CHAPITRE Y

CONDITIONS DE DIVISIBILITÉ

PllEUVES PAU 9 ET T AU II.

CONDITIONS DE DIVISIBILITÉ

Déflnitioas et théorèmes généraux.

69. Quand le reste d’une division est nul, on dit que le dividende est divisible parle diviseur. Il est alors égal au produit du diviseur par le quotient. Dire, en effet, par exemple, que 42 divisé par 6 donne pour quotient 7, c’est dire que 42 est égal à six fois sept. Il résulte de là, qu’un nombre divisible par un autre est (27) un de ses multiples; réciproquement , tous les multiples d’un nombre sont évidemment divisibles par ce nombre.

Un nombre qui en divise un autre se nomme souvent un diviseur de cet autre. Ainsi les locutions suivantes sont équivalentes :

42 est divisible par 6.

42 est un multiple de 6.

6 est un diviseur de 42.

70. Théorème I. Si un nombre divise exactement toutes les parties d’une somme , il divise aussi la somme.

La somme étant en effet composée de parties égales chacune à un nombre entier de fois le diviseur, le contiendra, elle-même, un nombre entier de fois , car la somme de plusieurs nombres entiers est un nombre entier. |^L

71. Théorème II. Tout nombre qui en divise un autre divise les multiples.

Car les multiples d’un nombre pouvant s’obtenir en l’ajoutant à lui-même un certain nombre de fois , il est clair que ses

CONDITIONS DE DIVISIBILITÉ

diviseurs divisent toutes les parties des sommes ainsi formées et, par suite (70), les sommes elles-mêmes.

72. Théobème III. Tout nombre qui en divise exactement deux autres, divise aussi leur différence.

Les deux termes de cette différence contenant , en effet , un nombre entier de fois le diviseur, la différence le contiendra , elle-même, un nombre entier de fois, car la différence de deux nombres entiers est un nombre entier.

Remarque. Tout nombre qui divise exactement une somme et une de ses parties, divise aussi l'autre partie.

Ce théorème ne diffère du précédent que par la forme de l’énoncé, car la seconde partie de la somme peut être considérée comme la différence entre la somme entière et l’autre partie.

75. Théorème IV. Si deux nombres divisés par un troisième donnent des restes égaux, leur différence est divisiblé par ce troisième, et réciproquement, si la différence de deux nombres est divisible par un troisième, ces deux nombres divisés par le troisième donneront des restes égaux.

Si , en effet , on retranche des deux nombres ces restes , qui , par supposition, sont égaux, leur différence ne changera pas; or , après cette soustraction , ilé sont l’un et l’autre divisibles par le diviseur considéré, et, par suite (72), leur différence Test aussi.

Réciproquement; si la différence de deux nombres est divisible par un troisième, ces deux nombres, divisés par le troisième, donnent des restes égaux. Soient en effet les deux nombres 87 et 65, dont la différence 22 est divisible par 11. Je dis que ces nombres, divisés par 11 , doivent donner le même reste. On peut en effet considérer 87, comme égal à 65 augmenté de la différence 22; Or, il est évident qu’en divisant par 11 cette somme 65+22, la seconde partie 22, se divisant exactement et donnant pour quotient 2, n'aura d’autre influence que d’.augmenter le quotient de deux unités, le reste proviendra donc seulement de la division de 65 par 1 1 . 87 divisé par 1 1 laisse donc le même reste que 65 divisé par 1 1 .

On peut énoncer la proposition précédente en disant : le reste d’une division n’est pas changé quand on ajoute au dividende un multiple du diviseur.

CONDITIONS DK DIVISIBILITE.

Conditions de divisibilité par î, i, V, 2 â et 8.

74. Le principe précédent permet de calculer facilement le reste d'une division, lorsque le diviseur est l’un des nombres 2, 5, 4, 25, 8, 125.

1° Le reste d'une division par 2 ou par 5, s’obtient en divisant par 2 ou par 5, le chiffre des unités du dividende.

