UU

.37845 fr. en un an rapporteraient, par suite, 3/8 ^ >< -;

37845 sc 4 'xr-14

37845 fr. en fjj d’année rapporteraient donc - — —

L’intérêt cherché est donc :

37845X4 xf£ 37845 100 ~ 20

236. Problème III. Calculer pendant combien de temps vn capital doit être placé à un taux donné pour rapporter un intérêt donné.

Le temps cherché est inversement proportionnel au capital opiacé, et directement proportionnel à l’intérêt que l’on veut obtenir. 11 est évident, en effet, que le capital devenant deux, trois.... fois plus grand, ou deux, trois.... fois plus petit, le temps nécessaire h la production d’un même intérêt deviendra deux, trois.... fois moindre, ou deux, trois.... fois plus grand , et qu’au contraire, si l’intérêt que l'on veut obtenir devient deux, trois.... fois plus grand, ou deux, trois.... fois plus petit, le capital restant le même, la durée du placement devra être deux , trois.... fois plus grande ou plus petite. On sait d’ailleurs qu’il faut une année à un capital de 100 fr. pour rapporter un intérêt connu , la question rentre donc dans la catégorie des règles de trois composées.

Exemple. Après combien de temps 22840 fr. placés à 4 pour 100

par an, auront-ils produit 1000 fr. d’intérêt? On peut écrire la question de la manière suivante :

En 1*" 100' rapportent 4'

En x 22840 1000

et l'on trouve en appliquant la règle générale (251)

*= 22840X4 ' = 1 30 1 m01S 4 J0UrS '

237. Problème IV. Un capital connu, ayant produit un intérêt connu pendant un temps donné, calculer le taux de l’intérêt.

Le taux de l’intérêt est l’intérêt de 100 fr. pendant un an , et comme l'intérêt d’une somme est proportionnel 5 la valeur de cette somme et à la durée du placement , ce problème rentre , comme les précédents , dans la catégorie des règles de trois composées. • • »

Exemple. 25000 fr., placés pendant trois mois, ont produit 400 fr. d'intérêt; à quel taux?

On peut écrire cette question à la manière des règles de trois.

et l'on trouve en remarquant que l’inconnue x est directement proportionnelle aux deux quantités dont elle dépend , et, appliquant la règle générale donnée (231).

* 25000 X-ft- 25C00X3 ~ 75000 ~ ’ U '

Règle d'escompte.

238. Quand on veut hâter l’époque d’un payement, on subit une retenue qui porte le nom d’escompte. On distingue l'escompte en dehors et l’escompte en dedans.

Escompte en dehors.

L!escompte en dehors est l’intérêt que produirait la somme à payer pendant le temps qui doit s’écouler jusqu’à l’époque

de son échéance. La régie d’escompte en dehors ne diffère donc pas d’une règle d’intérêt simple.

Exemple. Une somme de 1500 fr. est payable dans cinq mois; le taux de l’intérêt étant 5 pour 100 quel sera*l’escompte en dehors ?

L’escompte en dehors est , par définition , l’intérêl de 1500 fr. pendant cinq mois, c'est-à-dire (234).

ÏÔÔ ~ '

. Remarque. Dans l'exemple précédent, la somme payée cinq mois d'avance ne sera que 1500 f — 31 r ,25, c’est-à-dire 1468 f ,75 ; on relient cependant l'intérêt de 1500 fr. ; la convention qui sert de base à la règle d’escompte en dehors, n’est donc pas entièrement rationnelle.

Escompte en dedans.

239. L’escompte en dedans se calcule de telle sorte, que la somme payée , si on la plaçait jusqu’à l’époque de l’échéance du billet, produisit un intérêt égal à la retenue qui a été faite.

Supposons qu’une somme de 700 fr. soit payable dans 7 mois, calculons l cscomple en dedans qu’elle doit subir : en supposant le taux de l’intérêt à 5 pour 100.

Cherchons d’abord l’intérêt d’une somme de 100 fr. placée pendant 7 mois ou ^ d’année, en le désignant par x, on aura :

d’où l'on tire :

En sorte que , une somme de 100 fr. payée aujourd’hui, vaudra dans 7 mois, I02 f fj; réciproquement, une somme de 102 r f£, pavable dans 7 mois, serait acquittée par un payement immédiat de 100 fr.

