Théorème. Toute fraction ordinaire réduite en décimales

donne naissance à une fraction terminée ou à une fraction périodique.

Soit une fraction 'ordinaire g-. D’après la règle donnée plus

haut pour la réduire en décimales, on procédera de la manière suivante :

Ro U ) U,U 1 U,Ü*U.Ü.

Rio

BjO

KjO

On divise A par B, soit 0 le quotient, il est la partie entière de la fraction décimale. Le reste R est multiplié par 10 et le produit Ito divisé par B donne le chiffre Qi des dixièmes. On multiplie ensuite par 10 le reste IL de cette seconde division et on divise Rio par B, ce qui donne un quotient Q,, chiffre des centièmes, et un reste R,. On multiplie Rj par 10 et on divise le produit R,o par B; ce qui donne un quotient û,, chiffre des millièmes et un reste R s . On multiplie IL ■par 10, etc.

Si l’un des restes Rj, R,, R*... est nul, ^ est exactement réductible en décimales, sinon l’opération se continue indéfiniment. Dans ce cas, les restes R,, R„ IL... étant tous plus petits que B, après un nombre de div isions au plus égal à B — t , on retombera sur un reste déjà obtenu, car il n’y a que B — 1 nombres entiers différents, inférieurs à B. La régularité du procédé qui fournit les différents chiffres fera alors qu’à partir de ces restes égaux , les quotients et les restes successifs seront les mômes et se présenteront dans le môme ordre ; la fraction décimale sera donc périodique. Si, par exemple, on avait IL = R s , on en conclurait Q, = Q*, IL = R*, Qj = Qs, Rj = Rs, etc., et, par conséquent, la fraction prolongée à l’infini serait :

Q, QiQîQsQsQsQtQaQj

Remarque I. Quand une fraction ^ réduite en décimales donne

lieu à une fraction périodique, le nombre de chiffres de la période est moindre que le dénominateur B ;

Car les restes étant tous moindres que B, après avoir calculé B chiffres, on sera retombé deux fois sur le même reste, et par suite la période aura commencé.

186. Remarque II. Lorsque le dénominateur d’une fraction est un peu considérable et que le numérateur est l’unité, on peut abréger les opérations par un procédé dont nous nous bornerons à donner un exemple.

Soit 5*5 à réduire en décimales, on trouve, en commençant l’opération conformément à la méthode précédente,

Et par conséquent

[1] y g = 0,03448 + W 8 ÏÏ de cent millièmes.

Si on multiplie les deux termes de cette égahté par 8, les produits seront égaux, et l’on aura :

[2] ^ = 0,27584 + M d e cent millièmes,

ou en remarquant que = 2 -J-

[3] ^ = 0,27586 + 5V de cent millièmes ;

on conclut delà, en divisant les deux nombres par 100000,

[4] de cent millièmes=0,0000027586+|f de dix billionièmes et par conséquent la valeur [1] de + devient

[5] 5*ç = 0,0344827586 + de dix billionièmes,

on trouvera de même en multipliant par 6 les deux membres de cette égalité,

[6] 50 = 0,2068965516 + §f de dix billionièmes, ou, puisque = l + fa de dix billionièmes,

on conclut de là

$ de dix billionièmes= 0,000000000020689555 17 et par suite la valeur de $ [5] devient

+Ade(~)

[8] $ = 0,03448275862008965517 -f $ de

En multipliant par 7 les deux membres de cette égalité, on trouve

$ = 0,24137931034482758619 -H! de ou

$ =0,24137931034482758620 + $$ de

donc

$ de ~ = 0,0000000.... 024137931034482758620 + f#de

ce qui, substitué dans la valeur [8] de $, donne

$= 0,0344827586206896551724137931 034482758620 + de

et comme nous avons plus de 28 chiffres, nous sommes certains que la période doit être complète; on reconnaît, en effet, que les chiffres décimaux, 9 partir du 29*, sont les mêmes qu’à partir du 1 er , la période a donc 28 chiffres.

