière du quotient. Ainsi, il ne serait pas conforme aux définitions précédentes, de dire que 18 divisé par 5 donne pourlqmp r tient % et pour reste 8 unités. Car 5 de ces 8 unités, divisées par 5, donnent pour quotii®rune unité qu’il faut ajouter aux deux autres. On doit donc dire qyc^e qnptient est 3. et le reste 3.

83. Remarque ü. Le partage d’une grandeur en parties égales n’est pas le seul genre de question^ qui conduise faire

divisions. Cette opération se présente aussi , lorsque, pour comparer deux grandeurs, on cherche combien de fois l’une contient l’autre; les deux grandeurs étant exprimées par des nombres, nous allons montrer que celte comparaison revient à la division des deux nombres.

Soient les nombres 46 et 7. Le quotient de leur division est 6 . et le reste 4, c’est-à-dire que 46 contient une partie dont le septième est 6, et en outre , 4 unités.

Or, un nombre dont le septième est six, est égal à sept fois six ou (52) à six fois sept; 46 contient par conséquent six fois le diviseur 7, et en outre , 4 unités ; en sorte qu’en cherchant combien de fois 46 contient 7, on trouvera le môme nombre entier 6, qu’en prenant le septième de 46, et il restera la même partie du dividende , égale à 4 unités, dont la division ne peut s’effectuer en nombres entiers.

Cette remarque prouve que l’on peut considérer la division comme ayant pour but de chercher combien de fois le dividende contient le diviseur. Le reste est alors ce qui reste du dividende, quand on en a retranché le diviseur autant de fois que possible.

11 résulte de là , que le produit du diviseur par Iq partie entière du quotient est le plus grand multiple du diviseur qui soit contenu dans le dividende.

Remarque. Si la longueur des calculs n’était pas un obstacle , ^ le quotient de la division des deux nombres s’obtiendrait facilement frPaide des opérations précédentes.

» Soit 28 à divMj^par 8, on peut obtenir le quotient de trois

1° A l’aide de l’addition. En ajoutante à lui : même, on Reconnaît que 8-f-8-f-8 donnent pour somme 24, et que 8-f-8-{-8+8 donnent 32 ; 28 contient donc plus de 3 fois4 et moins de 4 fois 8.

Le quotient demandé est par conséquent 3, et le reste est 4 excès de 28 sur 24.

2° Par la soustraction. En retranchant 8 de 28 autant de fois que possible , on reconnaît qu’il n’y est contenu que trois fois

28 contient donc trois fois 8, et il reste 4.

M Par la multiplication. En multipliant successivement 8 par

les nombres 1, 2, 3, etc., on trouve pour produits, 8, 16, 24, 32. Le plus grand de ces nombres qui soit contenu dans 28, est 24 ou 3 fois 8 ; le quotient est par conséquent 3.

Le but de ce chapitre n’est donc pas seulement de donner un procédé pour faire la division , mais de faire connaître une règle commode et pratique.

84. D’après ce qui précède, deux nombres étant donnés, il sera toujours facile de décider si le quotient de leur division est plus grand ou plus petit qu’un nombre assigné.

Soient les nombres 63724 et 453 :

Cherchons si le quotient de leur division surpasse 135.

Il faut savoir si 63724 contient plus ou moins de 135 fois le diviseur 453; c’est-à-dire, si le dividende est plus grand ou plus petit que 453X135. -Si nous formons le produit nous trouvons 453X135=61155

63724 surpassant 61155 , le quotient est plus grand que 135. On voit même que 135 n'est pas sa partie entière, car l’excès de 63724 sur 61155 est 2569 qui contient encore plusieurs fois 453.

Cas simple de la division.

88. Pour faire une division quelconque, il est utile de savoir résoudre la question suivante :

Trouver la partie entière du quotient d‘ une division lorsque cette partie entière n’a qu’un chiffre.

Nous distinguerons trois cas :

1* Le diviseur n’a qu’un chiffre.

La table de multiplication apprend , dans ce cas , quel est le plus grand multiple du diviseur que contienne le dividende et, par là (85), fait connaître la partie entière du quotient.

Exemple. 77, divisé par 9, donne pour quotient 8, car le plus grand multiple de 9 cqntenu dans 77, est 72 ou 9 X 8. Le reste est 5.

2° Le diviseur est exprimé par un chiffre suivi de plusieurs zéros.

La table de multiplication faisant connaître le produit de ce diviseur par les nombres d’un seul chiffre, on apercevra immédiatement quel est le plus grand de ces produits que contienne le dividende.

Exemple. Soit à diviser 37857 par 5000, 37857 est plus grand que 35000 et moindre que 40000, c’est-à-dire plus grand que 7 fois, et moindre que 8 fois le diviseur. La partie entière du quotient est donc 7; le reste est l’excès de 37857*sur 35000, c’està-dire 2857.