Soit le nombre 78917; il se compose de 7891 dizaines et de 7 unités. 10 étant égal à 2x5, est divisible par 1 2 et par 5. Cette partie du dividende est donc (73) sans influence sur le reste. En la supprimant il reste 7, qui, divisé par 2 ou 5 , donnera le môme reste que le nombre proposé. H résulte de là , que 78917 divisé par 2 , donne pour reste 1 , et divisé par 5, donne pour reste 2.

Remarque. Pour qu’un nombre soit divisible par 2 ou par 5, il faut que le reste de la division soit O, et par conséquent, que le chiffre des unités soit divisible par 2 ou par 5.

Les seuls chiffres divisibles par 5 , étant O et 5 , pour qu'un nombre soit divisible par 5, il faut et il suffit, qu’il soit terminé par un O, ou par un 5.

2° Le reste d'une division par 4 ou par 25, s'obtient en divisant par 4 ou par 25, le nombre exprimé par les deux derniers chiffres du dividende.

Soit le nombre 78917; il se compose de 789 centaines et de 17 unités. 100 étant égal à 4 X25 est divisible par les deux nombres 4 et 25 , il en est par conséquent de môme de sou multiple 789 centaines; cette partie du dividende est donc (73) sans influence sur le reste; en la supprimant, il reste 17 qui, divisé par 4 ou 25, donnera le même reste que le nombre proposé. 17 divisé par 4 donne pour reste 1, et divisé par 25, il donne pour reste 17; 78917 divisé par 4 et 25, donne donc pour restes 1 et 17.

Rkmarqüb. Pour qu’un nombre soit divisible par 4 ou 25, il faut que le reste de la division soit 0, et par conséquent que les deux derniers chiffres expriment un nombre divisible par 4 ou 25.

Les seuls nombres de deux chiffres divisibles par 25 étant 00, 25, 50 et 75; pour qu’un nombre soit divisible par 25, il faut et il suffit, qu’il soit terminé par 00, 25, 50 ou 75.

CONDITIONS DE DIVISIBILITÉ

3° Le reste d'une division par 8 ou 125, s’obtient en divisant par 8 ou 125, le nombre exprimé par les trois derniers chiffres.

La démonstration se fera absolument comme les deux précédentes, si on remarque que 1000 étant égal à 8X125, tout multiple de 1000 est divisible par 8 et par 125, et n’a par conséquent, aucune influence sur le reste de la division par ces deux nombres.

On verra , comme dans les cas précédents, que la condition nécessaire et suffisante, pour qu’un nombre soit divisible par 8, est que l’ensemble des trois derniers chiffres exprime un nombre divisible par 8.

Remarque. Les démonstrations précédentes sont fondées, sur ce que, 10 est divisible par 2 et 5; 100 par i et 25; 1000 par 8 et 125. On peut admettre ces vérités comme des faits taciles à constater, mais on peut aussi les rattacher les unes aux autres , on a en effet :

100=10X 10=(2Xô)X(2 X5)=2X5X2X5 = 2*X5*

Condition de divisibilité par 9.

78. Avant d’énoncer les conditions de divisibilité par 9, nous établirons quelques propositions préliminaires.

1° L’unité suivie d’un ou plusieurs zéros exprime un nombre égal à un multiple de 9 augmenté d’une unité : on a , en effet

Ces égalités prouvent la proposition énoncée, car 9 étant égal à 1 fois 9, 99 à 11 fois 9, 999 à 111 fois 9, etc. ces nombres sont des multiples de 9.

2 ° Un chiffre, suivi d’un ou de plusieurs zéros, exprime un nombre égal à un multiple de 9, augmenté de la valeur de ce chiffre.

CONDITIONS DK DIVISIBILITÉ.

Soit, par exemple, 70000. Nous venons de prouver que 1 10000= un multiple de 9+1.

70000, est égal à 7 fois 10000. Or, on répète une somme 7 lois en multipliant chacune de ses parties par 7 : par conséquent

70000= (un multiple de 9) x 7 +7.

