CHAPITRE XII

Des grandeurs proportionnelles.

223. On (lit que deux grandeurs sont proportionnelles l’une à l’autre, lorsque deux valeurs quelconques de la première ont le môme rapport que les valeurs correspondantes de la seconde. La géométrie, la mécanique, la physique, font connaître des grandeurs proportionnelles les unes aux autres. En arithmétique, on n’a, dans aucun cas, pour objet, de démontrer cette proportionnalité : on l’admet comme un fait qui sert à la solution des questions relatives à ces grandeurs.

Exempi.es. Le salaire d’un ouvrier, est, en général, proportionnel au temps pendant lequel on l’emploie. La quantité de vivres nécessaire à l’approvisionnement d’un vaisseau est proportionnelle à la durée du voyage que l’on veut entreprendre.

224. Remarque. Il est rare qu’une grandeur dépende exclusivement d’une autre ; le plus souvent, une foule de circonstances diverses influent sur sa valeur. On dit alors que deux grandeurs sont proportionnelles, lorsque l’une d’elles venant à changer, et toutes les autres circonstances restant les mêmes, deux valeurs quelconques de la première sont proportionnelles aux valeurs correspondantes de la seconde.

Exemple. Si l’on dit : le poids d’une barre de fer est proportionnel à sa longueur ; les autres éléments qui concourent à déterminer le poids (la largeur et l'épaisseur) sont supposés ne pas varier.

223. Une grandeur peut être, à la fois , proportionnelle à plusieurs autres.

Il suffit pour cela que l’une quelconque de ces grandeurs venant à varier, les autres restant constantes, la grandeur considérée soit proportionnelle à celle qui varie.

Exemple, Le prix d’une pièce d’étoffe est proportionnel à sa longueur, à sa largeur et au prix du mètre carré d’étoffe.

Des grandeurs inversement proportionnelles.

22G. On dit que deux grandeurs sont inversement proportionnelles l’une à l’autre, lorsque deux valeurs quelconques de l’une ont un rapport inverse de celui des valeurs correspondantes de l’autre.

Exemple. Un vaisseau ayant une quantité déterminée de vivres, la durée du voyage qu’il peut entreprendre est inversement proportionnelle nu nombre d’hommes qui composent son équipage; c’est-à-dire que si ce nombre d’hommes devient double ou triple, la durée du voyage devra être réduite à la moitié ou au tiers; si le nombre d’hommes devient les ? de ce qu’il était, la durée du voyage deviendra les |.

227. Une grandeur peut être à la fois proportionnelle à certaines grandeurs et inversement proportionnelle à d'autres.

Exemple La longueur d’une pièce d’étoffe est proportionnelle au prix qu'elle coûte, inversement proportionnelle au prix du mètre carré d’étoffe et à la largeur de la pièce.

C’est-à-dire que : -

La largeur restant la même ainsi que la qualité de l’étoffe, sa longueur est proportionnelle au prix qu’elle coûte.

La largeur restant la même ainsi que le prix de la pièce, la longueur est inversement proportionnelle au prix du mètre carré.

La qualité de la pièce restant la même ainsi que le prix total, sa longueur est inversement proportionnelle à sa largeur.

Remarque. Dans les exemples précédents la proportionnalité des grandeurs est à peu près évidente. Pour quelques-uns d’entre eux, cependant, il y aurait lieu à faire une démonstration ; mais il s’agit seulement ici de définir le sens des mots proportionnel et inversement proportionnel, et non de démontrer qu’ils conviennent dans tel ou tel cas.

Règle pour reconnaître si deux grandeurs sont proportionnelles.

228. La démonstration de la proportionnalité de deux grandeurs n’est pas, comme nous l’avons dit, du ressort de l'arithmétique, elle appartient, dans chaque cas, à la SGience qui traite particulièrement des’ grandeurs dont il est question. Certaines

grandeurs cependant ne se rapportent spécialement à aucune science ; telles sont la plupart de celles que nous avons choisies pour exemples dans les pages précédentes. Nous indiquerons deux principes au moyen desquels on pourra .souvent établir leur proportionnalité.