Dans l’exemple précèdent, les mille seulement du dividende, détenninent la partie entière du quotient, les multiples de 5000 étant en effet des nombres entiers de fois mille , le plus grand de ces multiples qui soit contenu dans le dividende , ne dépend que du nombre de mille que celui-ci contient. On aurait donc pu, pour trouver la partie entière du quotient, diviser 37 par 5. En général , quand le diviseur est exprimé par un chiffre suivi de plusieurs zéros , pour trouver la partie entière du quotient, on peut supprimer ces zéros ainsi qu'un nombre égal de chiffres du dividende.

Exemple. Soit à diviser 783217 par 90000, la partie entière du quotient est la même que celle du quotient de 78 par 9, et par conséquent, égale à 8.

3“ Le diviseur est un nombre quelconque.

La seule inspection du dividende et du diviseur apprendra si le quotient est réellement moindre que 10. Il est nécessaire et suffisant pour cela, que le dividende ne contienne pas dix fois le diviseur, c’est-à-dire qu’il soit moindre que le résultat obtenu en écrivant un zéro à la droite du diviseur.

Exemple. 37892 divisé par 3814 donnera un quotient moindre que 10, car 37892 est moindre que 38140.

Sachant que le quotient est moindre que dix, on pourrait le trouver en multipliant le diviseur par les nombres 1, 2, 3, 4, etc., et s’arrêtant dès que deux produits comprendraient entre eux le dividende; soit, par exemple, 117 à diviser par 23, on a

1 17 est donc compris entre 5 fois 23 et 6 fois 23 et, par suite (iiSt), le quotient demandé, a 5 pour partie entière.

Ce procédé ne sera jamais très-long puisque l’on aura au plus, 9 petites multiplications à faire, il est cependant utile de l’abréger. C’est ce qu'on fait à l'aide de la remarque suivante.

Le chiffre placé à la gauche du diviseur est celui qui a le plus d’influence sur sa valeur. Si donc on remplace tous les autres par des zéros, on aura un quotient peu différent du véritable et très-facile à obtenir.

Cette première valeur approchée du quotient, peut être trop grande mais elle ne peut être trop petite. Car, en remplaçant les chiffres du diviseur par des zéros, on diminue celui-ci, et l’on augmente évidemment le quotient , en sorte que la partie entière peut quelquefois rester la même , mais ne peut , dans aucun cas, diminuer. Quelques essais permettront dans chaque cas, de trouver si le chiffre obtenu est trop grand et combien on doit lui enleverü’unitée.- f

Exemple .""Soit à diviser 4573 par 782; on divisera d’abord 4573 par 700. La partie entière du quotient est la même (SS, 2°) que celle de la division de 45 par 7, elle est donc égale à 6. La partie entière du quotient cherché est donc à peu près 6, et ne peut surpasser cette limite ; pour essayer ce chiffre 6 , on multipliera le diviseur par les nombres 6, 5, 4, ... jusqu’à ce qu’on trouve un produit qui soit contenu dans le dividende. 782 multiplié par 6 donne pour produit 4692 qui est plus grand que le dividende. Mais le produit par 5 est 3910, qui est moindre que 4573; le dividende contient donc 5 fois le diviseur, mais il no le contient pas 6 fois, et la partie entière du quotient est, par conséquent, égale à 5.

56. Remarque. En remplaçant tous les chiffres du diviseur, excepté le premier, par des zéros, on obtient une limite supérieure du quotient. On peut d’une manière analogue, obtenir une limite inférieure. Reprenons, en effet, l’exemple précédent. Au lieu de substituer 700 au diviseur 782, substituonslui 800, la partie entière du quotient de la division de 4573 par 800 est la même (55, 2°) que celle de la division de 45 par 8 , elle est donc égale à 5 ; mais en substituant 800 au diviseur, nous avons augmenté sa valeur et, par conséquent , diminué celle du quotient ; la partie entière de celui-ci, ne peut donc avoir

augmenté, et puisque, sans augmenter, elle est devenue égale à 5, nous sommes assurés que la valeur véritable est 5 au moins.

Quelquefois la remarque précédente permet d’assigner exactement la partie entière du quotient. Soit par exemple 6378 à diviser par 875; en substituant 800 au diviseur, la partie entière du quotient deviendra (33, 2°) la même que celle de la division de 63 par 8 , qui est 7 ; la parlie entière du quotient cherché est donc 7, au plus. En substituant 900 au diviseur, la partie entière du quotient deviendra la même que celle de la division de 63 par 9, c’est-à-dire encore égale à 7; la partie entière du quotient cherché est donc 7, au moins. Ne pouvant ni surpasser 7, ni être moindre que 7, elle est précisément 7.

Division de deux nombres enliers quelconques.