Un multiple de 9, multiplié par 7, donnant pour produit un nouveau multiple de 9 , nous pouvons écrire

70000= un multiple de 9+7,

c'est ce qu’il fallait démontrer.

3° Tout nombre est égal à un multiple de 9, augmenté de la somme de ses chiffres.

Soit , par exemple , 72385. Ce nombre est compose de cinq parties, 70000, 2000, 300, 80 et 5 ; or, d’après la proposition précédente,

70000 =un multiple de 9+7 2000=un multiple de 9+2 300=un multiple de 9+3 80= un multiple de 9 + 8

on conclut de là, en ajoutant et remarquant que la somme de plusieurs multiples de 9 , est un multiple de 9 :

72385= un multiple de 9+7 + 2 + 3+8+Ô, c’est ce qu’il fallait démontrer.

Nous pouvons maintenant démontrer la proposition suivante.

76. Pour qu’un nombre soit divisible par 9, il faut et il su/fit que la somme de ses chiffres soit divisible par 9.

Tout nombre entier est égal, en effet (75), à un multiple de 9, augmenté de la somme de ses chiffres; si donc la somme des chiffres est un multiple de 9, le nombre étant composé de deux parties divisibles par 9, est divisible par 9. Réciproquement, pour que le nombre soit divisible par 9, il faut que la somme des chiffres le soit, car autrement, en ajoutant cette somme à un multiple de 9, le résultat ne pourrait être divisible par 9.

CONDITIONS DE DIVISIBILITÉ

Reste de la division d’un nombre par 9.

77. Un nombre divisé par 9, donne le même reste que la somme de ses chiffres.

Tout nombre entier étant égal, eq effet (78), à un multiple de 9, augmenté de la somme de ses chiffres, et le multiple de 9, se divisant exactement par 9, le reste de la division par 9 ne pourra provenir que de la somme des chiffres.

Exemple. Soit à diviser 73214 par 9 : la somme des chiffres est 17; 17 divisé par 9, donne pour reste 8 : l’opération ne réussira donc pas, et laissera 8 pour reste.

Condition de divisibilité par 3.

78. Pour qu’un nombre soit divisible par 3, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par 3.

Tout multiple de 9, est, en effet, un multiple de 3. Par conséquent (78), un nombre quelconque est égal à un multiple de 3, augmenté de la somme de ses chiffres. Partant de là , on démontrera le théorème énoncé , comme le théorème analogue relatif au diviseur 9. On verra aussi , qu’un nombre divisé par 3, donne le même reste que la somme de ses chiffres.

Condition de divisibilité par il.

79. Avant d’énoncer cette condition , nous établirons quelques propositions préliminaires, sur lesquelles sa démonstration repose.

1° L’unité suivie d’un nombre impair de zéros exprime un nombre égal à un multiple de 11 diminué d'une unité; et l'unité suivie d’un nombre pair de zéros exprime un nombre égal à un multiple de 11 augmenté d’une unité.

On a évidemment

Si on multiplie par 10 ces deux nombres égaux, les produits seront égaux ; par conséquent

58 CONDITIONS DE DIVISIBILITÉ

Ce qui peut s’écrire

Cette dernière égalité exprime que cent est un multiple de 11, (11X10 — 11), augmenté d’une unité, nous pouvons donc écrire

100= un multiple de 11 + 1.

Si on multiplie par 10 ces deux nombres égaux , les produits seront égaux, et par conséquent ,

I000=(un multiple de 11)X10+10:

Ce qui peut s’écrire

1000 =un multiple de 11 +11 — 1.

Car, un multiple de 11, multiplié par 10, donne pour produit un nouveau multiple de 11, et, pour ajouter 10, on peut ajouter 11 et retrancher 1. Or, un multiple de lt, augmenté de 11, donne pour somme un multiple de 11 ; on peut donc écrire

1000= un multiple de 11 — 1.

En raisonnant de la même manière , on trouvera successivement

10000 = un multiple de 11 + 1 100000= un multiple de 1 1 — 1 1000000 = un multiple de 1 1 + 1 .

ce qui démontre la proposition énoncée.

