Thkorèmk II. S» deux nombres ne sont pas divisibles l’un

par l’autre, ils ont le même plus grand commun diviseur que le plus petit d'entre eux et le reste de leur division. *

Soient les nombres 7524 et 918. En les divisant l’un par l’autre, on trouve 8 pour quotient et pour reste 180, en sorte que , * ~

llTésulte de cette égalité :

1° Que les diviseurs communs à7524 et918.divisent tous 180.

Car ces nombres divisant 918, divisent son multiple 918 X 8, ils divisent donc une somme 7524, et l’une de ses parties 918 X 8, et par suite (73) l’autre partie, qui est 180.

2° Que les diviseurs communs à 180 et 918 divisent ous

7524. Car ces nombres divisant 918, divisent son multiple 918 x 8, ils divisent donc les deux parties d’une somme 918X8 et 180, et, par suite (70), cette somme elle-même, qui est

Ainsi donc :

Tous les diviseurs communs à 7524 et 918 divisent 180, et par suite 180 et 918.

Tous les diviseurs communs à 180 et 918 divisent 7524, et par suite 7524 et 918.

Ces deux propositions réunies démontrent que les diviseurs communs à 7524 et 918, sont les mêmes que les diviseurs communs à 180 et 918; le plus grand des uns est par conséquent le même que le plus grand des autres. C’est ce qu’il fallait démontrer.

Recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres entiers.

91. Le théorème précédent permet de remplacer les deux nombres dont on veut trouver le plus grand commun diviseur par deux autres plus simples. Ceux-ci pourront de même être remplacés par d’autres plus simples encore , et ainsi de suite , jusqu’à ce qu’on soit conduit à deux nombres divisibles l’un par l’autre; le plus petit des deux (89) sera alors le plus grand commun diviseur. Nous pouvons donc énoncer la règle suivante :

Pour chercher le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers , on divise le plus grand par le plus petit, puis le plus petit par le reste de leur division , et on continue ainsi à diviser chaque diviseur par le reste correspondant, jusqu’à ce qu’une de ces divisions se fasse exactement , le diviseur de cette division est le plus grand commun diviseur cherché.

92. Pour que cette règle conduise au résultat, il faut que l’un des restes divise exactement le précédent ; mais cela arrivera toujours, car les restes étant tous entiers et allant en diminuant, leur nombre est nécessairement limité.

95. On dispose ordinairement les divisions successives sur une même ligne horizontale, et l’on écrit chaque quotient au-

es diviseurs communs des nombres entiers.

dessus du diviseur, afin do réserver la place qui est au-dessous pour le reste de la division suivante. Exemple :

18 est le plus grand commun diviseur.

94. Remarque 1. Dans la recherche du plus grand commun diviseur, deux restes consécutifs quelconques ont le même plus grand commun diviseur que les nombres proposés. Si donc, on aperçoit le plus grand commun diviseur de deux de ces restes, on pourra se dispenser de continuer l’opération. L'habitude du calcul et la connaissance des diviseurs des nombres, peuvent seules guider dans l'application de cette remarque. Un des cas les plus simples est celui où le plus grand des deux restes consécutifs serait premier ( 1 09). Il est évident, en effet, qu'il ne peut alors avoir avec le suivant d'autre commun diviseur que l’unité.

Théorèmes relatifs a la théorie du plus grand commun diviseur.

9'6. Théorème III. Les diviseurs communs à deux nombres sont absolument les mêmes que ceux de leur plus grand commun diviseur.

Considérons les nombres 7524 et 918. Il a été prouvé (90) que leurs diviseurs communs sont absolument les mêmes que ceux de 918 et 180. Le même raisonnement fait voir que les diviseurs de 918 et 180 sont absolument tes mêmes que ceux de 180 et du reste 18 de leur division. Mais 180 étant un multiple de 18, les diviseurs communs à 180 et 18 sont tout simplement les diviseurs de 18; et, par suite, les diviseurs communs aux deux nombres proposés sont absolument les mêmes que ceux de leur plus grand commun diviseur 18.

96. Théorème IV. Si on multiplie deux nombres par un troisième , leur plus grand commun diviseur est multiplié par ce troisième.

