Théorème VL Dans une suite de rapports égaux, la somme

THÉORIE DES RAPPORTS ET PROPORTIONS

des antécédents est à ta somme des conséquents comme un antécédent est à son conséquent.

Considérons une suite de rapports égaux :

« : b :: c : d :: e: fv.gih; de l égalité des deux premiers rapports,

on conclut (219)

En substituant au rapport c:d, le rapport égal e:f, on obtient

a -f- c : b d : : e : f, d’où l’on conclut (219)

En substituant au rapport e:f , le rapport égal g: h, on obtient

a + c + e:b-\-d+f:: g: h, d’où l’on conclut (219)

C'est précisément ce qu’il fallait démontrer.

RËSUUÉ.

200. Rapport de deux grandeurs. — 207. Tout rapport commensurable est égal à une fraction à termes entiers. — 208. Rapports inversas; le produit de deux fractions inverses est l’unité. — 209. Si deux grandeurs sont représentées par des nombres, leur rapport est égal au quotient de la division de ces nombres. — 210. Définition des proportions.

— 211. Notations et locutions relatives aux proportions. — 212. Si deux proportions ont un rapport commun , les deux autres rapports forment une proportion. — 215. Pour que quatre nombres soient en proportion, il faut et il suffit que le produit des extrêmes égale celui des moyens.

— 214. Différentes manières d'écrire une proportion. — 218. Connaissant trois termes d’une proportion, trouver le quatrième. — 216. On peut, dans une proportion, multiplier ou diviser un extrême et un moyen par un même nombre sans que la proportion cesse d’avoir lieu. — 217. Dans

THÉORIE DES RAPPORTS ET PROPORTIONS

une proportion , la somme des deux premiers termes est au second , comme la somme des deux derniers est au quatrième. — 218. La différence des deux premiers termes est au second comme la différence des deux derniers est au quatrième. — 219. En appliquant ce théorème aux proportions que l’on déduit de la proposée par des transpositions de termes, on prouve que dans une proportion la somme ou la différence des antécédents est à la somme ou la différence des conséquents comme un antécédent est à son conséquent. — 220. La somme des deux premiers termes est à leur différence, comme la somme des deux derniers est à leur différence. — 221. En multipliant, terme à terme, un nombre quelconque de proportions on forme une nouvelle proportion; on peut supposer que les proportions soient identiques, le théorème précédent prouve alors que si des nombres sont en proportion, leurs puissances sont aussi en proportion. — 222. Dans une suite de rapports égaux, la somme des antécédents est à la somme des conséquents comme un antécédent est à son conséquent.

EXERCICES

I. La proportion a-\- b: a — b :: c d : c — d entraîne a : b :: c : d.

II. Le plus grand des quatre termes d’une proportion , ajouté au plus petit, donne une somme plus grande que les deux autres termes.

III. Existe-t-il une proportion telle qu’en ajoutant un même nombre à ses quatre termes on forme une proportion nouvelle ?