2° Un chiffre, suivi d’un nombre impair de zéros, exprime un multiple de 11, diminué de la valeur de ce chiffre, et un chiffre suivi d’un nombre pair de zéros exprime un multiple de 11, augmenté de la valeur de ce chiffre.

Soit, par exemple, 7000, on a, d’après la proposition précédente,

1000 = un multiple de 11 — 1.

On en conclut (40)

7000 = (un multiple de 1 1) X 7 — 7.

Le produit d’un multiple de 1 1 par 7, étant un multiple de 1 1 , on peut écrire

7000 = un multiple de 1 1 — 7 ; ce qu’il fallait démontrer.

CONDITIONS DB DIVISIBILITÉ. 59

La démonstration serait la môme dans le cas d’un chiffre suivi d’un nombre pair de zéros.

3° Un nombre quelconque est égal à un multiple de 11, augmenté de la somme des chiffres de rang impair à partir de la droite, et diminué de la somme des chiffres de rang pair.

Soit, par exemple, 82145. Ce nombre est composé de cinq parties : 80000 , 2000, 100 , 40 et 5; or, d’après la proposition précédente , on a :

80000 = un multiple de 1 1 -f- 8 2000 = un multiple de 1 1 — 2 100 — un multiple de 1 1 -f- 1 40 = un multiple de 1 1 — 4

En écrivant que la somme des premiers membres est égale à celle des seconds, et remarquant que la somme de plusieurs multiples de 11 est un multiple de 11 , nous obtiendrons l égalité suivante : „

82145 = un multiple de 11 -f 5— 4-f-l — 2-f-8.

Ce qui démontre le théorème énoncé.

80 . Remarque. Quand les chiffres de rang impair ont une somme plus grande que ceux de rang pair, on peut dire : un nombre entier est égal à un multiple de 11, augmenté de l'excès de la somme des chiffres de rang impair sur la somme des chiffres de rang pair. Quand, au contraire, la somme des chiffres de rang pair est la plus grande, on peut dire : un nombre entier est égal à un multiple de 11, diminué de l'excès de la somme des chiffres de rang pair sur celle des chiffres de rang impair.

81. Pour qu'un nombre entier soit divisible par 11, il faut et U suffit que la différence entre la somme des chiffres de rang impair, à partir de la droite, et celle des chiffres de rang pair, soit nulle ou divisible par 1 1 .

En effet , un nombre entier quelconque est égal (80) à un multiple de 11, augmenté ou diminué de la différence de ces deux sommes. Si donc cette différence est nulle ou égale à un multiple de 11, le nombre sera divisible par 11. Réciproque-

60 CONDITIONS DE DIVISIBILITÉ

nicni, pour qu’un nombre soit divisible par il, il faut que cette différence le soit elle-même, sans quoi en l’ajoutant ou la retranchant d’un multiple de 11, le résultat ne pourrait être divisible par 1 1 .

Reste d’une division par 11.

82. La recherche du reste d’une division par 11 peut présenter deux cas :

1° Si la somme de ses chiffres de rang impair surpasse celle des chiffres de rang pair, le dividende est égal (80) à un multiple de 1 1 augmenté de la différence de ces deux sommes ; lors donc qu’on le divisera par 1 1 , le multiple de 1 1 donnant un quotient entier, le reste , s’il y en a un , ne proviendra que de cette différence. Ainsi donc, quand la somme des chiffres de rang impair, à partir de la droite, surpasse celle des chiffres de rang pair, le reste de la division par 11, est égal au reste obtenu en divisant par 1 1 , la différence de ces deux sommes.

Exemple : 75246 divisé par 11 donne pour reste 6.

2° Si la somme des chiffres de rang impair est moindre que celle des chiffres de rang pair, le dividende est égal (80) à un multiple de 11 diminué de la différence de ces deux sommes. Soit, par exemple, le dividende 358291, on a :

358291 = un multiple de 11 — 12.

