CHAPITRE VII
THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS
Définitions.
‘ 109. Un nombre entier est dit premier lorsqu’il n’a pas d’au-
tres diviseurs entiers que lui-même et l'unité.
Exemples. 2, 3, 5, 7, sont des nombres premiers, 9 n’est pas premier, car il est divisible par 3.
Deux nombres sont dits premiers entre eux, lorsque leur plus grand commun diviseur est l’unité.
110. Remarque. {/« nombre premier, est premier avec tovs les nombres entiers qui ne sont pas ses multiples , car n’ayant d’autres diviseurs que lui-même et l’unité, son seul diviseur commun avec un nombre qu’il ne divise pas, est évidemment l'unité.
Théorèmes relatifs aux nombres premiers.
111 . Théorème I. Tout nombre entiéF, qui n'est pas premier, admet au moins un diviseur premier.
Si , en effet , un nombre n’est pas premier, il admet un ou plusieurs diviseurs autres que ^ui-mêqiç et l'unité, or il est évident que le plus petit de ccsTfivfeêurs est premier, car, s'il ei> était autrement, *1 admettrait un divisaur-plus- petit qneslui, qui devrait diviser le nombre proposé. » » • • *
Soit par exemple le nombre 1261 , supposons que le plus petit de ses diviseurs (non compris l’unité) soit 97; il est clair que 97 est premier, car s'il avait un diviseur, 13 par exemple, 13 divisant 97 devrait (71) diviser son multiple 1261 , et 97 ne serait pas, par conséquent , le plus petit diviseur de 1261.
112 . Remarque. Un nombre premier étant lui-même son diviseur, admet un diviseur premier; on peut donc modifier le
THEORIE DES NOMBRES PREMIERS
théorème précédent en disant : tout nombre , premier ou non , admet au moins un diviseur premier.
115. Théorème II. Si deux nombres ne sont pas premiers entre eux, ils ont au moins un diviseur premier commun.
En effet , si deux nombres ne sont pas premiers entre eux , par définition , ils admettent un diviseur commun autre que l’unité ; ce diviseur (112) admet lui-même un diviseur premier qui divise évidemment les deux nombres proposés.
114. Théorème III. La suite des nombres premiers est illimitée.
Supposons, s’il est possible, que N désigne le plus grand
des nombres premiers. Formons le produit de tous les nombres premiers depuis 2 jusqu’à N, et ajoutons une unité à ce produit
2 X3X 5 X 7... XN-f-1.
Si nous nommons S le résultat ainsi obtenu , S admet un diviseur premier (09). Or, ce diviseur doit être plus grand que N , car autrement il entrerait comme facteur dans la première partie de S, et devrait, par conséquent (75), diviser la seconde, qui est 1 , ce qui est impossible. Il y a donc nécessairement un nombre premienplus grand que N, et l’hypothèse
que nous avons faite est inaimiissible.
Formation d’une labié de nombres premiers.
115. Pour former une table ‘de nombres premiers, on écrit la suite des nombres entiers, et on efface ceux qui ne sont pas premiers. Écrivons la suite :
1° Les nombres divisibles par 2, à l'exception de 2, ne sont pas premiers; on doit donc effacer de deux en deux tous les termes de cette suite, à partir de 2 exclusivement.
2° Les nombres divisibles par 3 , à l’exception de 3 , ne sont pas premiers ; on doit donc effacer de trois en trois tous les termes de la suite, à partir de 3 exclusivement. On effacera
THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS. 77
ainsi des nombres tels que 6 , qui le sont déjà comme multiples de 2, mais cela n’a aucun inconvénient.
3° Il serait inutile d’effacer les multiples de 4, car tous l’ont déjà été comme étant multiples de 2. On effacera donc les multiples de 5 ; et pour cela on effacera les nombres de 5 en 5 , à partir de 5 exclusivement.
4° On effacera ensuite les nombres , non pas de 6 en 6 , ce qui serait inutile, mais de 7 en 7, à partir de 7 exclusivement, et on supprimera ainsi tous les multiples de 7.
On continuera de la même manière en remarquant toujours qu’il est inutile d’effacer les multiples des nombres qui ne sont pas premiers.
11 6. Remarque I. On pourrait croire nécessaire de connaître déjà la liste des nombres premiers , pour effacer leurs multiples. Mais l’opération fournira ces nombres au fur et à mesure qu’on en aura besoin.
