X: îoo:: a:r

d’où l’on tire

x 100Xa

telle est donc la valeur d’une rente perpétuelle de a fumes.

Remarque. 100 fr. équivalent à une rente de r‘, dont Je prochain payement est encore éloigné d’une année; la valeur précédente de X est donc aussi relative au cas où le premier payement de la rente perpétuelle ne doit avoir lieu que dans une année.

24C. Problème II. Trouver la valeur actuelle d’une rente de a francs par an, dont le premier payement ne doit avoir lieu que dans n années.

Après « — 1 années, le premier payement devra se faire dans une année; les autres lui succéderont régulièrement, La rente perpétuelle vaudra donc alors (SÈ4ÎS),

aX 100 r

On peut, par conséquent, assimiler celte rente à une somme a x. 00 p a y a kj c j ans n — j années, dont la valeur actuelle est (245)

Annuités.

Une annuité est une rente payable pendant un nombre limité d’années.

247. Problème I. Calculer la valeur actuelle d’une annuité de a francs, payable pendant n années, le premier payement devant avoir lieu dans un an.

On suppose le taux de l’intérêt à r pour 100.

Une annuité payable pendant n années, peut être considérée comme la différence de deux rentes perpétuelles, le premier payement de la première devant avoir lieu dans un an, et celui de la seconde dans n -j- 1 années. La valeur actuelle de la première de ces rentes est (245) a c t celle de la seconde (24C)

^ x —, — r-r, la différence de ces deux valeurs, ou

«X 100 aXIOO 1 aXlOO/ t 1 }

r r w. r I ksï

est donc la valeur actuelle de l'annuité.

248: Problème II. Quelle somme faut-il payer annuellement pendant n années pour acquitter une dette A, le premier payement se faisant au bout d’une année, et le taux de l' intérêt étant r pour 100?

Si a désigne l'annuité à payer, la dette qu’elle peut acquitter est (247) : -

on doit donc avoir

et, par conséquent.

Partages proportionnels.

249. Partager une grandeur en parties proportionnelles à des grandeurs données, a, b, c, d, c’est la partager en un nombre de parties, égal à celui de ces grandeurs, et qui aient, deux à deux, le même rapport que les grandeurs correspondantes. En arithmétique, la grandeur à partager est représentée par un nombre, ainsi que celles auxquelles ses parties doivent être proportionnelles.

Il résulte de celle définition que les nombres, pour être

dits proportionnels à d'autres, doivent satisfaire à un grand nombre de proportions. Par exemple, pour que x, y, s, u, soient proportionnels à o, b, c, d, il faut que les proportions suivantes aient lieu :

x : y : : a : b •T . s • • o • c x:u::a:d y'.z'.'.b’.c y : v : : b : d z'.u'.ic ’.d.

Mais en changeant les moyens de place, ces six proportions deviennent :

et toutes les six expriment l’égalité des quatre rapports x : a, y: b, z:c, u : d. En général, pour exprimer que plusieurs nombres, x, y, z. . ., sont proportionnels à d’autres nombres a, b K c. , il suffit d’écrire que les nombres correspondants, dans les deux séries, forment une suite de rapports égaux :

x:a:: y : b :: z :c :: etc.

2o0. Problème. Partager un nombre A en parties proportionnelles à des nombres donnés a, b, c...

Nommons x, y, z... les parties inconnues du nombre A ; d’après les explications précédentes, il faut et il suffit que l’on ait

De cette suite de rapports égaux, on conclut (222)

remarquant que x-\-y-\-z... est connu et égal à A, celte proportion devient :

Aia-fè+r... :: x : a y : b :: z :c,

d'où l’on dédnit :