CHAPITRE VIH

Définition des fractions.

148. Une grandeur étant divisée en parties égales, la réunion d’un certain nombre de ces parties se nomme une fraction de cette grandeur. Une fraction dépend du nombre des parties, dans lesquelles la grandeur a été partagée, que l’on nomme son dénominateur, et du nombre de celles qui ont été réunies , que l’on nomme son numérateur. Le numérateur et le dénominateur d’une fraction "sont quelquefois appelés ses deux termes.

Pour écrire une fraction, on écrit son numérateur au-dessus de son dénominateur, et on les sépare par une barre horizontale; pour l’énoncer, on lit d’abord le numérateur, et on ajoute le nom du dénominateur suivi de la terminaison ième.

Exemple, Si l’on divise l’unité en.sept parties égales, la réunion de cinq de ces parties se représente par ij, que l’on prononce cinq septièmes.

Il y a exception pour les dénominateurs 2, 3, 4; au lieu de deuxième, troisième, quatrième, on dit demi, tiers, quart.

Lorsqu’une grandeur est une fraction de l’unUé, cette fraction est le nombre qui lui sert de mesure. Ce nombre est abstrait lorsque l’on n’indique pas la nature de l’unité. Quand on opère sur des nombres abstraits, il faut entendre que l’unité à laquelle ils se rapportent n’est pas fixée, mais pourra l’ètre ultérieurement d’une manière quelconque.

146. Remarque I. La définition des fractions ne suppose pas que le dénominateur soit plus grand que le numérateur. Par exemple , V est une fraction, exprimant onze fois le tiers de l’unité.

147. Remarque IL On peut considérer les nombres entiers comme des fractions ayant pour dénominateur l’unité; par

exemple , 3 est égal à f ; ces fractions ne sont pas d'ailleurs les seules par lesquelles on puisse représenter les nombres entiers. Par exemple, 2 est égal à J, ou à J.

Théorèmes relatifs aux fractions.

148. Théorème I. Une fraction est égale au quotient de la division de son numérateur par son dénominateur.

Par exemple ^ est le septième de 15 : le septième de 15 contient, en effet, le septième de chacune des quinze unités qui composent 15, c’est-à-dire, 15 fois l, ou

On peut encore prouver ce théorème de la manière suivante : on a (50)

c’est-à-dire que 15 unités répétées 7 fois donnent le mémo produit que 7 unités répétées 15 fois. Si donc on prend pour unité | (et on le peut, puisque l’unité est une grandeur complètement arbitraire), on voit que 15 septièmes répétés sept fois donnent le même produit que 7 septièmes ou 1, répété 15 fois, c’est-à-dire que 15 septièmes répétés 7 fois donnent pour produit 15, et que, par conséquent, 15 septièmes sont le septième de 15.

149. Le théorème précédent peut s’énoncer d’une autre manière.

Si l’on multiplie une fraction par son dénominateur, on obtient pour produit le numérateur.

Dire, en effet que est le septième de 15, c’est dire que

répété sept fois donne pour produit 15.

loO. Remarqdk. Le théorème précédent permet d’exprimer le quotient de la division de deux nombres entiers. Soit, par exemple, 43 à diviser par 9, le quotient entier est 4 et le reste 7, c’est-à-dire que le neuvième de 43 se compose de 4 unités, plus du neuvième de 7, il est donc 4 -kg.

En général, le quotient d’une division est égal au quotient entier, augmenté d'une fraction ayant pour numérateur le reste et pour dénominateur le diviseur.

Quand une fraclion est plus grande que l’unité, on peut, d’a-

près cela, la réduire à un nombre entier augmenté d’une fraction moindre que l’unité.

Exemple. ^ est égal à 14 + f.

151. Théorème II. Si l'on multiplie ou divise le numérateur d'une fraction par un nombre entier, la fraction est multipliée ou divisée par ce nombre.

En effet, le dénominateur restant le même, les parties de l'unité qui composent la fraction conservent la même valeur; si donc on en prend deux, trois, quatre.... fois plus, ou deux, trois, quatre.... fois moins, le résultat sera deux, trois, quatre.... fois plus grand, ou deux, trois, quatre.... fois moindre.

Exemple. ^ est le triple de t}, % est le tiers de J

152. Théorème. III. Si l’on multiplie ou divise le dénominateur d'une fraction par un nombre entier , la fraction est divisée ou multipliée par ce nombre.

1 ° Soit, par exemple, la fraction §; il faut prouver qu’en multipliant le dénominateur par 4 on obtient une fraction , qui est le quart de la première.

Si, en effet, après avoir partagé l’unité en 9 neuvièmes, on divise chacun d’eux en quatre parties égales , on obtiendra , en tout, 36 parties égales, qui seront, par conséquent, des trentesixièmes. 3*5 est donc le quart d’un neuvième, et, par suite, cinq trente-sixièmes sont le quart de cinq neuvièmes.

2° Considérons la fraction il faut prouver qu’en divisant le dénominateur par 4, on obtient une fraction J, qui est le quadruple de la première; en effet, la démonstration précédente prouve que T \ est le quart de f, \ est donc le quadruple de

155. Remarque. Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on peut (151) multiplier son numérateur ou (152) diviser son dénominateur par ce nombre entier. Le premier procédé est toujours applicable ; mais le second exige que le dénominateur soit divisible par le multiplicateur considéré.

Pour diviser une fraction par un nombre entier, on peut (151) multiplier son dénominateur ou (152) diviser son numérateur par ce nombre entier. Le premier procédé est toujours appli-

cuble ; mais le second exige que le numérateur soit divisible par le diviseur considéré.

154. Théorème IV. On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant ou divisant ses deux termes par un même nombre

Soit la fraction en divisant son numérateur par 3, on obtient qui est (151) le tiers de si on divise ensuite le dénominateur par 3, le résultat f est (152) le triple de et, par conséquent égal à

On prouverait de môme qu’on n’altère pas la valeur d'une fraction en multipliant ses deux termes par un môme nombre.

Simpüticalion d’une fraction.

155. On peut (154) simplifier une fraction en divisant ses deux termes par un mémo nombre. Si ce nombre est leur plus grand commun diviseur, les deux termes devenant premiers entre eux, on ne pourra plus les diminuer par le môme procédé. Le théorème suivant prouve de plus qu'il est impossible, par aucun moyen, de donner à la fraction une forme plus simple.

156. Théorème V. Une fraction dont les termes sont premiers entre eux, est irréductible, c'est-à-dire qu’il est impossible de l’exprimer avec des termes moindres.

Soit, par exemple, la fraction dont les termes sont premiers entre eux, supposons qu’elle soit égale à une autre fraction |,en sorte que :

Si on multiplie par b les deux membres de cette égalité, les produits seront égaux : or | multiplié par b, donne pour pro-

duit o; — multiplié par b, donne pour produit — — > nous aurons donc :