CL
« étant entier, 28 divise exactement le produit lüx b; mais il
est premier avec 19 ; donc (121) il divise b, et l’on a , en désignant par q un quotient entier, b — 28 X q', la valeur de a devient alors :
:19Xî!
donc a et b sont plus grands que 19 et 28, et égaux à leurs pro duits par un même nombre entier q.
157. Remarque. On voit que pour former toutes les fractions égales à une fraction donnée, il suffit de rendre celle-ci irréductible, puis de multiplier ses deux termes par la série des nombres entiers 1, 2, 3...
Exemple. Pour former toutes les fractions égales à ^ on divisera les deux termes de cette fraction par leur plus grand commun diviseur 5, et elle deviendra ^ étant irréductible, les seules fractions qui lui soient égales sont : jfo, m> etc...
Réduction de deux ou plusieurs fractions au même dénominateur.
188. On peut toujours réduire des fractions données à avoir le même dénominateur. Supposons d’abord qu’il n’y en ait que deux, f et-j 3 ,; on multipliera les deux termes de chacune d’elles par le dénominateur de l’autre, et elles deviendront :
S*l I 3*8 Sx, , S' 1 1 ixs>
qui ont même dénominateur.
S’il y a plus de deux fractions, on multipliera les deux termes de chacune d’elles par le produit des dénominateurs de toutes les autres, ce qui leur fera acquérir un dénominateur commun égal au produit des dénominateurs donnés.
Exemple, Soient les fractions f, §, en appliquant le procédé indiqué, elles deviennent
6xflx4x fl 8 x7X 4xfl S xTxBxft " 7 x 3 x 4
7xgx4x0> 8x7x4 Xü ) 4 x 7 x 8 x 01 5x7xat4
ou en effectuant les multiplications :
non mi 4 ,008 JUUL
Plug petit dénominateur commun.
ISO. Si l’on a rendu les fractions données irréductibles, chacune d’elles ne peut être égale (137) qu’à des fractions dont les termes soient multiples des siens. Un dénominateur commun doit donc être à la fois multiple de tous les dénominateurs ainsi réduits, et la plus petite valeur qu’il puisse avoir est leur plus petit multiple commun. Pour donner aux fractions ce dénominateur commun , il faudra multiplier les deux termes de chacune d’elles par le nombre de fois que le plus petit multiple contient son dénominateur.
Exemple. Reprenons les fractions
qui sont irréductibles. Le plus petit multiple de leurs dénominateurs est 168. Pour leur faire acquérir ce dénominateur, on multipliera les deux termes de la première par ^ ou 24 ; ceux de la seconde, par ou 21 ; ceux de la troisième, par ^ ou 42, et ceux de la quatrième, par ^-f 3 ou 28 ; elles deviendront ainsi
JLî° JL1 *9* JR IBB! 108! TÜBl I UH *
Additions et soustractions des fractions.
ICO. Lorsque des fractions ont même dénominateur, on les ajoute ou les soustrait en ajoutant ou soustrayant leurs numérateurs, et donnant au résultat le dénominateur commun.
Il est évident, par exemple, qu’en ajoutant deux septièmes, trois septièmes et quatre septièmes , on obtient un nombre de septièmes égal à 2 -j- 3 + 4, c’est-à-dire 9 septièmes. On a donc ?~H + 7 — T*
La différence entre f^cl , 4 3 est évidemment aussi un nombre de treizièmes , égal à 12 — 4, ou -fa.
161. Quelles que soient les fractions à ajouter ou à soustraire , on les réduira au même dénominateur, et on opérera ensuite conformément à la règle précédente.
Soit, par exemple, les fractions § et 3 : en les réduisant au même dénominateur, elles deviennent ^ et ; leur somme est donc fî et leur différence -fr-
Remarque. Lorsque l’on veut ajouter ou soustraire des nombres dont quelques-uns sont entiers, on peut considérer ceux-ci comme des fractions ayant pour dénominateur l’unité, et la règle précédente ne subit aucune modification.
Multiplication des fractions.