Fraction ordinaire génératrice d’une fraction périodique donnée.

187. Pour chercher la fraction ordinaire, qui, réduite en décimales, donne naissance à une fraction périodique donnée, nous remarquerons que celte fraction est la limite vers laquelle tend la valeur de la fraction décimale, lorsqu’on y considère un nombre de chiffres de plus en plus grand

Considérons d’abord une fraction périodique simple.

Soit la fraction

Nommons a la valeur exprimée par l’ensemble des n premières périodes, nous aurons

On en déduit, en multipliant par 1000, ces deux quantités 1000o = 342,342342.... 342.

Cette valeur de 1000 a contient trois chiffres décimaux de moins que celle de a; si on lui ajoutait ces trois chiffres, les deux expressions auraient la même partie décimale, et leur différence serait 342. On a donc

c’est-à-dire

Si le nombre n des périodes augmente indéfiniment, 0,000000. .. 342 deviendra aussi petit que l’on voudra, et en nommant x la limite de a oq aura

et par conséquent

Le raisonnement étant général , nous pouvons énoncer le théorème suivant :

La fraction ordinaire génératrice d'une fraction périodique simple a pour numérateur la période, et pour dénominateur un nombre exprimé par autant de 9 qu il y a de chiffres dans la période.

108. Remarque. On peut en général simplifier la fraction fournie par la règle précédente, et faire perdre à son dénominateur la forme particulière qu’il présente. Ainsi, dans l’exemple précédent les deux tcrihes de sont divisibles par 3, et cette fraction est égale à On peut remarquer seulement que le dénominateur dont tous les chiffres sont des 9, n’étant divisible ni par 2 ni par 5, il en sera de même du dénominateur de la fraction irréductible équivalente; car, en réduisant une fraction à sa plus simple expression, on supprime des facteurs sans en introduire de nouveaux. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Le dénominateur d’une fraction irréductible, génératrice d’une fraction périodique simple, n'est divisible ni par 2 ni par 5.

189. Considérons maintenant une fraction périodique mixte. Soit la fraction

Représentons par a la valeur exprimée par cette fraction quand on la termine à la »• période,

Nous aurons

Multiplions les deux termes de cette égalité par 100, pour faire en sorte que la période commence immédiatement après la virgule, nous aurons

En multipliant les deux membres de cette égalité par 1000, nous avons

Cette valeur de 100000 a contient trois chiffres décimaux de moins que celle de 100 a. Si on les lui ajoutait, les deux expres sions auraient la même partie décimale, et leur différence serait celle de leurs parties entières. On a donc

100000a + 0,0000000.. ..572— 100a = 34572—34, c’est-à-dire

Si le nombre des périodes considérées augmente indéfiniment 0,000.... 572

deviendra aussi petit que l’on voudra, et l’on a , en désignant par x, la limite de a :

d’où l’on tire

Le raisonnement étant général, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

La fraction ordinaire génératrice d’une fraction périodique

mixte, a pour numérateur le nombre formé par la partie non périodique suivie d’une période , moins le nombre formé par la période , et pour dénominateur le nombre exprimé par autant de 9 qu’il y a de cliiU'res dans la période, suivis d’autant de zéros qu’il y a de chiffres avant la période.

190. Remarque. En général, la fraction fournie par la règle précédente ne sera pas irréductible; on pourra alors supprimer les facteurs communs à ses deux termes, et faire perdre à son dénominateur la forme particulière qu’il présente. Ainsi , dans le cas précédent, les deux termes de H'inSjrir S0I 'l divisibles par 2, cl la fraction est égale à On peut démontrer cependant qu’après avoir été réduit à sa plus simple expression, son dénominateur contiendra l’un ou l’autre des facteurs 2 et 5 précisément autant de fois que sous la forme primitive, c’est-à-dire autant de fois qu’il y a primitivement de zéros à sa droite. Les facteurs 2 et 5 ne peuvent en effet disparaître que s’ils divisent en même temps le numérateur; mais, pour être divisible par 2 et par 5, celui-ci devrait être terminé par un zéro, et comme il est le résultat d’une soustraction, il faudrait pour cela que les derniers chiffres des nombres soustraits fussent les mêmes, c’est-à-dire que la période se terminât par le même chiffre que la partie non périodique; supposons qu’il en soit ainsi, et que le chiffre 2 qui termine la période soit remplacé par uu 4 , la fraction périodique mixte deviendrait