87. Lorsque le quotient d’une division est plus grand que 10, il s’exprime par plusieurs chiffres que l’on doit trouver successivement.

Nous allons montrer d’abord comment on peut trouver celui qui exprime les plus fortes unités; mais cette première question sera elle-même divisée en deux autres : 1° chercher l’ordre des unités exprimées par le premier chiffre du quotient ; 2° chercher la valeur de ce premier chiffre.

Soit 8593214 à diviser par 247.

Pour trouver l’ordre des plus hautes unités du quotient, séparons, sur la gauche du dividende, autant de chiffres qu’il en faut pour former un nombre plus grand que le diviseur, mais moindre que 10 fois ce diviseur. Ce nombre qui sera dans le cas actuel 859, exprimant des dizaines de mille, je dis qüe le premier chiffre du quotient exprimera aussi des dizaines de mille , ou en d’autres termes, que le quotient est plus grand que dix mille et moindre que cent mille.

1° Le quotient est plus grand que 10000, car le dividende contenant 8ô9 dizaines de mille, est plus grand que 247 dizaines de mille, c’est-à-dire que dix mille fois le diviseur.

2° Le quotient est moindre que cent mille, car le dividende ne contenant que 859 dizaines de mille, et 859 étant moindre que dix fois 247, 1 le dividende ne contient pas dix fois 247 dizai-

DIVISION DBS NQMBBBS ENTIERS. 39

nés de mille, e’est-à-dirfr 947 centaines de mille. Et il est, par conséquent, moindre que cent mille fois le diviseur.

Ce raisonnement est évidemment général, et conduit à la règle suivante :

Si l’on détache, à la gauche du dividende, autant de chiffres qu’il en faut, pour former un nombre plus grand que le diviseur et moindre que dix fois le diviseur, le premier chiffre du quotient exprime des unités deméme ordre que le nombre formépar ces chiffres.

38 Sachant que le premier chiffre du quotient exprime des dizaines de mille , il nous reste à trouver sa valeur ; la question qu’il faut résoudre est celle-ci : combien y a-t-ii de dizaines de i mille dans le quotient de la division de 8593214 par 247? Ou encore, ce qui revient au même (83), quel est le plus grand nombre de dizaines de millê qui, multiplié par 247, donne un produit inférieur à 8593214? Le produit d’un nombre de dizaines de mille par 247 ne pouvant donner que des dizaines de mille, il est clair que les chiffres 3214 qui expriment des unités d’ordre inférieur, sont ici sans influence , et que le produit en question doit être tout au plus égal à 859 dizaines de mille. Le premier chiffre du quotient est donc le plus grand nombre qui, multiplié par 247, donne un produit inférieur ou égal à 859, il est par conséquent (35) la partie entière du quotient de la division de 859 par 247.

Le raisonnement est évidemment général et conduit à la règle suivante :

Lorsque l’on a détaché à. la gauche du dividende, autant de chiffres qu’il en faut pour exprimer un nombre plus grand que le diviseur mais moindre que dix fois le diviseur, en divisant ce nombre par le diviseur, on obtient le premier chiffre du quotient.

En divisant 859 par 247 comme il a été dit (33) on trouve 3 pour quotient. Le quotient cherché, contient donc 3 dizaines de mille.

39. Remarque. Le nombre 859 que l’on détache à la droite du dividende , pour le diviser par le diviseur, se nomme Un dividende partiel. Un dividende partiel est toujours plus grand que le diviseur et moindre que dix fois le diviseur. Il peut avoir autant de chiffres que le diviseur ou un de plus.

60. Les 3 dizaines de mille trouvées au quotient expriment , évidemment , la 247* partie de 247 fois trois dizaines de mille, c’est-à-dire la 247' partie de 74l dizaines de mille. Or, le quotient étant la 247* partie du dividende , contient , outre ces trois dizaines de mille, la 247* partie de l’excès du dividende sur 741 dizaines de mille. Si donc nous retranchons de 8593214, 74 1 dizaines de mille, en divisant le reste par 247, on obtiendra le nombre qui doit compléter le quotient, c’est-à-dire, le nombre formé par l’ensemble des chiffres encore inconnus.

Le raisonnement est évidemment général et conduit à la règle suivante:

Si l'on multiplie le diviseur par le nombre qu'exprime le premier chiffre du quotient, et que l’on retranche le produit du dividende, le reste de cette soustraction, divisé par le diviseur, fournira l'ensemble des autres chiffres du quotient.

Remarque. Pour multiplier 247 par 30000, il suffit évidemment de le multiplier par 3 et d écrire quatre zéros à la droite du produit; la soustraction se fera donc en retranchant 247 multiplié par 3, dizaines de mille, ou 741 dizaines de mille, des 859 dizaines de mille du dividende et écrivant, à la suite du reste, les autres chiffres du dividende.