117. Il est important de savoir à quelle époque de l’opération précédente on peut affirmer qu’un nombre non effacé est premier. Supposons , par exemple , qu’on se soit arrêté après avoir effacé les nombres de 7 en 7, je dis que tout nombre non effacé est premier, jusqu'au carré du nombre premier 1 1 , immédiatement supérieur à 7. Si , en effet, 97 (nombre moindre que 1 1 X H ) n’a pas été effacé , c’est qu’il n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7. Le plus petit de ses diviseurs qui , comme nous l’avons vu (98) est premier, est donc au moins égal à 11 , et 97 est par conséquent , s’il n’est pas premier, le produit d’un nombre au moins égal à il, par un certain quotient Q
P désignant un nombre au moins égal à 1 1 ; mais le quotient Q est évidemment un diviseur de 97 , et par conséquent il est au moins égal à P (nous avons supposé que P est le plus petit diviseur de 97 ).
- L’égalité
prouve donc que 97 est le produit de deux nombres qui , l’un et l’autre, sont au moins égaux à 11 , or cela est impossible
THÉORIE DBS NOMBRES PREMIERS
puisque 97 est moindre que 1 1 X 1 1 . Nous avons donc fait une supposition inadmissible en admettant que 97 ne fût pas premier; la démonstration est générale, on verra de môme qu’après avoir effacé les nombres de 11 en 11 , on peut regarder les nombres non effacés comme premiers jusqu'au carré de 13 , et ,en général , qu’après avoir effacé les multiples d’un certain nombre premier, on peut regarder les nombres non effacés comme premiers jusqu’au carré de nombre premier immédiatement supérieur.
118. Remarque II. Les explications précédentes donnent le moyen de décider si un nombre est premier ou non ; il suffira, en effet, de le diviser successivement par les nombres premiers 2, 3, 5, 7...., dont les carrés sont moindres que lui; si aucune de ces divisions ne réussit , le nombre est premier.
On sera averti que le carré du diviseur essayé est plus grand que le dividende , lorsque le quotient deviendra moindre que le diviseur; car, en nommant N le dividende et P le diviseur, si N est moindre que P le quotient sera plus petit que P.
Décomposition d’un nombre en facteurs premiers.
1 19. Théorème IV. Tout nombre qui n’est pas premier est égal à un produit de facteurs premiers. Ce que l’on exprime , en disant , qu’il est décomposable en facteurs premiers.
Désignons par N un nombre non premier. Ce nombre a au moins (111) un diviseur premier P, et, par conséquent, en désignant par Q un quotient entier
N = PxQ.
Si Q est premier, la proposition est démontrée , N est le produit de deux nombres premiers. Si Q n’est pas premier, il a (111) au moins un diviseur premier Pr, par conséquent , en désignant par Qi un quotient entier,
Q = P»xQi.
En substituant cette valeur de Q dans l’égalité précédente, on a N = P X Pi X Qj.
SiQj est premier, la proposition est démontrée , N est le produit
THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS
de trois nombres premiers ; s’il ne l’est pas , il a au moins un diviseur premier Pt; par conséquent en nommant Qtun quotient entier
Ûi = Pt X Qt.
En substituant celte valeur de Qi dans l’égalité précédente, on a *
N = P XPiXPsXQt.
On continuera ainsi jusqu’à ce qu’un des quotients Q , Q 1 , Q a , soit premier ; cela ne peut manquer d’arriver après un certain nombre d’opérations , car, autrement , ces nombres entiers , qui vont en diminuant, formeraient une suite illimitée, ce qui est impossible.
120. Remarque. Dans la démonstration précédente, rien ne suppose que les nombres désignés par P, P, , P, aient des valeurs différentes. Le même facteur peut figurer plusieurs fois dans le produit.
Exemple. Appliquons le raisonnement précédent au nombre 60 :
1° 60 admet le diviseur premier 2 , et l’on a ,
2° 30 admet le diviseur premier 2 , et l’on a ,
par conséquent ,
3° 15 admet le diviseur premier 3, et l’on a,
par conséquent ,
5, étant premier, la décomposition est terminée.
121 . Théorème V. Si un nombre divise un produit de deux facteurs et qu’il soit premier avec l'un des facteurs, il divise nécessairement l’autre.
Soit P un nombre premier avec A, qui divise le produit A x B. Il faut prouver qu’il divise B.
