Remarque I. On peut énoncer le théorème précédent eu

disant : si trois nombres sont divisibles par un quatrième , et qu’on effectue leur division par ce quatrième , leur plus grand commun diviseur sera divisé par le même nombre (07).

105. Remarque II. Si on divise trois nombres par leur plus grand commun diviseur, les quotients ont pour plus grand commun diviseur l'unité.

Cette proposition est une conséquence évidente de la précédente.

Plus grand commun diviseur de quatre nombres entiers.

104. Soient les quatre nombres 275, 385, 495, 308, leur plus grand commun diviseur est le plus grand nombre qui jouisse de la double propriété de diviser 275, 385, 495 et de diviser 308; si nous cherchons le plus grand commun diviseur de 275, 385 et 495, nous trouverons (90) qu’il est 55, et nous savons (87) que les nombres qui divisent 275, 385 et 495, sont absolument les mômes que ceux qui divisent 55. Par conséquent, au lieu de chercher

Le plus grand nombre qui jouisse de la double propriété de diviser 275, 385 et 495, et de diviser 308,

On peut chercher

Le plus grand nombre qui jouisse de la double propriété de diviser 55 et de diviser 308, c’est-à-dire le plus grand commun diviseur de 55 et de 308.

11 résulte de là que l’on trouvera le plus grand commun diviseur de quatre nombres en cherchant le plus grand commun diviseur de trois d’entre eux, puis le plus grand commun diviseur du résultat obtenu et du quatrième.

iOti. Théorème VIL Tout nombre qui en divise quatre autres, divise leur plus grand commun diviseur, et réciproquement tout nombre qui divise le plus grand commun diviseur de quatre autres, divise ces quatre autres.

.Ce théorème se prouvera absolument comme pour le cas de trois nombres.

100. La règle pour trouver le plus grand commun diviseur de cinq nombres est analogue à celle qui a été donnée pour le cas

de quatre , el se démontrerait de la même manière. Cette règle s’étendrait sans difficulté au cas où il y en aurait un nombre quelconque. Nous nous bornerons à en donner l’énoncé.

Pour trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, il faut chercher le plus grand commun diviseur de tous ces nombres excepté un , puis le plus grand commun diviseur du résultat obtenu et du dernier nombre.

Limite du nombre de divisions auxquelles peut conduire la recherche du plus grand commun diviseur.

107. Théorème IX. Dans la recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres, chaque reste est moindre que la moitié de celui qui le précède de deux rangs.

Désignons par les lettres R et R, deux restes consécutifs. Si, conformément à la règle générale, on divise Rpar R t , on obtiendra un nouveau reste R s . Nous voulons prouver que R, est moindre que la moitié de R.

Si Iti est moindre que la moitié de R, R, l’est à plus forte raison, car les restes vont en diminuant. Il suffit donc d’établir le théorème énoncé , dans le cas où Ri est plus grand que la moitié de R. Dans ce cas, R ne contenant qu’une seule fois Ri le reste R s de leur division, est égal à leur différence R — R,. Or, l’excès de R sur un nombre plus grand que sa moitié est moindre que cette moitié. La proposition est donc démontrée.

Remarque. La même démonstration prouve que le second reste est moindre que la moitié du plus petit des deux nombres.

100. Théorème X. On aura une limite du nombre des divisions à effectuer dans la recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres A. et B, en formant la suite, 2, 4, 8, 16..., des puissances de 2, et prenant le double du rang du premier des termes de cette suite qui surpasse le plus petit B des nombres proposés.

Soient, en effet, R t , R ( , R>, R»..., les restes obtenus successivement. D’après le théorème précédent, R» est moindre que la moitié de B, R* moindre que la moitié de R«, et par suite moindre que le quart de B, R a moindre que la moitié de R», et par suite , moindre que le 8* de B, R 8 moindre que la moitié de Rj, et, par suite, moindre que le 16' de B; on verra de même

que R w est moindre que le 32 e de B, R« moindre que le 6 4% et ainsi de suite; et, en général, le reste de rang 2 n est moindre que B divisé par la puissance de 2. Si donc , 2” est plus grand que B, les restes ne pouvant devenir moindres que l’unité, il ne peut pas y avoir 2» opérations.