Retrancher de 859 le produit de 247 par 3, c’est chercher le reste de la division de 859 par 247, qui a fourni le premier chiffre du quotient; c’est donc à la droite du reste de cette division, que l’on doit écrire les derniers chiffres du dividende.

Le nombre ainsi obtenu, divisé par le diviseur, fournira l’ensemble des autres chiffres du quotient.

61. Les théorèmes précédents permettent d’effectuer une division quelconque, car ils donnent le moyen de trouver le premier chiffre du quotient et ramènent la recherche de tous les autres à une division nouvelle. En les appliquant à cette seconde division, on trouvera un second chiffre du quotient, et on ramènera la recherche de tous les autres à une troisième division; celle-ci fournira un troisième chiffre du quotient, etc. Nous sommes donc conduits à la règle suivante ;

1° Pour diviser l’un par l'autre, deux nombres entiers, on sépare à la gauche du dividende assez de chiffres pour que leur ensemble exprime un nombre au moins égal au diviseur ; en divisant ce

DIVISION DIS NOMBRES ENTIKRS. 4l

nombre par le diviseur, on obtient le premier chiffre du quotient, qui exprime des unités de même ordre que ce premier dividende partiel.

Cette première partie île la règle résulte des théorèmes démontrés (57, 58;.

2° On calcule le reste de la division qui a fourni le premier chiffre du quotient, et on écrit à sa droite, les autres chiffres du dividende-, le nombre ainsi formé, étant divisé par le diviseur, fournir a les autres chiffres du quotient.

Cette seconde partie.de la règle résulte du théorème démontré (00).

3° En appliquant à cette nouvelle division les règles que nous venons d'énoncer, on obtiendra le premier chiffre du nouveau quotient qui est, en général, le second du quotient cherché, les autres seront fournis par une troisième division.

Cette troisième partie de la règle n’a pas besoin de démonstration.

Le chiffre fourni par cette nouvelle division ne sera le second que si les unités qu’il exprime sont d’un ordre immédiatement inférieur à celles qu’exprime le premier chiffre; si cela n’avait pas lieu, il faudrait placer, entre eux, un ou plusieurs zéros. Cette circonstance se présentera , lorsqu’après avoir retranché du dividende partiel, lp produit du diviseur par le chiffre ‘trouvé au quotient, il faudra adjoindre plus d’un chiffre nouveau à cette différence pour la rendre plus grande que le diviseur, et former le second dividende partiel. 11 est clair, en effet, que, dans ce cas, les unités exprimées par le second dividende partiel ne seront pas d’un ordre immédiatement inférieur à celles qu’exprime le premier.

4° On continue ainsi jusqu'à ce qu'on obtienne un dividende moindre que le diviseur-, ce dividende est le reste de l’opération.

Car ce dividende, divisé par le diviseur, ne donnerait pas une seule unité nouvelle à ajouter au quotient, ce sera donc le reste. Si le dernier chiffre obtenu n’exprimait pas des imités simples, il faudrait écrire, à sa droite, un ou plusieurs zéros pour lui faire acquérir la valeur qu'il doit avoir.

Manière de disposer l’opération.

82. Pour faire une division on écrit le dividende et le divi-

scur sur une même ligne horizontale, on les sépare par une barre verlicale, et on souligne le diviseur. Cela fait, on sépare par une virgule le premier dividende partiel, et on inscrit, provisoirement, comme premier chiffre du quotient, le résultat approché, obtenu comme il a été dit (83). On multiplie ce premier chiffre par le diviseur, et on retranche le produit du premier dividende partiel. Si cette soustraction n’est pas possible, on diminue le chiffre inscrit au quotient jusqu’à ce que son produit par le diviseur soit moindre que le dividende partiel; on fait alors la soustraction sans écrire le produit lui -même, en retranchant ses divers chiffres au fur et à mesure qu’on les obtient. A la suite du reste on écrit le premier des chiffres non encore employés du dividende, ou, si cela est nécessaire, les deux premiers, les trois premiers... chiffres non encore employés, de manière à former un second dividende partiel plus grand que le diviseur. Ce dividende partiel, divisé par le diviseur, fournit un second chiffre du quotient. On continue de la même manière, jusqu'à ce qu’on obtienne un dividende partiel moindre que le diviseur et exprimant des unités simples.