Par hypothèse, le plus grand commun diviseur de P et A ,
THEOH1E DES NOMBRES PREMIERS
est l'unité ; si on multiplie ces deux nombres par B , leur plus grand commun diviseur (90) sera multiplié par B , et deviendra , par conséquent , égal à B ; ainsi donc , le plus grand commun diviseur de P xB et A x B est B; or, P divise évidemment P X B, il divise aussi, par hypothèse, AxB, il divise donc (93) leur plus grand commun diviseur B. C’est précisément ce qu'il fallait démontrer.
122. Théorème VI. Un nombre premier ne peut diviser un produit de deux facteurs sans diviser l’un des facteurs.
Soit P un nombre premier qui divise un produit AxB. P étant premier, s’il ne divise pas A , il est premier avec lui (1 10) , et alors, d'après le théorème précédent, il divise B. 11 divise donc, dans tous les cas , l’un ou l'autre.
123. Théorème VII. Un nombre premier ne peut diviser un produit de plusieurs facteurs, sans diviser au moins un des facteurs.
Considérons , par exemple , un produit de quatre facteurs AXBXCXD, divisible par un nombre premier P, ce produit pouvant être considéré comme formé de deux facteurs (A XB xC) et D, si P ne divise pas D (110) , il divise A X BxC; mais ce nouveau produit pouvant lui-même être considéré comme composé de deux fadeurs (AxB) et C, si P ne divise pas C il doit diviser A X B , et, par conséquent , A ou B. 11 divise donc, dans tous les cas, l’un des quatre facteurs.
La même démonstration s’applique évidemment à un nombre quelconque de facteurs.
124. Remarque. I. Un nombre premier ne peut diviser un produit de facteurs premiers , sans être égal à l’un d’eux.
Car, pour diviser le produit, il doit (121) diviser l’un des facteurs , et ces facteurs étant premiers , ne sont divisibles que par eux-mêmes et par l’unité.
123. Remarque II. Les facteurs du produit considéré peuvent être égaux, et par conséquent un nombre premier qui ne divise pas un nombre ne peut diviser ses puissances. Il résulte de là que si deux nombres sont premiers entre eux , deux quelconques de leurs puissances n’auront pas de fadeurs premiers communs et seront par conséquent premières entre elles.
THEORIE DES NOMBRES PREMIERS
126. Théorème VIH. Un nombre qui est premier avec tous les facteurs d'un produit est premier avec le produit.
Soit un produit AxBxCx D, et P un nombre, premier avec chacun des facteurs A, B, CetD. Si P et AxBxCxD n’étaient pas premiers entre eux , ils auraient (113) au moins un diviseur premier commun K. K étant premier et divisant le produit AxBxCxD divisera (123) l’un au moins des facteurs de ce produit, A, par exemple; mais alors A et P ont le diviseur commun K, et, contrairement à l’hypothèse, ils ne sont pas premiers entre eux. Il y a donc contradiction à admettre que P et AxBxCxD aient un diviseur commun.
127. Théorème IX. Un nombre divisible par plusieurs autres premiers entre eux deux à deux, est divisible par leur produit.
Soit N un nombre divisible par plusieurs autres, A, B, C , premiers entre eux deux à deux. N , étant divisible par A , on aura, en désignant par Q, un quotient entier
N = A xû,
le produit A X Q étant égal à N, sera divisible par B , et par suite, B étant premier avec A devra (121) diviser Q, en sorte que, en désignant par Qi un quotient entier, on aura
Q=QiXB;
en substituant celte valeur de Q, dans l’expression de N, celleci devient
N=AxBxQi.
Le produit AxBxQi, étant égal à N, sera, comme lui, divisible par C; mais C étant premier avec A et B, le sera avec AxB (126), et, par conséquent, devra (121) diviser Q,, en aura donc, en désignant par Q t , un quotient entier,
Qi = Qs X C.
En substituant celte valeur de Qi, dans l’expression de N, celleci devient
N = AxBxCxQi, ce qui démontre la proposition énoncée.
126. Théorème X. Un nombre ne peut se décomposer que d'une seule manière en facteurs premiers.
THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS
S'il existait deux modes de décomposition, ils différeraient , soit par la valeur des facteurs , soit par le nombre de fois que chacun d eux serait employé. Nous allons prouver que les deux choses sont impossibles.
1° Si deux produits de facteurs premiers représentent le même nombre, ils sont composés des mêmes facteurs. Aucun nombre premier ne peut, en effet (124), diviser un produit de facteurs premiers sans être égal l’un d’eux. Si donc deux produits de facteurs premiers représentent le même nombre , chacun d’eux doit contenir tous les diviseurs premiers de ce nombre, et par conséquent tous les fadeurs de l’autre produit. Ce qui démontre la proposition énoncée.