102. Quand on prend une certaine fraction d’une grandeur, on dit qu’on la multiplie par cette fraction. La grandeur multipliée se nomme multiplicande, et le résultat, son produit, par la fraction qui sert de multiplicateur. Ainsi, multiplier une grandeur par 3, c’est en prendre les deux tiers. En arithmétique la grandeur à multiplier est représentée par un nombre, et l’on cherche le nombre qui exprime le produit.
Pour multiplier deux fractions , il faut diviser le produit des numérateurs par celui des dénominateurs. Soit à multiplier f par c’est-à-dire, soit à prendre les T \ de f : pour cela, on prendra le onzième de § et on le répétera trois fois ; or le onzième de $ est (182) ^ et le triple de est (181) ; telle est
donc la valeur du produit.
Remarque I. Les nombres entiers étant des fractions dont le dénominateur est l’unité , la règle générale s’applique au cas où le multiplicande est entier.
Exemple. 7x$ = V*
Remarque II. Le produit de deux fractions ne change pas quand on intervertit les facteurs , car, d’après la règle précédente , cela revient à changer l’ordre des facteurs qui forment son numérateur et son dénominateur.
163. Le produit de plusieurs fractions se définit comme celui de plusieurs nombres entiers ; c’est le résultat obtenu en multipliant les deux premières fractions, puis leur produit par la
troisième, puis le nouveau produit parla quatrième, etc Un
pareil produit est, d’après la règle précédente , égal au produit de tous les numérateurs divisé par celui de tous les dénominateurs. Quel que soit l'ordre des facteurs, son numérateur et son dénominateur seront toujours composés des mêmes facteurs entiers, par conséquent le produit de plusieurs fractions ne change pas quand on intervertit les facteurs.
théorie des fractions.
De ce théorème on déduit les suivants , absolument comme on l’a fait (40, 41) quand il s’agissait des nombres entiers.
Pour multiplier un nombre par le produit de plusieurs facteurs, on peut le multiplier successivement par ces divers facteurs.
Pour multiplier un produit par un autre produit, il suffit de former un produit unique avec les facteurs du multiplicande et ceux du multiplicateur.
Dans un produit de plusieurs facteurs on peut remplacer un nombre quelconque d'entre eux par leur produit effectué.
Division des fractions.
164. Diviser une grandeur par une fraction c’est former une seconde grandeur qui, multipliée par cette fraction , reproduise la première. La grandeur divisée se nomme dividende, la fraction par laquelle on la divise se nomme diviseur, et le résultat de l’opération s’appelle quotient. En arithmétique la grandeur à diviser est représentée par un nombre, et on cherche le nombre qui représente le quotient.
Pour diviser me grandeur par une fraction . il suffit de la multiplier par la fraction diviseur renversée.
Soit , par exemple , à diviser par $ , une grandeur que j’appelle A. Par définition , A est égal à quatre fois le septième du quotient. Ce septième est donc le quart de A, et par conséquent, le quotient est les sept quarts de A , ou le produit de A par la fraction }. Ce qu’il fallait démontrer.
D’après cela, pour diviser un nombre entier ou fractionnaire par une fraction , il suffit de le multiplier par la fraction renversée.
Exemple. $ divisé par donne pour quotient tf x Y ou Ift.
168. Remarque. Les mots multiplication et division appliqués aux fractions, sont évidemment détournés de leur sens étymologique, dans lequel, multiplier, signifie prendre plusieurs fois, et diviser, partager en plusieurs parties. Pour montrer que, néanmoins, ces opérations sont complètement analogues à celles qui se rapportent aux nombres entiers, il suffira d’examiner le sens des définitions données ( 162 , 164) dans le cas
THÉOBIS DES rtlACTIOKS.
d’un multiplicateur ou d’un diviseur entier, mis sous forme de fraction , § par exemple.
Multiplier une grandeur par § ( 162), c’est en prendre 6 fois la moitié , c’est-à-dire le triple.
Diviser une grandeur par § ( 164), c’est trouver une seconde grandeur dont la première soit les f , c’est-à-dire le triple ; cette seconde grandeur est évidemment le tiers de la première.
