UU

Exemple II. 25 ouvriers ont travaillé 15 jours pour faire un certain ouvrage, combien 17 ouvriers mettront-ils de temps à faire le même ouvrage ?

Le temps nécessaire est inversement proportionnel au nombre d’ouvriers ; si donc on nomme x le nombre de jours cherché, on aura

d'où l’on tire

Remarque. Dans les deux exemples précédents, nous*avons admis la proportionnalité directe ou inverse des grandeurs considérées. C’est là une supposition qui doit être considérée comme faisant partie de l’énoncé ; dans l’immense- majorité des cas analogues celte supposition n’est pas tout à fait exacte. Si cent ouvriers, réunis dans une usine, produisent un certain ouvrage , chacun d’eux , privé du secours des autres , n’en produirait pas la centième partie, souvent môme il serait incapable de travailler utilement.

Règle de trois composée.

250. Une règle de trois composée est une question dans laquelle la valeur d’une quantité étant connue , ainsi que celle de plusieurs autres dont elle dépend , et à chacune desquelles elle est directement ou inversement proportionnelle, on calcule ce que cette quantité devient lorsque toutes les autres prennent de nouvelles valeurs.

Exemple. 25 ouvriers travaillant ll h par jour pendant 18 jours, ont élevé un mur dont les dimensions sont : hauteur 3™, longueur 125", épaisseur 0 m ,50. Combien faudrait-il de jours, à 33 ouvriers travaillant 10 1 ' par jour, pour élever un mur ayant les dimensions suivantes : hauteur 4", longueur 210"’, épaisseur 0 m ,75.

166 APPLICATIONS DK LA THÉORIE DSS RAPPORTS.

On suppose ici que le temps nécessaire soit proportionnel à chacune des dimensions du mur et inversement proportionnel au nombre des ouvriers, et à la durée du travail journalier.

On a l’habitude de disposer les données d’une règle de trois, sur deux lignes horizontales, de telle manière que les deux valeurs de chaque espèce de grandeur soient l'une au-dessus de l’autre; ainsi, en désignant dans la question actuelle para? le nombre de jours cherché, on écrira les deux lignes suivantes :

Ouvriers.

Heure».

Jours.

Hauteur.

Longueur.

Épaisseur.

Nous supposerons que, prenant pour point de départ les diverses hypothèses consignées dans la première ligne, on change successivement les nombres 25, 11, 3, 125 et 0,50, dans les nombres correspondants de la seconde ligne ; et nous chercherons quelles valeurs prend le nombre de jours par suite de chacun de ces changements.

On supposera d’abord que le nombre des ouvriers varie seul, et de 25 devienne 33 , et ou cherchera ce que doit devenir le nombre des jours de travail. On supposera ensuite que les ouvriers travaillent 10 h par jour au lieu de 11 et on cherchera le nombre de journées nécessaires, après ce nouveau change^' ment ; on considérera enfin , successivement , l'influence de chacun des changements apportés aux dimensions du mur, de telle sorte qu’il y aura, en réalité, cinq règles de trois simples à résoudre; la dernière fournira le résultat demandé.

On indique ordinairement ces diverses questions de la manière suivante :

Ouvriers.

Heures.

leurs.

Hauteur.

Longueur.

Épaisseur.

dans ces lignes horizontales sont inscrites les valeurs que l’on

suppose successivement aux divers éléments dont dépend le nombre de jours, et les lettres par lesquelles on désigne les valeurs correspondantes de ce nombre de jours. Il faut, partant de la valeur 18 qui est inscrite dans la première ligne, calculer x,, puis Xt, x t , x it et enfin x qui est la véritable inconnue delà question. Or, on a évidemment les proportions suivantes

xi'.xti: 10: il

x^. Xi\: 125: 210 Xi-.x :: o,50: 0,75

Pour déduire de ces proportions la valeur de x, le plus simple est de les multiplier terme à terme et de supprimer dans le premier rapport les facteurs x t , x t , x,, x K , qui se trouvent communs aux deux termes, on aura ainsi :

18 : x :: 33 x 10 X 3 X 125 x 0,50 : 25 x H X 4 x 210 X0.75 d’où l’on tire :

Type général des règles de trois composées.