Les calculs de la division de 8593214 par 247, se font de la manière suivante :

On détache à la gauche du dividende le nombre 859 plus grand que le diviseur, et on le divise par 247. La règle (83) conduirait à essayer le chiffre 4 , mais avec un peu d'habitude on reconnatt qu’il est trop fort ; on inscrit donc 3 au quotient. On multiplie 3 par 247 et on retranche le produit de 859, le reste est 118. A sa droite on écrit le premier des chiffres non employés du dividende , et on forme le dividende partiel 1183 qu’il faut diviser par 247. 11 divisé par 2, donnant pour quotient 6, on est conduit (33) à essayer le chiffre 5, mais le produit de 247 par 5 ne peut pas se retrancher de 1 183 ; 5 est donc trop fort , et il faut essayer 4 (l’essai du nombre 5 n’a pas été fait sur le tableau de l’opération). En retranchant de 1183 le produit de 247

par 4, on trouve pour reste 195; à sa droite on écrit le premier des chiffres non employés du dividende et on forme le dividende partiel 1952 , qu’il faut diviser par 247. 19 divisé par 2 donnant pour quotient 9, on est conduit (58) à essayer le chiffre 9, mais la moindre habitude du calcul fait voir qu’il est trop fort et qu’il en est de même de 8. On retranche donc de 1952 le produit dp 247 par 7, le reste est 223 ; à sa droite on écrit le premier des chiffres non employés du dividende, et on forme le dividende partiel 2231 qu’il faut diviser par 247.

• En 22, 2 est contenu 11 fois; nous sommes donc conduits à mettre au quotient le chiffre 9, qui est bon, car son produit par 247 peut se retrancher de 223, et laisse pour reste 8. A la droite de ce reste, on écrit le chiffre non employé du dividende et on forme ainsi le dividende partiel 84 qui ne peut se diviser par 247, et est, par conséquent, le reste de l’opération; mais comme le dividende partiel précédent , 2231 représentait des dizaines , le chiffre 9, qu’il a fourni , exprime 9 dizaines , et il faut placer un zéro à sa droite.

Considérons encore l'exemple suivant dans lequel le quotient contient plusieurs fois le chiffre 0.

Soit 1054854 à diviser par 351.

On détache, à la gauche du dividende, le nombre 1054 plus grand que le diviseur 351, et on le divise par 351. Le quotient (SS) ne peut surpasser le quotient de la division de 10 par 3, c’est-à-dire 3, essayons donc le chiffre 3 : le produit de 3 par 351 est 1053, et par conséquent moindre que 1054. Le chiffre 3 est donc bon , et le reste de cette première division partielle est 1, excès de 1054 sur 1053. A la droite de 1, j’écris les chiffres 854 du dividende; et pour obtenir un second dividende partiel supérieur à 351 , je dois prendre le nombre 1864 tout entier, mais ce nombre représente des unités simples; le dividende précédent 1054 représentant des mille, il faudra placer deux zéros au quotient entre los chiffres fournis par ces divisions. Pour diviser 1854 par 351, on divisera (85) 18 par 3, et on obtiendra un quotient 6, qui ne peut être trop petit ; puis

en divisant 18 par 4, on obtiendra un quotient 4, qui ne peut être trop grand; le quotient est donc 4, § ou 6. En essayant d’abord 6, on trouve que le produit de 6 par 351 est 2106, nombre supérieur à 1854, 6 est donc trop grand. En essayant 5, on trouve que le produit de 5 par 351 est 1755, nombre moindre que 1854, le chiffre 5 est donc bon. Le quotient cherché est donc 3015 et le reste est 99, excès de 1854 sur 1755.

Nombre des chiffres du quotient.

65. On connaît, dès le début de l'opération (57), l’ordre des imités exprimées par le premier chiffre du quotient. Dans chaque cas on saura donc, immédiatement, combien le quotient doit avoir de chiffres, car si son premier chiffre exprime des dizaines, il aura évidemment deux chiffres, trois s’il exprime des centaines, etc.; mais il existe, en outre, une règle générale qu’il est bon de connaître.

Le nombre des chiffres du quotient est la différence entre le nombre des chiffres du dividende et le nombre des chiffres du diviseur ou cette différence augmentée d'une unité.

Le premier chiffre du quotient représente, en effet, des unités de même ordre que le premier dividende partiel; tous deux sont donc suivis, l’un dans le dividende, l’autre dans le quotient d’un même nombre de chiffres.

Or, le premier dividende partiel peut avoir (59) autant de chiffres que le diviseur, ou un chiffre de plus. Dans le premier cas , le nombre des chiffres qui suivent le premier dividende partiel, et par suite, le nombre de ceux qui suivent le premier chiffre du quotient, est égal à la différence entre le nombre de chiffres du dividende, et le nombre de chiffres du diviseur; dans le second cas, il lui est inférieur d’une unité. Le nombre total des chiffres du quotient, y compris le premier, est donc, dans le premier cas, supérieur d’une unité, et, dans le second , égal à cette différence : ce qui est précisément la proposition énoncée.

Exemple. Soit 3753821 à diviser par 457.

Le premier dividende partiel étant 3753. Le premier chiffre du quotient exprimera des unités de même ordre que le chiffre 3 du dividende; il sera donc suivi, comme lui, de trois chiffres, et le quotient aura, par conséquent, quatre chiffres.

Sur la manière d’essayer les chiffres trouvés au quotient.