Dans les deux cas, la coïncidence des deux définitions est évidente.
Applications de la théorie des fractions.
166. 1* Un poteau vertical est partagé en quatre parties. La première est le fa la seconde le fa et la troisième les £ de sa hauteur totale; la quatrième a -fa de mètre. Quelle est la hauteur de cPpoteau ?
Les trois premières parties réunies forment ou U de
la hauteur totale. La quatrième en est donc, à elle seule, les ; et puisqu’elle a fa de mètre, les ^ du poteau ont fa de mètre, c’est-à-dire que la hauteur du poteau multipliée par ^ donne pour produit fa de mètre. Cette hauteur est donc le quotient de la division de fa de mètre par fa , et elle est exprimée par :
Axîî=3+^.
2° Une balle élastique rebondit à une hauteur égale aux f de celle dont elle est tombée ; après avoir rebondi trois fois , elle s’élève à une hauteur de {§ de mètre ; de quelle hauteur est-elle tombée primitivement ?
La balle ayant rebondi trois fois , la hauteur à laquelle elle S’élève est égale à celle dont elle est primitivement tombée , multipliée trois fois par le facteur $, c’est-à-dire par f x|Xf ou^. Les çfg de la hauteur cherchée sont donc ff de mètre, et cette hauteur est par conséquent égale au quotient de la division de f§"
P ar T2» OU -g-jTTB rïît — rïîff"
3° Un robinet versant de l’eau d’une manière continue peut remplir un certain bassin en \ d'heure. Un second robinet peut le remplir en ^ d’heure; combien de temps, les deux robinets coulant ensemble mettront-ils à le remplir ?
Le premier robinet remplit le bassin en \ d’heure. La capa-
cité du bassin est donc les l de ce qu’il peut remplir en 1 heure, et il remplirait par conséquent, dans ce temps, le quotient delà capacité du bassin par c’est-à-dire les $ du bassin.
On verrait de môme que le second robinet, en une heure, peut remplir les f du bassin.
Les deux robinets versent donc, à eux deux, pendant une heure, les $ de ce qu’il faudrait pour remplir le bassin, et 1 heure est par conséquent les § du temps nécessaire pour le remplir, c'est-à-dire que ce lemps est le quotient de la division d’une heure par S , ou | d'heure.
Les solutions précédentes exigent, pour ôlre bien comprises, que l’on ait une idée nette de ce que c’est que multiplier ou diviser une grandeur par une fraction, mais c’est la seule difficulté qu’elles présentent.
1G7. On peut mettre le quotient de la division de deux nombres entiers sous forme de fraction, en les écrivant l’un audessous de l'autre et les séparant par une barre horizontale. On applique souvent celte notation à des nombres qui ne sont pas entiers ; par exemple, pour indiquer le quotient de la
le nom de fractions à de semblables expressions.
Il est important de faire voir que toutes les règles relatives au calcul îles fractions, s’y appliquent sans exception. Pour plus de brièveté dans l’écriture , nous désignerons les numérateurs et dénominateurs fractionnaires de ces expressions par les lettres a et b.
Théorème VII. On peut multiplier , par un même nombre entier ou fractionnaire , les deux termes d’une expression de la
Désignons par une lettre unique g, la valeur du quo
Généralisation de la théorie des fractions.
Soit m un nombre quelconque, il faut prouver que :
a aXm
b bxm
lient ÿ. Quoique a et b soient fractionnaires , q sera toujours
égal à une fraction à termes entiers, car le quotient de la division de deux fractions est une fraction.
On aura, par définition :
Multipliant les deux membres de cette égalité par le nombre m, on aura (140) :
nX»i = îXJX» = îX(iX»!).
Or, cette nouvelle égalité exprime que q est le quotient de la division deoXm par by.m, on a donc
a Xm
^ bxm
C’est précisément ce qu’il fallait démontrer.
Remarque. D'après le théorème précédent, on pourra réduire
plusieurs expressions de la forme | aux mêmes dénominateurs
absolument comme s’il s’agissait de fractions à termes entiers. On en déduira le moyen de faire l’addition ou la soustraction de ces expressions.