231. Toute règle de trois composée est un cas particulier de la question suivante :

Une grandeur M dépend de plusieurs autres, A, B, C..., P.O.R.. . ; elle est proportionnelle à A , B , C. . . , et inversement proportionnelle à P, R.... On sait que M a une valeur connue m lorsque A, B, C..., P, 0, R..., sont respectivement égaux à a, b, c.. ., p, q, r...; et l'on demande ce qu'il deviendra lorsque ces divers éléments prendront les valeurs ai, b t , c t ..., p lf q,, ri... Au lieu de changer à la fois tous les éléments dont dépend M, on peut les faire varier un à un ; on ramène ainsi le problème à autant dé questions partielles qu’il y a d’éléments a, b, c..., p, q, r. Chacune de ces questions est une règle de trois simple, car il s’agit toujours d’évaluer le changement qu’éprouve une grandeur par la variation d’un seul élément auquel elle est directement ou inversement proportionnelle.

On indique ordinairement ces diverses questions de la manière suivante :

Dans ces lignes horizontales sont inscrites les valeurs successives des grandeurs dont dépend la grandeur M, ainsi que les lettres par lesquelles on désigne les valeurs correspondantes de m. Or, m étant, par hypothèse, proportionnelle à a, b, c, et inversement proportionnelle à p, q , r, on a évidemment les proportions

m : Xi :: « : a, x y : X» : : b : b t x,:x s ::c : c, x 3 : Xi : : p, : p x * : : : < 7 » : <7

Pour déduire x de ces proportions, le plus simple est de les multiplier terme à terme et de supprimer les facteurs x u x ît x s , x^ x 3 , qui sont communs aux deux termes du premier rapport, on aura ainsi :

m : x :: a x b x C XPi X qi X n : a, X b 3 X Ci X p X g X r

d’où l’on tire *

__ m X fli X ti Xpi XpXqXr X ~ aXbXcXpiXqiXn on en déduit la règle suivante :

Connaissant la valeur m d'une grandeur ainsi que les valeurs a, b, c, p, q, r, de quantités auxquelles elle est directement ou inversement proportionnelle, pour calculer la valeur x de cette grandeur, correspondant aux valeurs a,, bi, Ci, pi, q!, r,, de celles dont elle dépend, il faut multiplier m par les valeurs primitives p, q, r, des quantités auxquelles il est inversement proportionnel

et par les valeurs nouvelles a t| bi, Ci, de celles auxquelles il est directement proportionnel, et diviser ce produit par les valeurs nouvelles pi, q h r ( , des quantités auxquelles la grandeur cherchée est inversement proportionnelle , et par les valeurs primitives de celles auxquelles elle est directement proportionnelle.

Méthode de réduction h l’unité.

232. Quelques personnes trouvent un avantage de simplicité à présenter la théorie des règles de trois d’une manière un peu différente. 11 nous suffira d’indiquer sur un exemple celle méthode dite de réduction à l’unité.

Reprenons la question traitée plus haut (250) :

25 ouvriers travaillant ll h par jour pendant 18 jours ont élevé un mur dont les dimensions sont : hauteur 3 m , longueur 125 m , épaisseur 0 m ,50. Combien faudrait-il de jours à 33 ouvriers travaillant 10 h par jour pour élever un mur ayant les dimensions suivantes : hauteur 4"’, longueur 210 m , épaisseur 0 ra ,75.

Écrivons, comme plus haut, les données sur deux lignes parallèles :

Ouvriers.

Heures.

Jiurs.

Hauteur.

Longueur.

Épaisseur.

La méthode de réduction à l’unité consiste à calculer d’abord ce que deviendrait le nombre de jours, si toutes les données de la question devenaient l’unité , c’est-à-dire s’il y avait un ouvrier travaillant une heure par jour , pour construira un mur ayant l m de hauteur, l m de largeur et l ra d’épaisseur. Ce premier calcul étant fait, on en déduit facilement le temps qui correspond aux données assignées.

Si, au lieu de 25 ouvriers, nous en supposons un seul, le nombre de jours nécessaire deviendra évidemment 25 fois plus grand, c’est-à-dire 18 X 25.