mais alors la période, au lieu d’être 534, serait 453, et ne serait précédée que du seul chiffre 3. Si donc on a fait commencer la période où elle commence réellement, le numérateur ne peut pas être terminé par un zéro ; et lorsqu’on réduira la fraction à sa plus simple expression , le dénominateur conservera l’un ou l’autre des facteurs 2 ou 5 autant de fois qu’il y a de zéros à sa droite, c’est-à-dire autant de fois qu’il y a de chiffres avant la période dans la fraction périodique mixte donnée.

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Le dénominateur de la fraction irréductible, génératrice d’une fraction décimale périodique mixte , est divisible par l'un ou l’autre des facteurs 2 et 5 pris avec un exposant égal au nombre des

chiffres décimaux qui, dans la fraction décimale, précèdent la période.

101. En rapprochant ce théorème de ceux qui ont été démontrés (181, 100), on peut prévoir la nature de la fraction décimale qui proviendra d’une fraction ordinaire irréductible quelconque.

Transcrivons d'abord les trois théorèmes.

1° Pour qu'une fraction irréductible puisse s’exprimer exactement sous forme de nombre décimal , il faut et il suffit que son dénominateur n'admette pas d'autres facteurs premiers que 2 et S (181).

2° Le dénominateur d' une fraction irréductible génératrice d'une fraction périodique simple, n'est divisible ni par 2 ni par 5 (188);

3° Le dénominateur d'une fraction irréductible génératrice d’une fraction périodique mixte, est divisible par l'un ou l'autre des facteurs 2 et 5, pris avec un exposant égal au nombre des chiffres qui, dans la fraction décimale , précèdent la période (189).

Ces propositions réunies entraînent les deux suivantes :

1° Pour qu’une fraction irréductible réduite en décimales donne naissance à une fraction périodique simple, il faut et il suffit que son dénominateur ne soit divisible ni par 2 ni par 5.

Celte condition est, en effet, nécessaire en vertu du second des théorèmes que nous venons d’énoncer, et elle est suffisante, car, en la supposant remplie,, le 1" et le III* de ces théorèmes prouvent que la fraction décimale correspondant à la fraction donnée, ne peut être ni terminée ni périodique mixte , et , par exclusion, il faut alors qu’elle soit périodique simple.

2° Pour qu’une fraction irréductible réduite en décimales donne naissance à une fraction périodique mixte, il faut et il suffit que son dénominateur admette l'un au moins des fadeurs 2 ou S, et, en outre, d'autres fadeurs premiers .

’ Il faut, en effet, en vertu du 3* des théorèmes transcrits plus haut , que ce dénominateur admette l’un au moins des facteurs 2 et 5 , et en vertu du premier il faut qu’il en admette d’autres, car sans cela la fraction décimale serait terminée. Ces deux conditions réunies sont aussi suffisantes, car, en les supposant remplies, les théorèmes I et II prouvent que la fraction décimale ne peut être ni terminée ni périodique simple, et, par exclusion, il faut alors qu’elle soit périodique mixte.

Exemple. Si l’on réduisait en décimales les fractions §, la première donnerait naissance à une fraction terminée , la seconde à une fraction périodique simple, et la troisième à une fraction périodique mixte avant deux chiffres avant la période, puisque 28 contient 2 fois le facteur 2.