1“ Si deux grandeurs sont proportionnelles Vune à l’autre, toutes les fois que l'une d'elles devient un nombre entier de Jois plus grande ou plus petite , elles le sont dans tous les cas.

Représentons ces deux grandeurs par les lettres A et B. Si A devient un nombre entier de fois plus grand ou plus petit, B deviendra, par hypothèse, le même nombre de fois plus grand ou plus petit. Il faut prouver que, cela étant, quelles que soient les valeurs attribuées à A, les valeurs correspondantes de B leur seront proportionnelles.

Supposons, par exemple, que la grandeur A soit multipliée 5 5

par - et devienne ^ A. Nous pouvons concevoir que le chan-

gement se fasse en deux fois, et que la grandeur A devienne d’abord sept fois plus petite, puis cinq fois plus grande. Mais alors, par hypothèse, la grandeur B deviendra successive-

ment et 5 * ^ j a valeur qui correspond à ^ A est donc ~ B,

or on a évidemment :

il y a donc proportion entre deux valeurs de A et les valeurs correspondantes de B.

2° Si deux grandeurs sont inversement proportionnelles l’une à l'autre toutes les fois que l’une d’elles devient un nombre entier de fois plus grande ou plus petite, elles le sont dans tf/us les cas.

Représentons ces deux grandeurs par les lettres A et B. Si A devient un nombre entier de fois plus grand ou plus petit, B deviendra, par hypothèse, le même nombre de fois plus petit ou plus grand. Il faut prouver que, cela étant, quelles que soient les valeurs attribuées à A les valeurs de B seront inversement proportionnelles. Supposons, en effet, que A soit multiplié par une fraction f. On peut concevoir que le changement se fasse en

deux fois : que A devienne d’abord ^ puis mais alors, par

hypothèse, -la grandeur B deviendra 7B, puis or, on a évidemment,

les deux valeurs de A sont donc inversement proportionnelles à celles de B.

D’après ces deux principes pour établir la proportionnalité de deux grandeurs, il suffit d’examiner le cas où l’une d’elles est multipliée ou divisée par un nombre entier.

Exemple I. Si l’on admet que pour faire un voyage, deux trois. .. dix fois plus long, ou deux, trois... dix fois moins long, il faut deux, trois... dix fois plus, ou deux, trois... dix fois moins de vivres, on en conclura que la quantité de vivres nécessaire, est, dans tous les cas, proportionnelle à la durée du voyage.

Exemple II. Il est évident que si le mètre carré d'une étoffe est deux, trois... dix fois plus cher, ou deux, trois... dix fois moiqs cher, la longueur que l’on peut en acheter avec une somme donnée d’argent, est deux, trois. . . dix fois moindre, ou deux, trois... dix fois plus grande. On en conclut que le prix du mètre carré d’une étoffe est, dans tous les cas, inversement proportionnel à la longueur que l’on peut acheter avec une somme donnée d’argent.

flègle de trois simple.

229. Une règle de trois simple est une question dans laquelle, la valeur d’une grandeur étant connue, ainsi que celle d’une autre grandeur à laquelle la première est directement ou inversement proportionnelle, on calcule ce que la première devient, pour une nouvelle valeur attribuée à la seconde.

Si les deux grandeurs sont directement proportionnelles, la règle est directe ; dans le cas contraire, elle est inverse.

Exemple I. Une usine produit, annuellement, 1500 quintaux de cuivre; sa consommation en charbon est de 4892 quintaux. Si la production annuelle s’ élevait à 2755 quintaux , que deviendrait la consommation du charbon ?

La consommation du charbon est directement proportion-

nelle à la quantité du cuivre produit ; il s'agit donc ici d’une règle de trois directe Si nous représentons par la lettre x la consommation cherchée, nous aurons la proportion

d’où l'on tire