Si, au lieu de ll h de travail, nous supposons une heure, le nombre de jours deviendra évidemment 11 fois plus grand, c’est-à-dire 18 x 25 x 1 1 .

Si la hauteur, au lieu d’èlre 3'” devient f m , le nombre de jours de travail nécessaire deviendra évidemment 3 fois moindre,

c’est-à-dire

Si la longueur, au lieu d’èlre 125“ devient 1“, le nombre de journées de travail deviendra évidemment 125 fois moindre,

c’est-à-dire

Enfin, si l'épaisseur, au lieu d’étre 0,50 devient l m , le nombre de jours sera évidemment multiplié par rapport de l" à

1 ifl y V 1 1

O-, 50, c’est-à-dire par — , il deviendra donc 3 xÏ25 x 0 5Ô - 1 8 X 25 X 1 1

Ainsi donc : . - ' - est le nombre de jours néces-

U X * X Ujt)U

saire à un ouvrier travaillant une heure par jour pour faire un mur ayant 1” de haut, l m de long, l” de large.

Si nous supposons 33 ouvriers, le nombre de jours sera 33 fois moindre, c'est-à-dire

Si ces ouvriers travaillent 10 h par jour au lieu d'une seule, le nombre de journées sera 10 fois moindre, c'est-à-dire

Enfin, si les dimensions du mur, au lieu d’èlre 1, 1, 1, deviennent 4, 210 et 0,75, on verra de même que le nombre des journées de travail devra se multiplier par ces trois nombres, et devenir enfin

ce qui est précisément le résultat trouvé (230).

RÉSUMÉ

223. Définition des grandeurs proportionnelles. — 224. Une grandeur peut être proportionnelle à une autre sans dépendre d’elle eiclusive-

ment 228. Une grandeur peut être à la fois proportionnelle à plu-

sieurs autres. — 226. Des grandeurs inversement proportionnelles. — • 227. Une grandeur peut ôtre proportionnelle à certaines grandeurs et inversement proportionnelle à d’autres. 1 — 228. Pour affirmer que deux grandeurs sont proportionnelles , il suffit de démontrer qu’elles varient proportionnellement lorsque l’uns d’elles devient un certain nombre de fois plus grande ou plus petite. La même remarque s’applique aux grandeurs inversement proportionnelles. — 229. Réglé de trois simple directe ou inverse. — 250. Règle de trois composée. — 251. Type général des règles de trois composées. — 252. Méthode de réduction à l’unité.

EXERCICES

I. Une grandeur proportionnelle à plusieurs autres est proportionnelle à leur produit.

II. Si une quantité est directement proportionnelle à deux autres, la première restant fixe, les deux autres seront inversement proportionnelles l’une à l’autre.

III. Si une quantité est directement proportionnelle à une autre et en raison inverse d’une troisième , la première restant fixe, les deux dernières seront directement proportionnelles l’une à l’autre.

IV. La profondeur du puits de Grenelle est 505 ra , et la température du fond du puits 27°, 33. La température des caves de l’Observatoire, situées à 28" au-dessous du sol, étant 11°, 7, calculer la température d’une couche située à une profondeur de 217™. On admettra que l’accroissement de température soit proportionnel à la quantité dont on s’enfonce.

V. La source de Chaudes-Aigues (Cantal) donne de l’eau à 88°; calculer d'après les données du problème précédent, et en supposant qu’on puisse assimiler le sol de l’Auvergne à celui de Paris, de quelle profondeur provient l’eau de cette source.

VI. Une manufacture a produit, en 1849, 26700 quintaux de porcelaine; la production, en 1850, s’est élevée à 32400. La consommation étant , en 1849, de 37000 quintaux de charbon et 2950 quintaux de kaolin, et, en 1850, de 48000 quintaux de

charbon et 4500 de kaolin, la consommation est-elle propor- » tionnellc à la production ?

VIL Les données étant les mêmes que dans la question précédente, on a payé, en 1849, 80752 journées d’ouvrier, et, en 1850, 98785. La dépense, en main-d’œuvre, est-elle proportionnelle à la production ?