Son escompte serait donc 2 ( fj.

La question peut donc être énoncée de la manière suivante :

Une somme de 102 f payable dans 7 mois, subit un escompte de 2 f {$.

Uucl sera l’escompte d’une somme de 700 fr. payable dans le môme temps?

Or, l'escompte d’une somme est évidemment proportionnel, toutes choses égales d’ailleurs, à la valeur de celte somme, on aura donc :

d’où

En général, quel que soit le taux de l’intérôt, on calculera l’intérêt de 100 fr. pendant le temps qui doit s’écouler jusqu’à l'échéance de la somme considérée, cet intérêt est évidemment l’escompte qu’il faudrait faire sur une somme égale à 100 fr. augmentés de cet intérêt; et l’on peut, à l’aide de celle remarque, calculer l’escompte d’une somme quelconque par une’ simple proportion.

240. Remarqué. L’escompte en dedans d’une somme est proportionnel à cette somme; mais ne l’est, ni au taux de l'intérêt, ni au temps qui doit s’écouler jusqu’à son échéance.

^ Intérêts composés.

241. Une somme est placée à intérêts composés, lorsque, au lieu d’en toucher l’intérêt à la fin de chaque année , on l’ajoute au capital, pour qu’il produise lui-même intérêt pendant l’année suivante.

242. Problème I. Calculer ce que devient une somme placée à . intérêts composés pendant un nombre donné d’annces.

Désignons cette somme par la lettre A, par r le taux de l’intérêt, c’est-à-dire l’intérêt de 100 fr. pour un an , et enfin par n le nombre d’années du placement.

Cherchons d’abord ce que devient cette somme après avoir été placée pendant un an ; l’intérêt de 100 fr. étant r, celui do A francs sera donné par la proportion :

d’où l'on déduit :

rXA

ICO ’

et par conséquent, la somme A deviendra après une année, par l’addition de son intérêt :

A +w= A (‘+raî)'

Ainsi pour calculer ce que devient une somme après avoir été placée un an , il faut la multiplier par ^1 -f-

La somme A ^1-f ^5) peut être considérée comme placée

au commencement de la seconde année : elle deviendra donc', à la fin de cette année,

A ( 1+ îïlô) ( 1+ î^) =A ( 1 + ïï>ô)'

C’est là le capital placé pendant la troisième année ; il deviendra donc, à la fin de celle troisième année :

A (* + ïSô) x (*' + ïïîô) — A 0 + lüô) ’

En continuant à raisonner de la même manière , on verra que chaque année le capital se multiplie par le facteur constant

(l -|- et que par conséquent, après n années, il sera multiplié par (t + » cn sor te que te capital A, après un pla-

cement île n années, sera devenu :

Remarque. Si la durée du placement n’était pas un nombre entier d’années, on calculerait, par la formule précédente, ce que devient la somme pendant le plus grand nombre d’années renfermé dans la durée du placement , et on ajouterait à celte somme, l'intérêt qu'elle produit pendant la fraction d’année restante.

245. Problème IL Quelle somme faut-il placer à intérêts composés, pour produire après n années un capital donné?

Soit B le capital que l’on veut produire, et X la somme inconnue qu’il faut placer, r désignant comme dans la question précédente le taux de l’intérêt, on aura évidemment :

et , par conséquent , X est le quotient de la division de B par

Remarque. Le problème précédent peut s’énoncer ainsi : Quelle est la valeur actuelle d’un capital B payable dans n années ?

Renies perpétuelles.

244. Une rente perpétuelle est une somme d’argent que l’on doit toucher indéfiniment à la fin de chaque année. En supposant le taux de l’intérêt stationnaire et égal , par exemple , à 5 pour 100, un capital de 100 francs vaut une rente perpétuelle de 5 francs, réciproquement une rente perpétuelle de 5 francs vaut 100 francs.

243. Problème I. Calculer la valeur d'une rente perpétuelle donnée, le taux de l'intérêt étant connu.

Soient a la somme que l’on doit toucher à la fin de chaque année , et r le taux de l’intérêt. La question revient à chercher le capital qui produit annuellement a francs d’intérêt, c’est-àdire une rente perpétuelle de a francs. Ce capital X est déterminé par la proportion