Pour retrancher 12, on peut d’abord retrancher 11, ce qui laissera évidemment pour reste un multiple de 11, dont on devra encore soustraire une unité ; on peut donc écrire :

358291 = un multiple de 1 1 — 1 ;

mais en détachant 11 unités du multiple de 11 indiqué dans le second membre , il restera encore un multiple de 1 1 ; nous pouvons donc écrire :

358291= un multiple de 11 + 11 — l=un multiple de 11 + 10.

D’où l’on conclut , que le reste de la division de 358291 par 1 1 , est 10. Le raisonnement est général, il conduit à la règle suivante :

Lorsque la somme des chiffres de rang impair, à partir de la droite, est moindre que celle des chiffres de rang pair, on cherche la différence de ces deux sommes, et on en retranche 11 autant de

CONDITIONS DE DIVISIBILITÉ

fois que possible ; l'excès de 11 sur le reste ainsi obtenu, est le reste cherché.

Preuve par 9 et par 11 de la multiplication.

03. Les preuves de la multiplication auxquelles on a donné le nom de preuve par 9 et preuve par 11, sont fondées sur le théorème suivant :

Si l’on divise par un diviseur quelconque le produit de deux nombres, on obtient le même reste que si l’on substituait aux deux facteurs les restes de leurs divisions par ce diviseur.

Avant de démontrer ce théorème, nous en donnerons un . exemple pour bien fixer le sens de son énoncé.

Soit le produit 65 X 47 à diviser par 12. 65 divisé par 12, donnant pour reste 5, et 47 divisé par 12, donnant pour reste 1 1 .

Le théorème consiste en ce que 65 X 47 étant divisé par 12, donne le même reste que 5X11, divisé également par 12. La vérification est facile.

et 3055 et 55 divisés par 12, laissent l’un et l’autre un reste égal à 7.

Démontrons maintenant le théorème par un raisonnement qui puisse s’appliquer à tous les cas.

Considérons le produit 65 x 47. Si l’on retranche du multiplicande 65, un multiple de 12, le 4 produit diminue de 47 fois ce multiple de 12, c’est-à-dire d’un multiple de 12, et le reste de la division par 12 (73) n’est pas changé. On peut donc , sans changer le reste, retrancher 12 de 65 autant de fois que possible , et substituer par conséquent , à ce multiplicande , le reste 5 de sa division par 12.

Sachant que 5 x 47 donne, quand on le divise par 12, le même reste que 65x47, nous remarquerons que si l’on retranche un multiple de 12 du multiplicateur 47, le produit sera diminué du produit de 5 par ce multiple de 12, c’est-à-dire d’un multiple de 12, et le reste de la division par 12 ne sera pas changé. On peut donc, sans changer le reste, retrancher 12 de 47 autant de fois que possible , et substituer à ce multiplica-

CONDITION:» DK DIV1SIRIL1TK.

tour le reste 11 de sa division par 12. Ce qui démontre la proposition énoncée.

84. Pour faire la preuve par 9 d’une multiplication , on cherche les restes de la division par 9 du multiplicande et du multiplicateur; le produit, de ces restes, divisé par 9, doit laisser le môme reste que le produit des doux nombres proposés (03). Si cette vérification ne réussit pas, l’opération est inexacte, mais le contraire n’est pas toujours vrai.

83. Pour faire la preuve par 11 d’une multiplication, on cherche les restes de la division par 11 du multiplicande et du multiplicateur; le produit de ces restes divisé par 11, doit donner le même reste que le produit des deux nombres proposés (83). Si cette vérification ne réussit pas, l’opération est inexacte, mais le contraire n’est pas toujours vrai.

Exemple. Supposons qu’en multipliant 723 par 87, on ait trouvé pour produit 62901 ; 723 et 87, laissent 3 et 6 pour restes de leur division par 9 ; leur produit doit donc laisser le môme reste que 3X6 ou 18 ; c’est-à-dire qu’il doit être divisible par 9. Le nombre 62901 satisfait à cette condition, car la somme de ses chiffres est 18. 723 et 87, divisés par 11, laissent pour restes 8 et 10 ; leur produit doit donc laisser le môme reste que 80. 80 et 62901, laissent, en effet, l’un et l’autre 3, pour reste de leur division par 11. Les deux preuves réussissent donc. Mais cette double vérification ne permet pas d’affirmer que le résultat soit exact.

