CHAPITRE IX

Définitions.

170. La simplicité des calculs relatifs aux nombres entiers résulte de la loi de décroissement que suivent les unités représentées par leurs différents chiffres. Mais rien ne force à s’arrêter dans cette loi, au chiffre des unités simples, on peut, à sa droite, en placer de nouveaux, dont le premier exprimera des dixièmes, le second des centièmes, le troisième des millièmes, etc., de telle sorte que chaque unité soit dix fois moindre que la précédente. Les nombres écrits de cette manière se nomment nombres décimaux ou fractions décimales; en les écrivant il faut avoir soin de placer une virgule après le chiffre des unités simples, pour indiquer où commencent ceux qui expriment des fractions d’unités.

Exemple. 375,483 signifie 375 unités, 4 dixièmes, 8 centièmes,

3 millièmes.

Manière d’énoncer un nombre décimal.

171 . D’après la loi de décroissement adoptée, les unités exprimées par un chiffre de rang quelconque, peuvent facilement se transformer en unités des ordres suivants. Par exemple, dans le nombre 375,483, le chiffre 4 exprime indifféremment,

4 dixièmes, 40 centièmes ou 400 millièmes; le chiffre 8 exprime 8 centièmes ou 80 millièmes , et enfin , 3 exprime 3 millièmes. On peut donc énoncer ce nombre de la manière suivante : 375 unités, 483 millièmes. Les 375 unités représentant 375000 millièmes, on peut aussi lire : 375483 millièmes.

Ordinairement , pour énoncer un nombre décimal , on énonce sa partie entière, puis on convertit les trois premiers chiffres décimaux en millièmes; les trois suivants en millionièmes, etc.

Exemple. 1783, 213 517 823 se lit : 1783 unités, 213 millièmes, 517 millionièmes, 823 billionièmes.

Lorsque le nombre des chiffres décimaux n’est pas un multiple de trois on termine en énonçant les unités décimales représentées par le dernier ou l’ensemble des deux derniers chiffres.

Exemple. 37,514 217 83 se lit : 37 unités 514 millièmes, 217 millionièmes, 83 cent-millionièmes.

172. Remarque I. L’ordre des unités exprimées par un chiffre, dépendant seulement de son rang à partir de la virgule , on peut , sans changer la valeur d'un nombre décimal , écrire des zéros à sa droite. On pourra ainsi rendre le nombre de ses chiffres décimaux divisible par 3, et le décomposer, dans tous les cas, en unités, millièmes, millionièmes, elc.

175. Remarque II. Pour rendre un nombre décimal, dix, cent, mille.... fois plus grand ou plus petit, il suffit de déplacer la virgule d’un , deux , trois rangs vers la droite ou vers la gauche , car chaque chiffre exprimera ainsi une valeur, dix , cent, mille fois plus grande ou plus petite. Si le nombre des chiffres ne permettait pas ce transport de la virgule, on le rendrait possible en écrivant des zéros à la droite des chiffres décimaux ou à la gauche de la partie entière.

Exemple. Soit 75,342 à diviser par 1000000. On reculera la virgule de six rangs vers la gauche, après l’avoir écrit de la manière suivante ; ;

on obtiendra ainsi

Pour multiplier le même nombre par un million, on avancera la virgule de six rangs vers la droite après l’avoir écrit de la manière suivante :

on obtiendra ainsi

i74. Théorème. Une unité décimale d'un certain ordre est toujours plus grande que la somme des nombres exprimés par les chiffres qui la suivent.

Si l'on écrit par exemple :

quelque soit le nombre (les chiffres qui suivent 8, leur ensemble n'exprimera pas un dix-millème. Supposons, en effet, pour avoir la plus grande somme possible, que tous ces chiffres soient des 9. Le premier exprimera 9 cent millièmes, e'est-àdire, les seulement d’un dix-millième, et il s’en faudra, par conséquent, d’un dixième de dix-millième, c’est-à-dire d’un cent-millième, que ce chiffre ne représente un dix-millième; le suivant exprimera 9 millionièmes, c’est à-dire les -fa seulement d’un cent-millième. 11 s’en faut donc d’un dixième de cent millième, ou d’un millionième, que ce chiffre réuni au précédent ne représente un dix-millième. On verra de môme que le chiffre suivant ne représente que de millionièmes, en général, chaque chiffre n’exprime que les neuf dixièmes de ce qu’il faudrait pour compléter un dix-millième, et, par conséquent, celte somme ne sera jamais complétée.