64. Chaque chiffre du quotient s’obtient, comme on voit, à l’aide d’une division partielle dont le quotient est moindre que 10.

Pour faire ces divisions partielles on commence , 36} par chercher deux limites , l’une inférieure , l’autre supérieure, du quotient , et on essaye les chiffres compris entre ces limites en les multipliant par le diviseur et cherchant le plus grand de ceux qui donnent un produit inférieur au dividende partiel. Il existe un autre procédé , presque toujours plus commode , que nous allons expliquer par un exemple.

Soit le dividende partiel 1853 à diviser par 392

le quotient est (33) au plus égal à 18 divisé par 3 c’est-à-dire à 6, au moins égal à 18 divisé par 4, c’est-à-dire à 4, il est donc 4, 5 ou 6. Essayons d’abord 6; pour que 6 soit bon, il suffit que 6 multiplié par. 392 donne un produit moindre que 1853, ou, ce qui revient au même , il suffit que 392 soit plus petit que la sixième partie de 1853. Prenons donc la sixième partie de 1853, si elle est moindre que 392, le chiffre 6 est à rejeter. Or, la division par un nombre d’un chiffre se fait très-facilement,

18 divisé par 6 donne pour quotient 3 et pour reste 0. Le second dividende partiel est 53, qui exprime des unités simples, le premier exprimant des centaines, il faut placer un zéro entre eux.

Nous pouvons nous arrêter là , le quotient commençant par 30... est moindre que 392. Le chiffre 6 est à rejeter.

Essayons 5 de la même manière ,

18 divisé par 5, donne pour quotient 3, il reste 3. Le second dividende partiel est 35; 35 divisé par 5 donne pour quotient 7. Nous pouvons nous arrêter là, le quotient commençant par 37... est moindre que 392. Le chiffre 5 est donc à rejeter.

Essayons enfin le chiffre 4 ,

18 divisé par 4 donne pour quotient 4. Nous pouvons nous arrêter; le chiffre 4 est bon, car le quotient commençant par 4 est plus grand que 392.

Nous donnerons encore un exemple.

Soit le dividende partiel 17325 à diviser par 1952. 17 divisé par 1 donne 17 pour limite supérieure du quotient, maiscomme on sait d’ailleurs que le quotient ne peut surpasser 9, cette première opération n'apprend rien. 17 divisé par 2 donne 8, le quotient est donc au moins 8, donc il est 8 ou 9.

Essayons 9.

17 divisé par 9 donne pour quotient 1 et il reste 8 ; le second dividende partiel est 83 qui, divisé par 9, donne 9 pour quotient et 2 pour reste : le troisième dividende partiel est 22 qui, divisé par 9 donne 2 pour quotient. Le quotient commençant par 192 est plus petit que 1952 et le chiffre 9 est à rejeter; le quotient est par conséquent 8.

Preuve de la division.

0o. Pour faire la preuve d'une division, on multiplie le diviseur par le quotient et on ajoute le reste à ce produit ; la somme doit être égale au dividende.

Supposons en effet, qu’en divisant 7834 par 31 ou ait trouvé 252 pour quotient et 22 pour reste, le dividende doit contenir (43) une partie dont le 31* est 252, et, en outre, un reste 22; on doit donc avoir

7834 = trente et une fois 252+ 22

et c’est là la condition nécessaire et suffisante pour que l’opération soit exacte.

Remarque. A et B désignant des nombres quelconques, pour exprimer que le quotient de leur division est Q et le reste R , il suffit d’écrire :

A=BxQ+R

et d’ajouter que R est moindre que B.

Remarque 11. De même que la multiplication sert de preuve à la division, la division peut servir de prouve à la multiplication. Pour qu’une multiplication soit exacte, il faut, en effet, que le produit , divisé par le multiplicande , donne pour quotient le multiplicateur et pour reste zéro. Si par exemple , 30 est égal h 5 x 6, le cinquième de 30 est évidemment 6.

Théorèmes relatifs à la division.

66. Théorème I. Quand on multiplie le dividende et le diviseur d’une division par un même nombre, le quotient ne change pas, et le reste est multiplié par ce nombre.

752 divisé par 13, donnant pour quotient 57, et pour reste 9, il faut prouver qu’en prenant pour dividende 752 X 12 et pour diviseur 13 X 12, le quotient sera encore 57 el le reste, 9 x 12.

Le résultat de la première division nous apprend , en effet , que, 752 unités, contiennent 57 fois 13 unités et, en outre, 9 unités.

Le mot unité exprime ici uue grandeur tout à fait arbitraire , qui peut être une collection de 12 objets ou une douzaine, et par conséquent, 752 douzaines contiennent 57 fois 13 douzaines et en outre 9 douzaines.