RÉSUMÉ

170. Définition des nombres décimaux. — 171. Différentes manières dont peut s’énoncer la valeur d’un chiffre décimal ; lecture d’un nombre décimal. — 172. On peut ajouter des zéros à la droite d’un nombre décimal. — 173. Moyen de multiplier ou de diviser un nombre décimal par une puissance de 10. — 174. Une unité décimale d’un certain ordre est toujours plus grande que la somme des nombres exprimés par les chiffres qui la suivent. On en conclut qu’un même nombre ne peut pas s’exprimer de deux manières en fraction décimale. — 178. Transformation d’un nombre décimal en fraction ordinaire. Transformation en nombre décimal d’une fraction qui a pour dénominateur une puissance de 10. — 176. Addition et soustraction des nombres décimaux. — 177. Multiplication des nombres décimaux. — 178. Cas où l’on se contented’un produit approché. — 179. Division des nombres décimaux. Cas où le diviseur est entier. — 180. Cas où le diviseur est une fraction décimale. — 181. Réduction des fractions ordinaires en décimales. Conditions pour qu’elle soit possible. — 182. Évaluation d’une fraction à moins d’une unité décimale d’un certain ordre. — 183. Réduction des fractions ordinaires en décimales. — 184. Définition des fractions décimales périodiques. — 186. Toute fraction ordinaire réduite en décimales donne naissance à une fraction terminée ou à une fraction périodique. — 186. Moyen d’abréger les opérations lorsque le numérateur de la fraction réduite est l’unité. — 187. Fraction ordinaire génératrice d’une fraction périodique simple. — 188. Le dénominateur d’une fraction irréductible, génératrice d’une fraction périodique simple, n’est divisible ni par 2 ni par 5. — 189. Fraction ordinaire génératrice d'une fraction périodique mixte. — 190. Le dénominateur de la fraction irréductible génératrice d’une fraction décimale périodique mixte est divisible par l’un ou l’autre des facteurs 2 ou 5 pris avec un exposant égal au nombre des chiffres qui, dans la fraction décimale, précédent la période. — 191. Moyen de reconnaître, à l’inspection du dénominateur d’une fraction irréductible, la nature de la fraction décimale à laquelle elle donnera naissance.

THÉORIE DES MACHONS DECIMALES.

•' EXERCICE*

I. Si on considère une fraction périodique 0,375 375 375.... la limite est en considérant la période comme épie à 375375, on verrait de même que la limite est : prouver a priori l’égalité de ces fractions.

II. La fraction périodique mixte 0,57832832832 peut être con-

sidérée comme ayant 283 pour période et 5783 pour partie non périodique, la limite est alors '• prouver la coïnci-

dence de ce résultat avec celui que l’on obtient en considérant la partie non périodique comme réduite à 57 et la période à 832.

III. Si une fraction irréductible a pour dénominateur un nombre premier , et que la période de la fraction décimale à laquelle elle donne naissance ait un nombre pair de chiffres, la somme des chiffres occupant le même rang dans chaque demi-période sera toujours égale à 9.

IV. Si deux fractions irréductibles ont le même dénominateur, et qu’on les réduise l’une et l’autre en décimales , les périodes auront le même nombre de chiffres.

V. Si l’on réduit en décimales une fraction ordinaire — et que

la périotle ait p — 1 chiff res, que l’on range ces chiffres en cercle de telle manière qu’il n’y ait plus ni premier ni dernier, le cercle ainsi obtenu sera indépendant du numérateur m.

Exemple. } = 0,142857142857

Ces deux périodes raugées en cercle donnent l’une et l’autre

Pour obtenir la première il faut lire les chiffres h partir de 1, et la seconde à partir de 5.

VI. Si l'on réduit en décimales toutes les fractions irréductibles , dont le dénominateur est un nomhre premier p ; si l’on range en cercle les restes obtenus dans l'opération, le nombre

des cercles distincis que l’on pourra former de cette manière, est un diviseur de p — 1 . En conclure que le nombre des restes qui forment un de ces cercles, et, par suite, le nombre des chiffres d’une période , est aussi un diviseur dep — 1.