La remarque précédente est importante; on en conclut qu’un môme nombre ne peut pas s’exprimer de deux manières différentes en fractions décimales. Si, en effet , deux chiffres décimaux sont différents , leur différence exprimera au moins une unité décimale de l’ordre qui leur correspond, et ne pourra pas être compensée par une différence en sens inverse entre les chiffres suivants.

Transformation d’un nombre décimal en fraction ordinaire.

178. Soit, par exemple, le nombre décimal 75,32178, dont le dernier chiffre exprime des cent-millièmes, on peut (178) le lire : 7532178 cent-millièmes; il est donc égal à

En général, pour transformer un nombre décimal en fraction ordinaire, il faut supprimer la virgule et diviser le nombre en* lier ainsi obtenu , par l'unité, suivie d'autant de zéros qu’il y a de chiffres après la virgule.

Exbmple. 7,454 est égal àjA££.

Réciproquement, pour écrire sous forme de nombre décimal

une fraction dont le dénominateur est J’unilé suivie d’un certain nombre de zéros, il suffît de séparer par une virgule, à la droite de son numérateur , autant de chiffres qu’il y a de zéros au dénominateur. Si le numérateur n’avait pas assez de chiffres, on placerait à sa gauche plusieurs zéros qui , sans changer sa valeur, rendraient l’opération possible.

Exemple. -njfof est égal à 0,007.

Addition et soustraction des nombres décimaux.

176. Pour ajouter ou soustraire l’un de l’autre deux nombres décimaux , on fait en sorte qu’ils aient le même nombre de chiffres après la virgule , en écrivant, s’il le faut, un ou plusieurs zéros à la droite de l’un d'eux. On les place ensuite l’un au-dessous de l’autre , de manière à ce que les virgules se correspondent. On opère alors comme si les nombres étaient entiers, sans qu’il y ait aucune différence, soit dans la pratique, soit dans la théorie de l’opération. On peut remarquer seulement que, dans l’addition , les zéros placés <\ la droite de l’un des nombres décimaux ne jouent aucun rôle, et qu’on peut se dispenser de les écrire; ces zéros sont également inutiles dans la soustraction , toutes les fois que c’est au plus petit des deux nombres qu’on doit les ajouter.

Exemple I. Soit à ajouter les trois nombres 2,783 — 5,42, — 0,7842 ; on les écrira comme il suit :

Pour rendre l’opération identique à celle des nombres entiers, il faudrait écrire un O à la droite du premier de ces nombres, et deux à la droite du second,- afin qu’ils eussent tous trois quatre chiffres après la virgule. Mais ces zéros n’ayant évidemment aucune influence sur le résultat de l’opération , on peut se dispenser de les écrire, et additionner immédiatement les chiffres qui représentent des unités de même espèce. Il n’y a qu’un chiffre des dix millièmes qui est 2 ; nous l’écrirons donc immédiatement comme chiffre des dix millièmes de la somme.

Il y a deux chiffres des millièmes, 3 cl 4, dont la somme 7 est le chiffre des millièmes de la somme. Les chiffres des centièmes 8, 2 et 8 donnant pour somme 18, on écrira 8 comme chiffre des centièmes de la somme , et on retiendra 10 centièmes ou un dixième. Les chiffres des dixièmes 7, 4 et 7 donnant pour somme 18, et un de retenue, 19, on pose 9 et l’on retient dix dixièmes ou une unité. Les chiffres des unités 2 et 5 donnent pour somme 7, et un de relcnue font 8, que l’on écrit pour chiffre des unités de la somme.

Exemple IL Soit à retrancher 12,738 de 15,3; on écrira ces nombres comme il suit :

et on fera la soustraction comme s’il s’agissait de nombres entiers.

Multiplication des nombres décimaux.

177. Pour multiplier l’un par l’autre deux nombres décimaux, on fait le produit comme s’il n’y avait pas de virgules, et on sépare à sa droite, autant de chiffres décimaux qu’il y en a dans les deux nombres réunis.

On peut, en effet (173), considérer les deux nombres décimaux comme deux fractions ayant pour dénominateur des puissances de dix; et leur appliquer la règle de multiplication des fractions. Le produit des numérateurs est le produit des nombres entiers obtenus par la suppression des virgules. Pour le diviser par le produit des dénominateurs, il suffit (173) de séparer à sa droite autant de chiffres qu’il y a de zéros dans les deux dénominateurs, c’est à dire autant qu’il y a de chiffres décimaux dans le multiplicateur et le multiplicande réunis, ce qui est précisément la règle énoncée.

