CHAPITRE XI

THÉORIE DES RAPPORTS ET PROPORTIONS

Rapport de deux grandeurs.

206. Le rapport d’une grandeur à une autre de même nature, est le nombre qui servirait de mesure à la première si la seconde était prise pour unité.

Nous ne nous occuperons, dans ce chapitre, que des rapports entre les grandeurs qui ont une commune mesure contenue un nombre entier de fois dans chacune d’elles. De pareils rapports se nomment cominensurables.

207. Théorème. Tout rapport commensurable est égal à une fraction à termes entiers.

Les grandeurs que l’on compare ont par hypothèse une commune mesure, qui est contenue un nombre entier de fois dans chacune d’elles, 5 fois, par exemple, dans la première, et 7 fois dans la seconde; ’a première contient alors 5 fois le septième de la seconde dont elle est, par conséquent, les cinq septièmes, et la seconde contient 7 fois le cinquième de la première dont elle est, par conséquent, les sept cinquièmes. Le rapport est donc, suivant le point de vue auquel on se place, l’une des fractions à termes entiers 7 ou \.

Rapports inverses eu réciproques.

208. On voit qu’il existe entre deux grandeurs, deux rapports exprimés par deux fractions formées des mômes termes, comme ^ et J. Ces deux rapports se nomment inverses ou réciproques, et les fractions qui les représentent reçoivent le nom de fractions inverses ou réciproques.

Remarque. Le produit des deux fractions inverses est évidemment l’unité ; on donne quelquefois cette propriété comme définition, et l’on dit : deux nombres sont réciproques lorsque leur

1;>2 TUÉORIE DLS It APPORTS ET PROPORTIONS.

produit est ('gai à l’unité. Mais nous préférons la première définition, qui a l’avantage de faire ressortir l’origine de la locution dont il s’agit.

Rapport de deux nombres.

209. Le quotient de la division de deux nombres entiers ou fractionnaires se nomme leur rapport. Il est essentiel de montrer qu’il n’y a pas là contradiction dans le discours, et que deux grandeurs de même nature représentées par des nombres, ont en effet pour rapport, le quotient de la division de ces nombres.

Supposons, par exemple, que deux grandeurs rapportées à une même unité, soient représentées par $ et f. f divisé par § donne pour quotient j-J ; cela veut dire que 5 d’unité sont les quinze quatorzièmes de | d’unité, ou que le rapport de la grandeur $ d’unité, à la grandeur § d’unité est { j. Les deux définitions s’accordent donc parfaitement.

Définition des proportions.

210. Ou dit que quatre grandeurs sont en proportion, lorsque le rapport des deux premières est égal au rapport des deux autres.

En arithmétique , où l'on ne considère que les nombres, on dit que quatre nombres sont en proportion, lorsque le rapport 'des deux premiers est égal au rapport des deux autres.

Il est évident que si quatre nombres sont en proportion, il en est de même des grandeurs correspondantes, et que réciproquement, la proportion entre quatre grandeurs entraîne celle des nombres qui les représentent.

211. On écrit de la manière suivante que quatre nombres, a, b, c , d, sont en proportion :

et l’on prononce :

a est à b comme c est à d.

a, b, c, d se nomment les termes de la proportion.

a () est le premier rapport.

■g le second rapport.

THÉORIE DES RAPPORTS ET PROPORTIONS. * 153

b et c les moyens.

a et d les extrêmes.

a l’antécédent et b le conséquent du premier rapport. c l’antécédent et d le conséquent du second rapport.

Lorsque, dans une proportion, les moyens sont égaux entre eux, on dit qu’ils sont moyens proportionnels entre les extrêmes.

Exemple. On a 8 : 4 :: 4 :2. 4 est donc moyen proportionnel entre S et 2.

Il est important de se rendre ces locutions familières.

212. Remarque. Si deux proportions ont un rapport commun , les deux autres rapports forment une proportion.

Ainsi des deux proportions

on peut déduire

car ces deux rapporls, égaux e : d , sont évidemment égaux entre eux.

Théorèmes relalife aux proportions.

213 . Théorème I. Pour que quatre nombres a, b, c, d, soient en proportion , il faut et il suffit que le produit des extrêmes soit égal au produit des moyens.

Par définition, la condition nécessaire et suffisante pour que quatre nombres soient en proportion, est que

| désignant ( 167 ) le rapport de a à b lors même que a et b

ne sont pas des nombres entiers. Si nous multiplions les deux termes de la première expression par d, et ceux de la seconde par b, alin de les réduire au même dénominateur, l’égalité [1] deviendra

aXd ex b

154 THÉORIE DES RAPPORTS KT PROPORTION

ce qui équivaut, à cause du dénominateur commun, à

C’est précisément ce qu’il fallait démontrer.

214. Il résulte du théorème I, que l’on peut changer l’ordre des termes dans une proportion, pourvu que l’on garde les mômes extrêmes et les mômes moyens, ou que les deux moyens changent à la fois de place avec les deux extrêmes.

Ainsi, les huit proportions suivantes peuvent ôlre considérées comme absolument équivalentes :

caria condition nécessaire et suffisante pour que l'une quelconque d’enlrc elles ait lieu, est l’égalité des produits a xd et bxc.

215. Connaissant trois termes d'une proportion , trouver le quatrième.

Le produit des extrêmes étant égal à celui des moyens, si le terme inconnu est un extrême, multiplié par l’autre extrême il doit donner (2 1 5) un produit égal à celui des moyens ; il est donc égal au produit des moyens divisé par l’extrême connu.

Si le terme inconnu est un moyen, on voit de même qu’il est égal au produit des extrêmes divisé par le moyen connu. Exemple. Trouver un nombre x tel que l’on ait

on aura, d’après la règle énoncée,