Or, cette dernière phrase, exprime que 12X752, divisé par 12X13, donne pour quotient 57, et un reste 12X9 évidemment moindre que le diviseur. C’est ce qu’il fallait démontrer. Le raisonnement est général et l’on pourrait substituer à 12 un multiplicateur quelconque.

67. Théorème II. Pour diviser un nombre par le produit de plusieurs facteurs, il suffit de le diviser successivement par chacun d'eux.

1° Ce théorème est évident dans le cas où les divisions se font exactement. Si l’on a, par exemple, à diviser une grandeur en 35 parties égales, on peut la partager d’abord en 5 , puis partager ensuite chacune des cinq parties en 7. Cela fera, en tout, sept fois cinq ou trente-cinq parties, évidemment égales entre elles, et représentant, par conséquent, le quotient de la division de la grandeur considérée , par le nombre 35.

66. Si les divisions ne conduisent pas à des quotients entiers

et que l'on se borne à prendre la partie entière de chacun d'eux, le théorème est encore exact, mais il n'est pas aussi évident. Nous établirons un lemme, ou proposition préliminaire.

Si un dividende n’est pas entier, la partie entière du quotient de la division par un diviseur entier ne dépend que de la partie entière du dividende.

Supposons, par exemple, que l’on ait à diviser par 17, un nombre compris entre 123 et 124. Je dis que la partie entière du quotient est la même que si l’on divisait 123 par 17. La partie entière du quotient est en effet (84) le plus grand nombre entier, dont le produit par 17 soit contenu dans le dividende. Elle est, par conséquent, égale au quotient que l’on obtiendrait en divisant par 17, le plus grand multiple de 17 qui soit contenu dans le dividende; or, les multiples de 17 sont des nombres entiers, le plus grand de ces multiples qui soit contenu dans un nombre compris entre 123 et 124 est donc le même que le plus grand de ceux qui sont contenus dans 123.

Cela posé, supposons que l’on ait à diviser 1847 par 60. Ou peut (07) prendre le cinquième, puis le douzième du résultat. En divisant 1847 par 5, nous trouvons 369 pour partie entière du quotient. Le cinquième de 1847 est compris , par conséquent, entre 369 et 370. Lors donc que nous prendrons le douzième de ce cinquième, la partie entière sera la même que celle du douzième de 369. 11 est donc prouvé que la partie entière du quotient de 1847 par 60 est la même que celle du quotient de 369 par 12, c’est-à-dire qu elle est égale au résultat obtenu en divisant 1847 par 5, puis le résultat par 12, et se bornant, à chaque fois, à prendre la partie entière du quotient.

RÉSUMÉ

150. Définition de la division, du dividende, du diviseur, du quotient. — 8i. Définition du reste. — 1*2. Le reste est toujours moindre que le diviseur. — 33. Autre point de vue sous lequel on peut considérer la division on prouve qu’il conduit au même résultat. — 84. Moyen de reconnaître si le quotient est plus grand ou plus petit qu’un nombre donné. — 88. Division de deux nombres entiers , en supposant que le quotient n’ait qu’un chiffre. 1° Cas où le diviseur n’a qu’un chiffre. 2° Cas où il est égal à un chiffre significatif suivi de plusieurs zéros. 3° Cas où les deux nombres sont quelconques ; on n'a pas , dans ce troisième cas, de règle qui puisse con-

duire sans tâtonnements au résultat; on se borne à substituer des zéros’’ aux chiffres du diviseur qui suivent le premier et on obtient ainsi un quotient approché qui ne peut être trop petit; on cherche sa valeur exacte par une suite d’essais. — 80. Moyen d’obtenir une limite supérieure de la partie entière du quotient. Cas où cette limite coïncide avec la limite inférieure. — 87. Division de deur nombres entiers quelconques. Si on détache à gauche du dividende le nombre de chiffres nécessaire pour exprimer un nombre plus grand que le diviseur, le dernier de ces chiffres exprime des unités du même ordre que le premier chiffre du quotient. — 88. En divisant le nombre ainsi détaché par le diviseur, on obtient exactement le premier chiffre du quotient. — 8». Ce qu’on entend par dividende partiel. — 00. En multipliant le diviseur par le nombre qu’exprime le premier chiffre du quotient et retranchant le produit du dividende, on obtient un reste qui, divisé par le diviseur, fournit l'ensemble des autres chiffres du quotient. — Moyen abrégé de former ce reste. — 01. Les théorèmes précédents permettent d’énoncer immédiatement la règle générale de la division. — 02. Développements sur la manière de disposer l’opération. — 05. Théorème relatif au nombre des chiffres du quotient. — 04. Moyen abrégé d’essayer les chiffres trouvés au quotient. — 08. Preuve de la division. —

00. Quand on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre, le quotient ne change pas et le reste est multiplié par ce nombre. — 07. Pour diviser un nombre par un produit, on peut le diviser successivement par les facteurs. — 08. Cas où les divisions ne se fesant pqp exactement on se borne à prendre les parties entières des quotients.