88. Remarque I. Quand la preuve par 9 d’une multiplication réussit, on doit en conclure seulement, que l’erreur, s’il y en a une, est un multiple de 9. De môme, la réussite de la preuve par 11, prouve seulement que l’erreur, s’il y en a une, est un multiple de 11, Pour que les deux preuves réussissent, l’opération n’étant pas exacte, il suffirait que l’erreur fût à la fois un multiple de 11 et un multiple de 9.

87. Remarque 11. Les valeurs particulières des nombres 9 et 11 sont sans influence sur les raisonnements qui précèdent. On pourrait considérer d’autres diviseurs , les conclusions resteraient les mômes. La seule raison qui porte à adopter 9 ou 11,

CONDITIONS DE DIVISIBILITÉ

est la facilité avec laquelle s’obtiennent les restes (les divisions par ces nombres. Les diviseurs 2, 3, 4, 5, 8, 10, 25, donnent aussi, il est vrai, des restes faciles à calculer; mais la preuve par ces différents nombres, ne donnerait aux résultats qu’une bien faible garantie d’exactitude.

Le reste d’une division par 2, 5, 10, 4, 25 et 8 ne dépendant que du premier, des deux premiers ou des trois premiers chiffres à droite, la preuve par un de ces nombres ne ferait porter la vérification que sur ces seuls chiffres.

Le succès de la preuve par 3 apprendrait seulement que l’erreur, s’il y en a une, est un multiple de 3, et comme sur 3 nombres consécutifs, l’un est divisible par 3, le hasard la ferait souvent réussir pour des opérations inexactes. Ajoutons, que dans le cas où la preuve par 9 a réussi, la preuve par 3 n’apprendrait rien de nouveau , car quand l’erreur est un multiple de 9, elle est aussi un multiple de 3.

RÉSUMÉ

69. Ce qu’on entend par nombres divisibles l’un par l’autre. — 70. Un nombre divise une somme quand il divise ses parties. — 71. Un nombre qui en divise un aulre divise les multiples. — 72. Un nombre qui eA divise deux autres divise leur ditîérence. — 73. Si deux nombres divisés par un troisième laissent des restes égaux, leur différence est divisible par ce troisième. Le reste d’une division n’est pas changé quand on ajoute au dividende un multiple du diviseur. — 74. Condition de divisibilité et reste de la division par 2 f par 5; par 4; par 25; par 8, Les conditions précédentes sont fondées sur ce que <0 est divisible par 2 et 5; <00 par 4 et 25; <000 par 8 et <25. On peut démontrer a priori qu’il en est ainsi. — 73. La condition de divisibilité par 9 résulte de trois propositions préliminaires : <° l’unité suivie d’un ou plusieurs zéros exprime un nombre égal à un multiple de 9 augmenté d’une unité; 2° un chiffre suivi d’un ou plusieurs zéros exprime un nombre égal à un multiple de 9 augmenté de ce chiffre; 3° un nombre quelconque est égal à un multiple de 9 augmenté de la somme de ses chiffres. — 76. On conclut de là que, pour qu’un nombre soit divisible par 9, il faut et il sufGt que la somme de ses chiffres le soit elle-même. — 77. Un nombre divisé par 9 donne le môme reste que la somme de ses chiffres. — 78. Condition de divisibilité par 3. — 79. La condition de divisibilité par < < résulte de trois propositions préliminaires : <° l’unité suivie d'un ou plusieurs zéros exprime un nombre égal A un multiple

CONDITIONS DE DIVISIUIL1TK.