Exemple. Pour multiplier 37,245 par 0,05, on multipliera 37245 par 5 , et l’on séparera cinq chiffres décimaux à la droite du résultat.

178. Il arrive souvent que l’on regarde comme inutile d'obtenir pour résultat d’un calcul un nombre rigoureusement

exact. Plus souvent encore , cela est non-seulement inutile , mais complètement impossible , faute d’une précision suffisante dans les données. Nous calculerons (note III) l’influence que peut exercer, sur le résultat d’une opération , une légère inexactitude sur les données. Dans ce chapitre, nous nous bornerons à mentionner comment on peut abréger une multiplication lorsque , par une raison quelconque , on ne désjre obtenir que des chiffres décimaux d’un ordre assigné.

Soit à multiplier 137,573 par 49,7832- : supposons que l’on veuille , dans le résultat , se borner au chiffre des centièmes, soit parce qu’on regarde les chiffres suivants comme pouvant être négligés, soit encore parce que le multiplicande et le multiplicateur n’étant eux-mêmes qu’approchés , on a reconnu que le chiffre des millièmes , si on le calculait, n’offrirait aucune garantie d’exactitude.

La règle générale de multiplication consiste à multiplier 137573 par 497832 , et à séparer ensuite sept chiffres décimaux à la droite du résultat. Ne voulant connaître que deux de ces chiffres , nous pouvons négliger les cinq derniers , c’est-à-dire tous ceux qui expriment, dans le produit entier, des unités d’un ordre inférieur aux centaines de mille. En conséquence, dans la multiplication nous négligerons tous les produits partiels qui représentent des unités d’un ordre inférieur aux mille. (On gardera les dixaines de mille parce que leur réunion peut donner une retenue qui influe sur le chiffre des centaines de mille.)

L’opération se disposera comme il suit :

En multipliant successivement le multiplicateur par les divers chiffres du multiplicande, nous avons négligé les produits par-

tiels qui ne représentent pas des dixaines de mille au moins. Ainsi le chiffre des unités 2, n’a été multiplié que par les 13 dixaines de mille du multiplicande. Le chiffre des dixaine 3 a été multiplié parles 137 mille du multiplicande, et ainsi de suite. Le produit obtenu doit être considéré comme suivi de quatre zéros pour représenter les chiffres que l’on n’a pas calculés. En séparant ensuite seplchiffres à sa droite, on obtiendra :

qui est le produit demandé; les quatre zéros, ne représentent aucune valeur, et peuvent être supprimés. On doit de même effacer le chiffre 3 qui ne présente aucune garantie d’exactitude , car parmi les produits que l’on a négligé d écrire il en est qui , par leur retenue , auraient pu le modifier. Le produit demandé est donc simplement

Remarquons encore que le dernier chiffre 1 n’est pas luimême parfaitement certain. Il peut se faire, en effet, que dans la multiplication de 137573 par 497832, les produits qui représentent des mille, et qui ont été négligés, modifient quelquefois le chiffre des centaines de mille ; mais, d’après la manière dont nous avons posé la question , cela n’a pas d’inconvénient réel.

Division des nombres décimaux.

179. Nous distinguons deux cas dans la division des nombres décimaux.

t° Le diviseur est entier. La division se fait absolument comme la division des nombres entiers.

Soit 78,314 à diviser par 57. Le dividende se compose de 78,314 millièmes, il faut donc diviser le nombre entier 78314 par 57 , le résultat représentera des millièmes.

le quotient exact de la division de 78314 par 57, est égal (150) à 1373 -{- Donc le quotient de la division proposée est 1373 millièmes plus de millièmes, c’est-à-dire 1,373 -f- i-fus a-

En général, pour diviser un nombre décimal par un nombre entier , on effectue la division comme si le dividende était entier, et l'on sépare, à la droite du quotient, autant de chiffres décimaux qu’il y en avait dans le dividende. Pour avoir le quotient exact, il faut ajouter au nombre décimal ainsi obtenu, une fraction ayant pour numérateur le reste de la division que l’on a effectuée, et pour dénominateur le dividende suivi d’autant de zéros qu’il y avait de chiffres décimaux au diviseur.