EXERCICES

1. La consommation annuelle est enFrance de 5716439726 litres de blé, 2361882282 litres de vin, 749120964462 grammes de viande, 223351911450 grammes de sel, et 124871689344 grammes de sucre. Calculer la consommation moyenne par habitant, en supposant le nombre des habitants égal à 34230178. Comparer cet exercice au premier de ceux qui sont relatifs à la multiplication , et montrer que la division est l’opération inverse de la multiplication.

) II. Si un nombre est exactement divisible par 9, pour trouver le quotient de la division , on peut procéder de la manière suivante :

^ Soit le nombre 51246, écrivez un zéro au-dessus du chiffre des unités, retranchez le dividende d’un nombre, qui ayant ce zéro pour dernier chiffre, aurait, pour les autres chiffres, ceux que fournit la soustraction elle-même; ainsi, dites : 6 de 10 reste 4,

4 est le chiffre des dizaines du nombre supérieur, 4 et 1 font 5,

5 de 14 reste 9, 9 est le chiffre des centaines du nombre supérieur. 2 et 1 font 3, 3 de 9 restent 6 ; 6 est le chiffre des mille du nombre supérieur. 1 de 6 reste 5 , 5 est le chiffre des dizaines de mille du nombre supérieur, 5 de 5 reste O; le quotient cherché est 5694.

I III. Si un nombre est exactement divisible par 11, on peut faire la division d'une manière analogue. Soit le nombre 345785 à diviser par 11.

écrivez un zéro au-dessous du chiffre des imités, et retranchez du dividende un nombre dont le zéro, est le dernier chiffre, et dont les autres chiffres sont fournis par la soustraction ellemême.

( IV. Si un nombre est exactement divisible par 99, on peut procéder de la manière suivante pour obtenir le quotient. Soit 56529 à diviser par 99 :

écrivez deux zéros au-dessus des deux derniers chiffres du dividende et retrancher le dividende d'un nombre qui, ayant ces deux zéros pour ses deux derniers chiffres a pour ses autres chiffres ceux que fournit la soustraction elle -même.

| V. Si on divise un nombre par le produit de plusieurs autres, le quotient est le même qu’en le divisant successivement par chacun d’eux. Prouver ce théorème : 1° quand les divisions se font exactement; 2° quand elles ne réussissent pas et qu’on se borne à prendre les parties entières des différents quotients. Par exemple, en divisant un nombre par 35, on aura la môme partie entière au quotient que si on le divisait par 5, et la partie entière du résultat par 7.

VI. Il existe en France 4395 machines à vapeur, dont la force totale est de 54467 chevaux, quelle est la force moyenne de ces machines?

VII. Le département de la Seine possède 663 de ces machines. Leur force totale est 5065 chevaux , la force moyenne dans ce departement, est-elle plus grande que dans le reste de la France? Faire le môme calcul pour le département de la Haute-Loire, qui possède 11 machines dont la force est de 217 chevaux.

VIII. Quand on dit qu’une machine a la force d'un cerlain nombre de chevaux , on entend qu’elle est capable de produire un certain nombre de fois un effet déterminé qui , par convention, répond à la force d’un cheval; on a calculé que les machines qui existent en France peuvent remplacer, effectivement, le travail de 163401 chevaux de trait. Sachant que leur force totale est de 54467 chevaux , trouver combien une machine de la force de 25 chevaux peut remplacer de chevaux de trait.

IX. Une machine à vapeur consomme, par force de cheval et par heure, 6750 grammes de charbon. Sachant qu’elle a dépensé en huit jours (travaillant jour et nuit), 395 hectolitres de charbon, au poids de 80 kilogrammes l’hectolitre, trouver quelle est sa force.

X. Un 'chemin de fer a transporté, en 1849, 1129371 voyageurs à une distance moyenne de 13 kilomètres. Il a dépensé en combustible, 98536 francs. Le coke revenant à 4 francs 30 centimes l’hectolitre, et l’hectolitre pesant 80 kilogrammes; trouver en grammes, le poids de coke correspondant à un voyageur et à un kilomètre.

XI. On a fabriqué en France, en 1847, 8315 quintaux métriques de fers de faux. Quel est le nombre de ces fers, sachant que le poids moyen de l’un d’eux est 775 grammes

XII. Les mines de houilles, en France, emploient 31752 ouvriers. La houille extraite s’élève annuellement à 44693420 quintaux métriques , quelle est la production annuelle par ouvrier.

XIII. La superficie de la France évaluée en mille carrés de 15 au degré est 11653. Celle de la monarchie prussienne est 5040. La population de la France étant 34230178, et celle de la Prusse 12552278, quel est celui des deux pays dans lequel la population est la plus dense.