„ g! de <1 augmenté ou diminué d'une unité, suivant que le nombre des zéros est pair ou impair; 2° un chiffre suivi d’un ou plusieurs zéros exprime un nomtye égal à un multiple de 41 augmenté ou diminué de la valeur de ce chiffre, suivant que le nombre des zéros est pair ou impair ; 3” un nombre quelconque est égal à un multiple de 14 augmenté de la somme des chiffres de rang impair, à partir de la droite, et diminué de la somme des chiffres de rang pair. — 80. Remarque sur les deux manières dont on peut énoncer la proposition, suivant que la somme des chiffres do . rang pair est plus grande ou plus petite que la somme des chiffres de rang impair. — 81. Pour qu’un nombre soit divisible par 11 il faut que la différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pairsoit divisible par 14. — 82. Reste de la division d'un nombre par 1 4 ; 1° dans le cas où la somme des chiffres de rang impair surpasse la somme des chiffres de rang pair; 2° dans le cas où la somme des chiffres de rang pair est la plus grande. — 83. Théorème sur lequel reposent les preuves par 9 et par 11. — 84. Preuve par 9 de la multiplication. — 88. Preuve par 41. — 86. Quand les preuves par 9 et par 1 1 ont réussi , on ne peut pas en conclure que l'opération soit exacte. — 87. Remarque sur les raisons qui font choisir les diviseurs 9 et 14 pour faire la preuve de la multiplication.

EXERCICES

^ F. Un nombre est divisible par 6, si le chiffre des unités ajouté à quatre fois la somme de tous les autres, donne une somme divisible par 6.

y H. Un nombre est divisible par 4, si le chiffre des unités ajouté au double du chiffre xles dizaines , donne une somme divisible par 4.

' III. Un nombre est divisible par 8, si le chiffre des unités ajouté au double du chiffre des dizaines, et à quatre fois celui des centaines donne une somme divisible par 8.

\ IV. Un nombre est divisible par 99, si, en le séparant en tranches de deux chiffres à partir de la droite, la somme des tranches est divisible par 99. La même règle s’applique aux diviseurs 9 et 1 1 .

\V. Si on fait le produit d’un nombre quelconque de facteurs, le reste de la division par 9 ou par 1 1 sera le même que le reste obtenu en divisant par 9 ou par il, le produit des restes correspondant aux différents facteurs.

\VI. La somme des carrés de deux nombres entiers, ne peut

CONDITIONS DK DIVISIBILITE.

être divisible par 7, que si ces nombres sont eux-mêmes divisibles par 7.

! VII. Si on multiplie deux nombres entiers consecutifs, le produit est toujours pair ; en prenant la moitié de ce produit, on aura un quotient qui , divisé par 3, ne pourra jamais donner pour reste 2.

/ VIH. a et b étant deux nombres non divisibles par 3, o s — b ' est divisible par 9.

J IX. Pour diviser par 9 un nombre dont les chiffres sont abede, on peut procéder de la manière suivante : on fait la somme des chiffres a-\-b-\-c-\-d-\-e, et on la divise par 9 ; soit q le quotient , et r le reste ; r sera , comme on le sait , le reste de la division proposée. Le quotient de cette division s’obtiendra en ajoutant q à la somme des nombres suivants, a-l-aô-f-aôc-f-a&cd. Par exemple, pour diviser 75234 par 9, on fera la somme des chiffres, 21, qui, divisée par 9, donne pour quotient 2, et le quotient sera 2 -{-7-f-75 -}-752-f- 7523, c’est-àdire 8359.

X. Si le carré d’un nombre diminué de 13 est divisible par 9, e nombre divisé par 9 laisse pour reste 2 ou 7. La réciproque est vraie.

IXI. Deux nombres quelconques a et b, divisés par leur différence a — b laissent des restes égaux; on en conclura que a"* et b m divisés par a — b, donnent aussi le même reste, et que, par suite, a m — b m est divisible par a — b, quel que soit le nombre entier ni.

/XII. Si, en faisant une multiplication, on oublie de reculer d'un rang les chiffres d’un produit partiel, la preuve par 9 réussira de même. La preuve par 9 et la preuve par 1 1 réussiront de même , si l’on recule les chiffres d’un produit partiel de deux rangs de trop vers la gauche.