La fraction qui, d’après la règle précédente, complète le quotient, pourra être convertie en décimales par le procédé général qui sera exposé plus loin.

180. 2° Le diviseur est une fraction décimale. On multipliera le dividende et le diviseur par une puissance de 10 tellement choisie, que le diviseur devienne entier. Cette multiplication ne changera évidemment pas le quotient, et l’on rentrera dans le cas précédent.

Exemple. Soit à diviser 2,2357 par 0,059, en multipliant le dividende et le diviseur par 1000, ces nombres deviennent 2235,7 et 59, qu’il faudra diviser l’un par l’autre. Pour cela(170) on divisera 22357 par 59, et le quotient sera considéré comme représentant des dixièmes :

Le quotient exact est 37,8 plus §§ de dixièmes, c'est-à-dire 37,8 -|- La fraction ^ pourra être convertie en décimales comme il sera exposé plus loin.

Remarque. Nous n’avons parlé dans ce qui précède que du calcul exact des nombres décimaux. Dans un grand nombre de cas, on ne divise que des valeurs approchées, et l’on peut, d’après cela , simplifier les calculs par des procédés que nous exposerons plus loin.

Réduction des fractions ordinaires en décimales.

181. Théorème I. Pour qu’une fraction ordinaire irréductible puisse s’exprimer exactement sous forme de fraction décimale, il faut et il suffit que son dénominateur n'admette pas d’autres facteurs premiers que 2 et 5.

Tout nombre décimal étant égal à une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (175), lorsque, pour rendre cette fraction irréductible, on divisera ses deux termes par leur plus grand commun diviseur, le dénominateur de la fraction ainsi obtenue sera un diviseur d’une puissance de 10 et ne pourra, par conséquent, avoir d’autres facteurs premiers que 2 et 5.

Réciproquement , si le dénominateur d’une fraction n’admet pas de facteurs premiers autres que 2 et 5 , en multipliant les deux termes de cette fraction par une puissance convenable de l’un de ses facteurs, on pourra rendre leurs exposants égaux, et alors le dénominateur étant une puissance de 10, la fraction pourra (175) s’écrire sous la forme de nombre décimal.

Exemple. 8 : en multipliant scs deux termes par 5‘

ou 25, cette fraction devient ' ou 0,075.

2 X J lv

-tt = 7^. En multipliant ses deux termes par 2* ou 8, cette

fraction devient j-, = 0,032.

Remarque. Toute fraction pouvant être rendue irréductible , le théorème précédent permet toujours de décider, si une fraction donnée est égale à un nombre décimal ; dans le plus grand nombre des cas, une pareille transformation n’est pas possible, il faut définir ce qu’on entend alors par : réduire une fraction ordinaire en décimales.

182. D’après ce qui précède, une fraction ordinaire ne pourra pas, en général , se mettre sous la forme d’un nombre décimal. A plus forte raison, une grandeur quelconque étant donnée, sa mesure exacte ne sera pas, en général, une fraction décimale.

Heureusement que dans la plupart des cas , il n’y a aucun inconvénient à substituer à un nombre sa valeur suffisamment approchée ; or nous allons montrer qu’on peut toujours représenter un' nombre par une fraction décimale avec telle approximation qu’on le voudra. .

Considérons en effet un nombre quelconque; si nous le comparons à la série des nombres entiers 0, 1, 2, 3, -4..., nous trouverons toujours deux termes consecutifs de cette série qui le comprennent entre eux. Le plus petit de ces deux termes se nomme la partie entière du nombre, ou encore, sa valeur à une unité près. 11 est évident qu’elle en diffère de moins d’une unité.

Supposons , par exemple , que le nombre considéré soit compris entre 24 et 25 , sa partie entière , ou sa valeur, à une unité près , est 24.

Pour avoir une valeur plus approchée , considérons la suite 24 24,1 24,2 24,3 24,4 24,5 24,6 24,7 24,8 24,9 25

qui contient les nombres exacts de dixièmes compris entre 24 et 25.

Le nombre proposé, s’il n’est pas égal à l’un des termes de cette suite, tombera entre deux d’entre eux. Le plus petit de ces deux se nomme sa valeur à un dixième près. Il est évident qu elle diffère de la valeur exacte de moins d’un dixième.

