Théorème II. On peut , sans qu'une proportion cesse

THÉORIE DES RAPPORT!» ET PROPORTIONS. 155

d’avoir lieu, multiplier ou diviser un de ses extrêmes et un de ses moyens par un même nombre.

11 est évident, en effet, qu’en opérant ainsi on multiplie ou divise par un même nombre le produit des extrêmes et celui des moyens, ce qui n’altère pas leur égalité.

217. Théorème III. Dans une proportion, la somme des deux premiers termes est au second, comme la somme des deux derniers est au quatrième.

Soit la proportion

il s’agit de prouver qu’elle entraîne la suivante : a -J- b : b : : c -|- d : d.

Or, il est évident que le rapport de a -f b à b surpasse d’une unité celui de a à.6, et que le rapport de c + d à d surpasse d’une unité

celui de c h d. Les deux rapports ~ et ^ ont donc été l’un

et l’autre, augmentés d’une unité, et par conséquent leur égalité n’est pas altérée.

218. Théorème IV. Dans une proportion, la différence des deux premiers termes est au second, comme la différence des deux derniers est au quatrième.

Soit la proportion

il s’agit de prouver -qu'elle entraîne la suivante : a — b : b :: c — d : d.

Or, il est évident que le rapport de a — b à b est moindre d’une unité que celui de a à b, et que le rapport de c — d à d est moindre d’une unité que celui de c à d. Les deux rapports

^ et ^ ont donc été l’un et l’autre diminués d’une unité, et par

conséquent leur égalité n’est pas altérée.

Remarque I. La proportion précédente suppose évidemment que a etc soient plus grands que b et d. Si cela n’avait pas lieu, en mettant les moyens b la place des extrêmes on obtiendrait une nouvelle proportion b:a :: d:c, à laquelle le théorème serait applicable.

THÉORIE DES RAPPORTS ET PROPORTIONS

210. Remarque H. Les théorèmes lit et IV peuvent s’appliquer à chacune des huit proportions qui résultent (214) d’une proportion donnée par transposition de termes, et il en résulte plusieurs théorèmes, parmi lesquels nous indiquerons les suivants :

Si au lieu de a: b :: c : d on écrit la proportion équivalente a \c :: b:d

et qu’on lui applique les théorèmes III et IV, on aura

en changeant les moyens de place, ces deux dernières proportions deviennent

c’est-à-dire que dans une proportion quelconque, la somme ou la différence des antécédents est à la somme ou la différence des conséquents comme un antécédent est iison conséquent. La seconde de ces proportions suppose évidemment que a soit plus grand que c, et, par suite, b plus grand que d; si cela n’avait pas lieu, au lieu de la proportion a: b ::c:d, on aurait écrit

et la môme démonstration aurait donné b — d'.a — c\’.d\c.

220. Remarque III. La comparaison des résultats précédents conduit encore à quelques théorèmes utiles.

Si nous reprenons une proportion quelconque

nous avons prouvé qu’on en déduit les suivantes :

lesquelles peuvent s’écrire en changeant les moyens de place

THÉORIE DES RAPPORTS ET PROPORTIONS

donc, à cause du rapport commun,

- a -f- b : c-\-d :: a — 6 : c — d ou, en changeant les moyens de place,

c’est-à-dire que, dans une proportion quelconque, la somme des deux premiers termes est à leur différence comme la somme des deux derniers est à leur différence.

221. Théorème V. En multipliant termes à termes un nombre quelconque de proportions , on formera une nouvelle proportion.

Soient les proportions

«i : bt : : c x : d,

«j : bi : : c. : d t a$l ba II C 3 Î d^

Elles peuvent s’écrire de la manière suivante :

b j dt

<h Ça

ba d\

Le produit des trois premiers membres est égal à celui des trois seconds membres.

On en conclut

ÆiXÆiX «3 Ci X Ci X Cj b t X b, X b, ~ dt X d, x d,

Ce qui équivaut à la proportion

a x X «j X tfa : bi X h X b , :: Ci X Ci X c 3 : di X d t X d 3 .

Remarque. On peut supposer que les proportions considérées soient identiques les unes aux autres. Le théorème devient alors le suivant : En élevant à une même puissance tous les termes d’une proportion, on forme une nouvelle proportion.