2“ Si deux produits de facteurs premiers représentent le même nombre, chaque facteur doit figurer dans les deux le même nombre de fois. Supposons , en effet , que dans l’un de ces produits, le facteur 7 entre trois fois, et dans l’autre, deux fois seulement. Soit :
7X7X7X13X13X l5et7X7X13X 15 X15
ces deux produits. S’ils étaient égaux , divisés l’un et l’autre par 7 X 7 ils donneraient des quotients égaux , et l’on aurait par conséquent :
Mais cette égalité est impossible , car ces deux produits ne sont plus composés des mêmes facteurs. Celte démonstration est générale : quel que soit le facteur qui n’entre pas le même nombre de fois dans les deux produits , on obtiendra de la même manière deux nouveaux produits qui devraient être égaux si les proposés l’étaient , et dont l’un seulement contiendra le facteur en question.
129. Remarque. La décomposition en facteurs premiers constitue un véritable système de numération des nombres entiers, au moyen duquel tous peuvent être exprimés, et ne peuvent l’être que d’une seule manière. Ce système, fort incommode pour les opérations les plus simples, se prèle quelquefois trèsfacilement aux opérations plus compliquées de l’arithmétique. Nous exposerons quelques-unes de ses applications; mais il convient d'abord d’indiquer le moyen de décomposer un nom-
THÉORIE DES .\0.\lBltES PREMIERS. 83
bre en facteurs premiers, car, jusqu’ici, nous nous sommes bornés à en montrer la possibilité.
Moyen de décomposer un nombre en fadeurs premiers.
130. Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, on prend les nombres premiers par ordre de grandeur, et on essaye s’ils divisent ce nombre. Quand une division réussit, on l’effectue, et' dans les operations suivantes le quotient est substitué au nombre proposé. Une seconde division qui réussit permet de substituer à ce quotient un nombre plus simple encore, et on continue jusqu’à ce qu’on trouve un quotient premier. Ce quotient est le dernier des facteurs que l’on cherche, et les autres sont les diviseurs successivement employés. Un exemple suffira pour rendre celte méthode très-claire.
Soit à décomposer en facteurs premiers le nombre 25480; on essaye d’abord le diviseur 2 , la division réussit et donne pour quotient 12740. On a donc :
On essaye la division de 12740 par 2, qui réussit encore et donne pour quotient 6370. On a donc :
par conséquent :
6370 se divise encore par 2 , et l’on a r 6370=3185X2;
par conséquent :
3185 n’est divisible ni par 2, ni par 3, mais il l’est par 5, et l’on a •
par conséquent :
637 n’est pas divisible par 5 , mais il l’est par 7, et l’on a :
R <4 TBEOIUK DES NOMBRES PREMIERS
par conséquent :
25480 = 91 X7XÔX2X2X2;
91 est également divisible par 7, et l’on a :
par conséquent :
13 étant premier, la décomposition est clïecluée.
Remarque 1. Il faut essayer le môme diviseur plusieurs fois de suile, comme dans l’exemple précédent les diviseurs 2 et 7, jusqu’il ce qu’il cesse de donner un quotient entier. Mais ensuite , il faut cesser de l’essayer, car les quotients successifs élant des diviseurs les uns des aulrcs, un nombre qui ne divise pas l’un d’entre eux ne peut diviser les suivants.
Remarque II. Quand on aperçoit deux facteurs dont un nombre est le produit , on peut les décomposer séparément et réunir les résultats en un seul produit.
Exemple. Soilà décomposer le nombre 2400. 2400 = 24 X100. Il suffit donc de décomposer 24 et 100; mais 24 = 4 X 6, 4 = 2X2, 6=2X3, donc 24 = 2 X2 X2X3, 100 = 10X10 = 2X5 X 2 X5. On a donc enfin :
Condition pour que deux nombres soient divisibles l’un par l’autre.
151. Pour que deux nombres soient divisibles l’un par l'autre, il faut et il suffit que le diviseur n’ait pas d’autres facteurs premiers que ceux du dividende , et que ces facteurs n’y figurent pas un plus grand nombre de fois.
1° Cette condition est nécessaire : si en effet, on conçoit que le dividende, le diviseur et le quotient soient décomposés en facteurs premiers, le dividende élant le produit du diviseur par le quotient, est le produit de tous les facteurs de ces deux nombres. Tous les facteurs du diviseur figurent donc dans le dividende un nombre de fois au moins égal.