Si nous supposons , par exemple , que le nombre considéré soit compris entre 24,7 et 24,8, sa valeur, à un dixième près , est 24,7; on dit aussi que 7 est le chiffre exact de ses dixièmes.

Pour avoir une valeur plus approchée encore, considérons la suite

qui contient les nombres exacts de centièmes compris entre 24,7 et 24,8; le nombre proposé, s’il n’est pas égal à l’un des termes de cette suite , tombera entre deux consécutifs d’entre eux. Le plus petit de ces deux se nomme sa valeur à un centième près. Si nous supposons, par exemple, que le nombre considéré soit compris entre 24,75 et 24,76, sa valeur, à un centième près , est 24,75. On dit aussi que 5 est le chiffre exact de ses centièmes.

En continuant de la môme manière , on obtiendrait la valeur à un millième près, à un dix-millième près, etc., et en même tems le chiffre exact des millièmes, le chiffre exact des dix millièmes, etc. .

Ces défini tiops, peuvent se formuler de la manière suivante :

La valeur d'un nombre , à une unité près, est le plus grand nombre entier qui y soit contenu. *

La valeur d’un nombre , à un dixième près, est le plus grand nombre entier de dixièmes qui y soit contenu.

La valeur d'un nombre , à un centième près, est le plus grand nombre entier de centièmes qui y soit coulenu.

La valeur d'un nombre , à un millionième près , est le plus grand nombre entier de millionièmes qui y soient contenu , etc.

Réduire une fraction en décimales , c’est l’évaluer successivement à un dixième, à un centième , à un millième.... près', et former le tableau de ces valeurs de plus en plus approchées.

Remarque. Lorsque la fraction proposée est exprimable exactement en décimales, et égale, par exemple, à un nombre exact de millionièmes, il est évident qu’en l’évaluant à un millionième près, on aura sa valeur exacte, et que les évaluations suivantes, si on les formait, donneraient toujours le même résultat. La définition précédente convient donc au cas même où la réduction peut se faire exactement.

183. Soit j à réduire en décimales, f est compris entre 0 et 1 , sa partie entière , c’est-à-dire sa valeur, à une unité près , est , donc O. Pour continuer l’opération , plaçons les deux nombres 5 et 7 comme s’il s’agissait de les diviser l’un par l’autre.

et écrivons au quotient 0, partie entière de la fraction décimale que nous voulons former.

f d’unité valent ÿ de dix dixièmes , c’est à dire §p de dixième. Or en divisant 50 par 7, on voit que hjf est égal à 7 -f- Donc hp- de dixième valent 7 dixièmes plus f de dixième. Nous pouvons donc écrire 7 comme chiffre de dixièmes , et il reste \ de dixième.

| de dixième yaut $ de dix centièmes ou ^ de centième. En divisant 10 par 7 on voit que est égal à 1 +$. s ? de centième valent donc 1 centième plus i{ de centième. Nous pouvons donc écrire 1 pour chiffre des centièmes, et il reste f de centième.

f de centième valent 7 de dix millièmes ou ^ de millième. En divisant 30 par 7, on voit que vaut 4 -f- f ^ de millième valent donc 4 millièmes plus $ de millième. On peut donc inscrire 4 comme chiffre des millièmes , et il reste f de millième.

Cette méthode est évidemment générale , et nous pouvons énoncer la règle suivante :

Pour réduire une fraction en décimales, on écrit un zéro à la droite du numérateur et on divise par le dénominateur. On sépare par une virgule un chiffre à la droite du quotient. On écrit 0 à la droite du reste, et on le divise par le dénominateur, le quotient est le second chiffre décimal ; on écrit un zéro à la droite du nouveau reste et on le divise par le dénominateur , le quotient est le troisième chiffre décimal, et ainsi de suite indéfiniment. Si une des divisions sefait exactement, la fraction proposée peut s'exprimer sous forme dénombré décimal , sinon, la méthode fournit seulement des évaluations déplus en plus approchées.

Fractions décimales périodiques.

184. Lorsque les chiffres d’une fraction décimale se reproduisent toujours les mêmes et dans le môme ordre, on dit que la fraction est périodique. L’ensemble des chiffres qui se reproduisent ainsi se nomme une période. Quand la période com- ... mence immédiatement après la virgule, la fraction est périodique simple; dans le cas contraire, elle est périodique mixte.

Exemple. 0, 345 345 345 345...

est une fraction périodique simple;

est une fraction périodique mixte.