RÉSUMÉ

88. Déhnition des diviseurs communs et du plus grand commun diviseur de deux ou plusieurs nombres entiers. — 89. Si deux nombres Sont divisibles l’un par l’autre, le plus petit des deux est leur plu3 grand commun diviseur. — 90. Si deux nombres ne sont pas divisibles l’un par l’autre, ils ont le même plus grand commun diviseur que le plus petit des deux et le reste de leur division. — 91. Recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres entiers. — 92. Il est impossible que l’opération ne se termine pas. — 93. Manière de disposer l’opération. — 94. Cas dans tesquels on peut se dispenser de pousser les calculs jusqu’au bout. — 93. Tout nombre qui en divise deux autres divise leur plus grand commun diviseur. La réciproque dfc la proposition précédente étant évidente, on voit que les diviseurs communs è deux nombres sont absolument les mômes que ceux de leur plus grand commun diviseur. — 9G. Si on multiplie deux nombres par un' troisième , leur plus grand commun diviseur est multiplié par le troisième. — 97. On peut encore énoncer le théorème précédent en disant que, si on divise deux nombres par un troisième, leur plus grand commun diviseur est divisé par ce troisième. — 98. Si on divise deux nombres par leur plus grand commun diviseur, les quotients ont pour plus grand commun diviseur l’unité. — 99. Plus grand commun diviseur de trois nombres entiers. — 100. Tout nombre qui eu divise trois autres divise leur plus grand commun diviseur. Les diviseurs de trois nombres sont les mêmes que ceux de leur plus grand commun diviseur. — 101. Si on multiplie trois nombres par un quatrième, leur plus grand commun diviseur est multiplié par le quatrième. — 102. Si on divise trois nombres par un quatrième, leur plus grand commun diviseur est divisé par ce quatrième. — 103. Si on divise trois nombres par leur plus grand commun diviseur, les quotients ont pour plus grand commun diviseur l’unité. — 104. Plus grand commun diviseur de quatre nombres entiers. — 103. Tout nombre qui en divise quatre autres divise leur plus grand commun diviseur. — 100. Plus grand commun diviseur d’un nombre quelconque de nombres. — 107. Dans la recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres, chaque reste est moindre que la moitié de celui qui le précédé de deux rangs. — 108. On aura une limite du

nombre des divisions à effectuer dans la recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres, en formant la suite 2, 4,8, 46, .... des puissances de 2 , et, prenant le double du rang du premier des termes de cette suite, qui surpasse le plus petit des nombres proposés.

EXERCICES

\l. Pour trouver le plus grand commun diviseur de trois nombres A, B, C, on peut procéder de la manière suivante.

On divise les deux nombres A et B par le plus petit des trois C. Ces divisions fourniront deux restes R et R'; le plus grand commun diviseur des nombres C, R et R' est le même que celui des nombres proposés. En opérant de la même manière sur ces trois nombres C, R et R', on les ramènera à d’autres plus simples, et on continuera jusqu’à ce que l’un des deux restes soit nul. On cherchera alors le plus grand commun diviseur de l’autre reste et du diviseur précédent.

/II. Si on forme la suite 1, 2, 3, 5, 8, 13..., dont chaque terme est la somme des deux précédents , il est impossible que dans l’opération du plus grand commun diviseur, plus de deux restes consécutifs tombent entre deux mêmes termes de cette suite, et s’il en tombe deux il n’y en aura aucun dans l'intervalle suivant.

III. En se fondant sur la proposition précédente et sur celle qui a été énoncée (Chap. I , ex. III), on peut prouver que l’opération du plus grand commun diviseur exige un nombre de divisions au plus égal à cinq fois le nombre des chiffres du plus petit des deux nombres.

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