2° Celte condition est suffisante : si en effet elle est remplie, le quotient sera entier et égal au produit des facteurs qui
THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS
entrent dans le dividende sans entrer dans le diviseur, par ceux qui entrent dans l’un et dans l’autre, pris un nombre de fois égal ü la différence de leurs exposants dans ces deux nombres.
Exemple . 3 3 X7 ! X 13'X19*X37 divisé par 3 3 X13*X19 donnera pour quotient 7*X 13* X 19x37, car en réunissant ces facteurs h ceux du diviseur, cela fera, comme dans le dividende, 3 facteurs 3, deux facteurs 7, 4 facteurs 13, 2 facteurs 19 et 1 facteur 37.
Composition du plus ^rand commun diviseur de plusieurs nombres.
132. Il résulte de la proposition précédente , que les facteurs premiers des diviseurs communs à plusieurs nombres doivent être communs à ces nombres, et que leurs exposants sont au plus égaux celui qu’ils ont dans le nombre où ils figurent avec le moindre exposant. Le plus grand commun diviseur (ftt donc le produit des facteurs premiers communs pris avec des exposants précisément égaux à celui qu'ils ont dans le nombre où ils figurent avec le moindre exposant.
Exemple. Soient les nombres 2’ X 5* X 19x37*, 2*X7X19 3 X 37* X 57', 2* X ll’X 19 X 37, les seuls facteurs premiers communs à ccs trois nombres sont 2, 19 et 37, 2 entre 2 fois et les deux autres une seule fois, comme fadeurs dans celui des nombres où ils figurent avec le moindre exposant. Le plus grand commun diviseur est donc 2’ X 19 X 37.
Remarque I. La plupart des théorèmes relatifs au plus grand commun diviseur de deux ou plusieurs nombres, démontrés chapitre VI, deviennent presque évidents lorsqu’on se représente ces nombres comme décomposés en facteurs premiers. Nous ne développerons pas cependant ce mode de démonstration , parce que nous pensons que l’habitude des considérations de ce genre est une des causes de la difficulté que les élèves éprouvent pour étendre ù des grandeurs quelconques les propositions relatives aux nombres entiers.
133. Remarque II. On n'altère pas le plus grand commun diviseur de deux nombres en multipliant ou divisant l’un d'eux par un facteur premier avec l’autre, car par là on n’introduit ni ne supprime aucun facteur premier commun. Dans la recherche du plus grand commun diviseur on peut donc supprimer, dans
86 THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS
chaque reste, les facteurs premiers avec le reste suivant, que l’on y apercevra.
Former tous les diviseurs d’un nombre.
134 . Soit le nombre 3 x 7’ x 1 1* X 13*. Les diviseurs de ce nombre (131) ont pour facteurs premiers 3, 7, 1 1 et 13, le premier ne pouvant pas entrer plus d’une fois, le second plus de trois fois, le troisième plus de quatre fois, et le quatrième plus de deux fois. Si donc, nous écrivons le tableau suivant :
en multipliant deux à deux, trois à trois ou quatre à quatre, les nombres pris dans des colonnes horizontales différentes , et adjoignant à ces produits les nombres inscrits dans le tableau lui-même , on aura tous les diviseurs du nombre proposé.
On donne plus de régularité à l'opération en inscrivant l’unité dans chacune des colonnes horizontales du tableau, qui devient ainsi :
Après cette adjonction , on peut dire qüe tous les diviseurs s'obtiendront en multipliant quatre facteurs pris respectivement dans les quatre lignes horizontales; car pour former ceux dans lesquels n’entrent pas un ou plusieurs des facteurs premiers 3, 7, 11 ou 13, il suffira de prendre l’unité pour facteur dans les lignes correspondantes,
Pour former ces diviseurs, on procédera de la manière suivante : on multipliera les nombres de la première ligne par ceux de la seconde, ce qui, dans le cas actuel, fera huit produits. On multipliera ces huit produits par les quatre nombres de la troisième ligne, ce qui fera 4 fols 8 ou 32 produits, qu’il faudra multiplier par les trois nombres de la quatrième ligne, ce qui fera en tout 3 fois 32 ou 96 produits, qui sont les seuls diviseurs du nombre proposé.
THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS
En général, pour former tous les diviseurs d’un nombre, on le décompose en facteurs premiers, et on forme un tableau composé d’une série de lignes horizontales commençant toutes par l'unité et contenant les diverses puissances de chacun de ces facteurs premiers, jusqu’à celle qui figure dans le nombre proposé ; on multiplie ensuite tous les nombres de la première ligne par tous ceux de la seconde, puis, chacun de ces produits par ceux de la troisième ligne, et ainsi de suite ; les derniers produits obtenus en multipliant par les nombres inscrits dans la dernière ligne du tableau sont tous les diviseurs cherchés.
Nombre des diviseurs d’un nombre entier. ’
153. Soit un nombre entier N décomposé en facteurs premiers de la manière suivante :
a, b et c étant ces facteurs premiers et leurs exposants étant désignés par les lettres a, 8, y.
Si, conformément à la règle précédente, on forme le tableau :
la première ligne contiendra « *f- 1 termes, la seconde, 0-j- l termes, et la troisième y + 1. Lors donc qu’on multipliera les termes de la première ligne par ceux de la seconde , cela fera en tout (* + 1)X(P + 1) produits. Et quand on multipliera ces produits par les termes de la troisième ligne, chacun d’eux en fournira y -f- 1 , leur nombre sera donc multiplié par y -j- e l deviendra :
(«+l)X(p + DX(ï + l),
tel est donc le nombre des diviseurs. En général , le nombre total des diviseurs d’un nombre s'obtient en ajoutant une unité aux exposants des facteurs premiers et formant le produit des nombres ainsi obtenus.
Remarque I. Dans le nombre (a-j-ljxCP + lJXCY-l- 1 ) des diviseurs, figure l’unité qui s’obtient en multipliant les pre*
THÉORIE DES NOMBRES PREMIBRS
rniers termes des différentes lignes, et le nombre lui-même qui résulte de la multiplication des derniers termes.
150. Remarque II. Le nombre des diviseurs d’un nombre est pair , à moins que les facteurs premiers de ce nombre n'aient tous des exposants pairs. Si, en effet, l’exposant de l'un des facteurs premiers est impair, en lui ajoutant une unité , la somme sera paire , et , par conséquent , le nombre des diviseurs , dans l'expression duquel (133) cette somme entre comme facteur, sera divisible par 2. Nous verrons plus loin que les nombres dont tous les facteurs premiers ont des exposants pairs sont des carrés. On peut donc énoncer la proposition précédente, en disant :
Le nombre total des diviseurs d’un nombre est pair, à moins que ce nombre ne soit un carré parfait.
On peut donner a priori la raison du théorème précédent.
Le nombre total des diviseurs d’un nombre est pair, parce qu’il est double du nombre de manières de décomposer ce nombre en un produit de deux facteurs. Considérons, par exemple, le nombre 60. Tout diviseur de 60 peut être considéré comme l’un des facteurs d’un produit égal à 60 ; mais à chaque décomposition de 60 en un produit, correspondent deux diviseurs. Si l’on a, par exemple,
cela prouve, en effet, que 60 divisé par 4, donne pour quotient 15, et que 60 divisé par 15, donne pour quotient 4. 4 et 15 sont donc deux diviseurs de 60 ; on voit que le nombre total des diviseurs est double du nombre de décompositions possibles. Le raisonnement est général. Il n’y a exception que pour le cas où le nombre considéré est un carré. Car lorsque les deux facteurs du produit deviennent égaux on ne doit les compter que pour un dans l’énumération des diviseurs.
137. Remarque. Les deux diviseurs qui forment un groupe, ont pour produit le nombre considéré, qui , par suite, est plus grand que le carré du plus petit, et moindre que le carré du plus grand. 11 résulte de là que parmi les diviseurs d’un nombre
THEORIE DGS NOMBRES PREMIERS. 89
la moitié ont un carré moindre , et l’autre moitié un carré plus grand que ce nombre.
Multiples communs à deux nombres.
438. Un nombre divisible par plusieurs autres se nomme leur multiple commun ; il est souvent utile de connaître les multiples communs à plusieurs nombres, et notamment le plus petit d’entre eux qu’on appelle leur plus petit multiple commun. Dans ce chapitre, il ne sera question que des nombres entiers; les développements relatifs à la généralisation de cette théorie , trouveront leur place après l’élude des fractions.
13ü. Théorème. Si l’on désigne deux nombres entiers par les lettres A et B, par D leur plus grand commun diviseur, et par Q et Q' les quotients obtenus en divisant A et B par D, tout multiple commun à ces nombres est un multiple du produit D X Q X Q’. On a , ,en effet :
A = DxQ, B = DxQ’.