VU. Du 15 avril 1838 au 30 septembre 1849, on a retiré des mines de Pontgibaud 42750 mètres cubes qui ont fourni, après lavage, 7304496 kilogrammes de minerai. On a retiré de ce minerai 1258708 kilogrammes de plomb et 7052 lil ,346 d'argent. Trouver d’après ces données, à un millième de kilogramme près, le poids du minerai retiré d’un mètre cube de roche extraite et la quantité de plomb et d’argent qui correspond à 1250 kilogrammes de minerai.

VIII. Les données étant les mêmes que dans la question précédente, on évalue le métal contenu dans 100 kilogrammes de minerai à 32 ( ,19. 4», 50 d’argent valant un franc, à quel prix compte-t-on le plomb?

IX. On traite annuellement dans l’usine de Tsiklovah (Hongrie) 1125 quintaux métriques de mifierai de cuivre argentifère. Le minerai Contient 2,40 pour 100 de cuivre et 0,0000695 d’argent. La perte en cuivre est de 4 pour iOO et la perte en argent de 5 pour 100. Calculer les productions annuelles et leur valeur, en comptant le kilogramme d'argent à 220 francs et le quintal de cuivre à 210 francs.

X. Les données étant les mêmes que dans la question précédente, évaluer les quantités de mercure consommées annuellement dans l’usine de Tsiklovah , sachant que l’on commence par extraire le cuivre du minerai , puis que l’on extrait l’argent de celui-ci à l’aide du mercure, la perte en mercure étant de 0,00127 pour un de cuivre.

XI. Les usines à zinc de la Silésie ont traité en 1830 140830 quintaux métriques de minerai rendant 32 pour 100. Le prix du zinc était alors de 18 f ,75 le quintal; en 1846, le prix du zinc s’élevait à 37 f ,50 le quintal et l’on a traité 1 1 80950 quintaux de minerai , dont le rendement était de 17 pour 100. Quel est le rapport des valeurs produites à ces deux époques?

XII. Les données étant les mêmes que dans les questions précédentes, trouver le prix du minerai fondu en 1846 , sachant qu’on le paye 37 ( ,50 la tonne de 1000 kilogrammes. Trouver également le prix du charbon , sachant que l’on brûle 752 ki-

THKOHifc DfcS fKACTIONS DKUM.Vl.ti.

logrammes de houille pour produire 100 kilogrammes de zinc et que cette houille revient à 5 f ,26 les 100 kilogrammes.

XIII. Les mines de cuivre de la Grande-Bretagne ont produit en 1847, 152615 tonnes de minerai. On en a extrait 13900 tonnes de cuivre. Pendant la même année on a importé en Angleterre 41490 tonnes de minerai étranger (Chili et Australie) qui ont produit 9009 tonnes de cuivre. Quelle est la richesse en cuivre du minerai indigène et celle du minerai importé?

XIV. Quel est le poids de houille consommée dans le traitement métallurgique des minerais de cuivre de la Grande-Bretagne , sachant que l’on dépense l kil ,538 de houille par kilogramme de minerai?

XV. Si tleux fractions irréductibles s , -7 converties en dé-

cimales donnent lieu à des périodes composées respectivement de M, m chiffres, dans le cas où D est divisible par d, le nombre M est également divisible par mi

XVI. Si plusieurs fractions irréductibles, dont les dénominateurs sont premiers entre eux, ou 11’ont pas d’autres facteurs communs que des puissances de 2 ou 5, donnent lieu il des périodes de m, m', m!'... chiffres, toute fraction irréductible, ayant pour dénominateur le produit des dénominateurs des premières, conduit à une période dont le nombre des chiffres est le plus petit multiple de m, m', m!'..., etc.