Théorème VIII. Le produit de deux expressions de la

cl C

forme ^ égal au produit des numérateurs , divisé par celui des dénominateurs.

Nommons q et q' les fractions à termes entiers qui sont égales , a . c

a t et -, , on aura b d

Or, par définition ,

a = qX.b c = q'Xd.

Le produit des premiers membres doit être égal au produit des seconds, on aura donc

THÉORIE DES FRACTIOKS.

Ce qui exprime que le produit qX'f est égal au quotient de la division de aXc par bxd, c’est-à-dire que

qXq'

aXc

bx (I '

C'est précisément ce qu’il fallait démontrer.

169. Théorème IX. Pour diviser une grandeur par une expression de la forme j* , il suffit de la multiplier par l'expression

renversée

Soit A une grandeur à diviser par il faut trouver une seconde grandeur Q , qui , multipliée par | , reproduise A ; on doit donc avoir

ou , en multipliant les deux membres de cette égalité par l’ex-

. b pression -»

Ax5=Ox2x^=Qx(f^)=Q.

a b a \oxaJ

C’est, précisément, ce qu’il fallait démontrer.

RÉSUMÉ

148. Définition des fractions. — 146. Les fractions peuvent être plus grandes que l’unité. — 147. Les nombres entiers peuvent être considérés comme des fractions, et cela, d'une infinité de manières. — 148. Une fraction est le quotient de la division de son numérateur par son dénominateur. — 140. Unefraction multipliée par son dénominateur donne pour produit son numérateur. — 180. Le quotient exact de la division de deux nombres entiers est égal à un nombre entier augmenté d’nne fraction moindre que 1 ; on peut faire subir la même transformation à une fraction plus grande que l'unité. — 181. Si on multiplie ou divise le numérateur d’une fraction par un nombre entier, la fraction est multipliée ou divisée par ce nombre. — 182. Si on multiplie ou divise le dénominateur d’une fraction par un nombre entier, la fraction est divisée

ou multipliée par ce nombre. — 183. Les deux théorèmes précédents donnent le moyen de multiplier ou diviser une fraction par un nombre entier. — 184. On ne change pas la valeur d’une fraction en divisant ou multipliant ses deux termes par un même nombre. — 188. Simplification d’une fraction. En divisant les deux termes d’une fraction par leur plus grand commun diviseur, ses deux termes deviennent premiers entre eux. — 180. La fraction devient alors irréductible, c'est-à-diro qu’il est impossible de l’exprimer avec des termes moindres. — 187. Formation des fractions égales à une fraction donnée. — 188. Réduction de deux ou plusieurs fractions au même dénominateur. — 189. Le plus petit dénominateur commun de plusieurs fractions irréductibles est le plus petit multiple commun de leurs dénominateurs. — 100,161. Addition et soustraction des fractions. — 10!t. Multiplication des fractions. Il est inutile de traiter à part le cas où le multiplicande est entier. Le produit de deux fractions ne change pas quand on intervertit les facteurs. — 103. Les conséquences de ce principe sont les mêmes que dans le cas des facteurs entiers. — 104. Division des fractions; pour diviser une grandeur par une fraction , il suffit de la multiplier par la fraction renversée. — 108. Les définitions de la multiplication et de la division appliquées aux fractions sont d’accord avec celles qui ont été données pour les nombres entiers. — 106. Applications de la théorie des fractions. — 107, 108, 169. Généralisation de la théorie des fractions; tous les théorèmes qui composent cette théorie s’étendent aux expressions fractionnaires, qui ont pour dénominateur une fraction et pour numérateur une autre fraction.

EXERCICES

I. La population de l’Asie est, suivant un statisticien, les de celle de l’Europe ; celle de l’Afrique en est les ^ et celle de l’Amérique les ifî. En supposant que la population de l’Asie soit de 390257000 habitants, calculer celle des autres parties du monde.

II. La mer recouvre les de la surface du globe. La surface de l’Asie est les ^ de celle de l’Europe , celle de l’Afrique en est les , celle de l’Amérique les y/ , et celle de l’Océanie les j{j. Supposant que la surface de l’Afrique soit de 2 970 000 000 d’hectares , calculer celle des autres parties du monde et en déduire la surface totale du globe.

III. Si l’on ajoute un même nombre aux deux termes d’une fraclion , le résultat sera compris entre l’unité et la fraction elle- 1

même , en sorte que la fraction augmentera si elle est moindre que 1 , et diminuera dans le cas contraire.

IV. La somme des numérateurs de plusieurs fractions, divisée par celle de leurs dénominateurs, est comprise entre la plus grande et la plus petite de ces fractions.

V. Deux fractions irréductibles ne peuvent avoir pour somme un nombre entier que si elles ont môme dénominateur.

VI. La somme de trois fractions irréductibles ne peut être un nombre entier, si l’un des trois dénominateurs contient un facteur premier qui ne divise aucun des deux autres.

VII. Si on range par ordre de grandeur toutes les fractions irréductibles moindres que l’unité, dont le dénominateur est inférieur à un nombre donné, les fractionsàégale distance des extrêmes auront le même dénominateur et leur somme sera l’unité.

VIII. Si l’on considère les fractions i, rij, 3 ^*, rh, ri?. tij, etc., prouver que la somme des n premières est moindre

que l’unité et en diffère d’une quantité égale à

IX. Si on considère les fractions £ , ^ g, etc., on pourra en prendre un assez grand nombre pour que leur somme surpasse un nombre quelconque aussi grand qu’on le voudra.