En désignant par m un nombre entier, les multiples dé A sont tous de la forme m X A , c’est-à-dire m X D X Q- Cherchons ceux qui sont, en outre, divisibles par B, c’est-à-dire par DxQ’. On pourra effectuer cetle division de m X D X Q par D X Q’, en divisant d’abord m x D x Q parD, puis le résultat par Q'. La division par D donne pour quotient »! x Q, qui doit être divisible par Q'; Q’ étant premier avec Q doit donc (121) diviser le facteur m, et par suite, K étant un nombre entier,
»i = KxQ';
en remplaçant m par cette valeur, on obtient pour la forme la plus générale que puisse avoir un multiple commun aux deux nombres A et B,
ce qui démontre la proposition énoncée.
11 est d’ailleurs évident que cetle expression représente , quel que soit K, un multiple commun à A et B; car en la divisant par D x û et D x Q', les quotients obtehus sont respectivement les nombres entiers K X Q' et K x Q.
THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS
140. Remarque. Le plus petit multiple commun correspondra à la valeur K =1, et est, par conséquent, DxQxQ'. Le produit des nombres A et B est égal àüxQxDxU', et le quotient de sa division par D est évidemment le plus pelit multiple commun que nous venons d’obtenir. On peut donc énoncer les théorèmes suivants :
1° Le plus petit multiple commun de deux nombres est égal au produit de ces deux nombres divisé par leur plus grand commun diviseur ;
2° Les autres multiples communs sont les multiples du plus petit.
Multiples communs à trois uombres.
141. Désignons les trois nombres par les lettres A, B et C. Les multiples communs à À, B et C, sont les nombres qui jouissent de la double propriété d’être divisibles par A et B, et de l’être par C ; mais si nous nommons M le plus pelit multiple commun de A et B, les multiples communs à A et B sont (140) absolument les mêmes que ceux de M , par conséquent , au lieu de chercher
Les nombres qui jouissent de la double propriété d’être divisibles par A et par B, et de l’être par G ,
On peut chercher
Les nombres qui jouissent de la double propriété d’être divisibles par M et de l’èlfe par G;
C’est-à-dire les multiples communs de M et de G. Ce qui nous conduit à la règle suivante :
Les multiples communs à trois nombres s'obtiennent en cherchant le plus petit multiple commun à deux d’entre eux, puis les multiples communs au résultat obtenu et au troisième nombre.
142. Remarque I. Tous les multiples communs à trois nombres sont divisibles par le plus petit d’entre eux.
Soient A, B et G les trois nombres donnés; leurs multiples communs s’obtiennent en cherchant te plus pelit multiple M, de A et de B , puis les multiples de M et de C. Or, les multiples de M et de C sont (140) les multiples du plus petit d’entre eux, ce qui démontre la proposition énoncée.
THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS. ïr 91
148. Remarque II. On démontrera sans difficulté les théorèmes suivants :
Pour trouver le plus petit multiple commun de plusieurs nombres, il faut chercher le plus petit multiple de tous ces nombres excepté un , puis le plus petit multiple du résultat obtenu et du nombre restant.
Tous les multiples communs à plusieurs nombres sont divisibles par le plus petit d'entre eux.
Application de la décomposition des nombres en facteurs premiers à la recherche du plus petit multiple commun.
144. Pour trouver le plus petit multiple commun à plusieurs nombres , on peut encore les décomposer en facteurs premiers et former le produit de tous ces facteurs en affectant chacun d'eux du plus grand exposant avec lequel il figure dans les nombres donnés.
Soient par exemple les nombres :
Leur plus petit multiple est : 2* X 5’ X 3 X 7*.
En effet, ce produit est évidemment divisible par chacun des nombres donnés; de plus, tout nombre divisible par 200, 500 et 147, doit contenir le facteur 2 3 qui se trouve dans 200; le facteur 5‘ qui se trouve dans 500 , et les facteurs 3 et 7’ qui se trouvent dans 147. Ilne peut donc être moindre que le produit de ces facteurs qui est, par conséquent, leur plus petit multiple commun.