Si on multiplie, par un même nombre, le dividende et le diviseur d’une division, le reste (65) est multiplié par ce nombre. Si donc, après avoir cherché le plus grand commun diviseur de deux nombres , on les multiplie par un troisième , et qu’on

DIVISEURS COMMUNS DES NOMBRES ENTIERS. Ct>

recommence l’opération, tous les restes successifs, gt, par conséquent, le plus grand commun diviseur qui est un d’entre eux, seront multipliés par ce troisième nombre. C’est précisément ce qu’il fallait démontrer.

97. Remarque I. D’après le théorème précédent, si deux nombres entiers sont un certain nombre de fois plus grands que deux autres, leur plus grand commun diviseur est le môme nombre de fois plus grand. Au lieu de dire que les deux premiers nombres sont un certain nombre de fois plus grands que les deux autres , et ont un plus grand commun diviseur le môme nombre de fois plus grand , on peut dire , au contraire , que les deux derniers sont un certain nombre de fois plus petits qu’eux, et ont un commun diviseur le môme nombre de fois plus petit , le théorème peut donc être énoncé ainsi: si deux nombres entiers sont un certain nombre de fois plus petits que deux autres, leur plus grand commun diviseur est lé même nombre de fois plus petit; ou encore, si deux nombres sont divisibles par un troisième, et qu’on effectue leur division par ce troisième nombre , leur plus grand commun diviseur sera lui-même divisé par ce nombre. *

98. Remarque II. Si on divise deux nombres par leur plus grand commun diviseur, le plus grand commun diviseur sera divisé par lui-même, et deviendra l’unité .

Plus grand commun diviseur de trois nombres entiers.

99. Considérons trois nombres 126, 322 et 1029, leur plus grand commun diviseur est le plus grand nombre qui jouisse de la double propriété de diviser 126 et 322, et de diviser 1029; or, les nombres qui divisent 126 et 322 , sont absolument les mêmes (82) que ceux qui divisent leur plus grand commun diviseur qui est ici égal à 14. Par conséquent àu lieu de chercher :

Le phis grand nombre qui jouisse de la double propriété de diviser 126 et 322, et de diviser 1029,

On peut chercher ;

Le plus grand nombre qui jouisse de la double propriété de

diviser 14 et de diviser 1029, c’est-à-dire le plus grand commun diviseur de 14 et de 1029. De là résulte la règle suivante :

Pour chercher le plus grand cotnmiin diviseur de trois nombres il faut chercher le plus grand commun diviseur de deux d’entre eux, puis le plus grand commun diviseur du résultat obtenu et du troisième.

Le plus grand commun diviseur de 14 et de 1029 est 7. 7 est par conséquent, le plus grand commun diviseur des trois nombres proposés.

100. Théorème V. Les diviseurs communs à trois nombres sont absolument les mêmes que ceux de leur plus grand commun diviseur .

Soient les nombres 126, 322 et 1029. Les diviseurs communs à 126 et 322 sont absolument les mêmes (99) que les diviseurs de 14. Par conséquent, les nombres qui jouissent de la double propriété de diviser 126 et 322, et de diviser 1029, sont absolument les mêmes que ceux qui jouissent de la double propriété de diviser 14 et de diviser 1029. Or, les diviseurs communs à 14 et à 1029, sont les mêmes (95) que les diviseurs de leur plus grand commun diviseur 7. Par conséquent, les diviseurs communs à 126, 322 et 1029 sont absolument les mêmes que les diviseurs de 7.

101. Théorème VI. Si on multiplie trois nombres par un quatrième, leur plus grand commun diviseur sera multiplié par ce quatrième.

Soient les trois nombres 126, 322 et 1029, dont le plus grand commun diviseur est (99) 7. Si on les multiplie tous les trois par 5, ils deviennent 630, 1610 et 5145. Il faut prouver que leur * plus grand commun diviseur est devenu 35. En effet, pour obtenir le plus grand commun diviseur de 126, 322 et 1029, nous avons cherché (99) le plus grand commun diviseur de 126 et 322 qui est 14, puis le plus grand commun diviseur de 14 et 1029 qui est 7. Si nous considérons ensuite les nombres 630, 1610 et 5145, pour obtenir leur plus grand commun diviseur, il faudra chercher celui de 630 et 1610 qui (96) sera 5X14, puis celui de 5 X 14 et de 5145 qui (90) sera 5 x7. C’est précisément ce qu’il fallait démontrer.