RÉSUMÉ
109. Définition des nombres premiers. — 110. Un nombre premier est premier avec ceux qui ne sont pas ses multiples. — 111. Tout nombre qui n’est pas premier admet au moins un diviseur premier. — 112. Tout nombre, premier ou non, admet un diviseur premier. — 113. Deux nombres qui ne sont pas premiers entre eux ont au moins un diviseur premier commun. — 114. La suite des nombres premiers est illimitée. — 113. Formation d’une table de nombres premiers. — 116. L’opération semble supposer que l'on connaisse à l’avance la liste des nombres premiers, mais, en réalité, il n’en est rien. — 117. Pour former la table jusqu'à une limite déterminée A, il suffit d'effacer les multiples des
THEORIE DES SOMLHKa CREMIERS.
nombres premiers dont le carré ne surpasse pas A. — 118. Moyen de constater si un nombre donné est ou n’est pas premier, — 119. Tout nombre qui n’est pas premier est décomposable en facteurs premiers. — 120. Le même facteur premier peut entrer plusieurs fois dans le produit. — 121. Un nombre qui divise un produit de deux facteurs, et qui est premier avec l’un des deux , divise nécessairement l’autre. — 122. Un nombre premier ne peut diviser un produit de deux facteurs sans diviser au moins un des fhcteurs. — 123. Un nombre premier ne peut diviser un produit s’il ne divise un des facteurs. — 12-î. On en conclut qu’un nombre premier qui divise un produit de facteurs premiers est égal à l'un d’eux. — 123. Un nombre premier qui ne divise pas un nombre, nepoutdiviser ses puissances. — 120. Un nombre premier avec tous les facteurs d’un produit est premier avec le produit. — 127. Un nombre divisible par plusieurs autres, premiers deux à deux, est divisible par leur produit. — 128. Un nombre ne peut se décomposer que d’une seule manière en facteurs premiers. — 129. Comme il peut toujours se décomposer d’une manière , la décomposition en facteurs premiersconstiluc iin véritable système de numération des nombres entiers. — 130. Moyen de décomposer un nombre en facteurs premiers. — 131 .Deux nombres étant décomposés en facteurs premiers, on reconnaît immédiatement s’ils sont divisibles l'un par l’autre. — 132. On peut aussi trouver leur plus grand commun diviseur. — 133. On n'altère pas le plus grand commun diviseur de deux nombres en multipliant l’un d’eux par un facteur premieravec l'autro. — 134. Formation des diviseurs d'un nombre. — 158. Nombre de ces diviseurs. — 158. Ce nombre de diviseurs est pair, à moins que tous les exposants de facteurs premiers ne soient divisibles par 2. — 158 et 137. Ce théorème peut aussi se déduire du suivant : A tout diviseur d’un nombre , dont le carré surpasse ce nombre, en correspond un second dont le carré lui est inférieur. — 138. Définition du plus petit multiple commun. — 159. Si A et B sont deux nombres entiers, D leur plus grand commun diviseur, Q et Q' les quotients obtenus en divisant A et B par D, tout multiple commun à ces nombres est un multiple du produit DxQXQ 1 - — 140. On peut énoncer le théorème précédent en disant que le plus petit multiple commun de deux nombres est égal à leur produit divisé par leur plus grand commun diviseur, et que les autres multiples communs sont des multiples du plus petit. — 141. Multiples communs de trois nombres. — 142. Tout nombre divisible par trois autres est divisible par leur plus petit multiple commun. — 143. Les théorèmes précédents s'étendent A plus de trois nombres. — 144. Recherche des plus petits multiples par la décomposition en facteurs premiers.
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THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS
EXERCICES
/]. Si n désigne un nombre entier quelconque, le produit R(n+l)(2B-j-l),
est divisible par 6.
) II. a et b désignant deux nombres entiers , le produit cfbÇa*-}- b *) (a‘ — b *), est divisible par 30.
/ III. Si l’on range par ordre de grandeur les diviseurs d’u^i nombre, en commençant par l’unité, qui est le plus petit de ces diviseurs, et finissant par le nombre lui-même, qui est le plus grand, le produit de deux diviseurs pris dans cette suite ^ égare distance des extrêmes, est constant et égal au nombre lui-même.
! IV. Le carré d’un nombre premier diminué d’une unité eW ujours divisible par 12 (2 et 3 font exception), y. Pour trouver le plus grand commun diviseur de deuBc nombres A et B, on peut procéder de la manière suivante : formerles B premiers multiples de A :
et chercher, parmi ces multiples , ceux qui sont divisibles par B, leur nombre est le plus grand commun diviseur.
VI. Pour trouver le plus grand commun diviseur de trois nombres ,A, B et C, on peut procéder de la manière suivante : former les C premiers multiples de A et de B :
