Supposons maintenant que les droits des associés dilîù

renl, à la fois, à cause de la valeur de leurs mises el du temps pendant lequel elles sont restées dans l’entreprise. Nous admettrons que, pour des placements de môme durée, les bénéfices sont proportionnels aux mises, et que, pour des mises égales, ils sont proportionnels à la durée du placement. De celle double supposition, on déduira le théorème suivant.

Théorème. Si plusieurs associés ont placé dans une entreprise des mises ai, a,, a,, ai pendant les temps t,, t„ t s , U, leurs parts dans les bénéfices seront proportionnelles aux produits a ( X h, 8iXlii a s xt 5 , a»Xt».

Considérons par exemple les deux premiers associés dont les mises a,, a , ont été placées dans l’entreprise pendant les temps t,, t,. Comparons, successivement, leurs parts x et y, à celle s, d’un associé fictif qui aurait placé la même mise a, que le premier, pendant le même temps l, que le second. On aura, d’après notre convention :

en multipliant ces deux proposions terme à terme, on obtient: x: y:: a,Xt, : a+xtt

ce qu’il fallait démontrer.

Remarque. Le raisonnement précédent pourrait donner lieu à une objection. L’introduction d’un associé fictif altère la valeur des parts x et y , et ce sont les parts ainsi altérées que nous avons comparées. Mais on doit remarquer que la présence d’un nouvel associé, tout en changeant les deux parts, ne change pas leur rapport, et ce rapport était tout ce que nous voulions trouver.

Le théorème précédent réduit une règle quelconque de société à un problème de partages proportionnels.

Exemple. Trois associés ont fait un bénéfice de 12352 fr. : le premier avait placé dans l’entreprise 10000 fr. pendant 3 ans , le second 15C00 fr. pendant 4 ans, el le troisième 8000 fr. pendant 2 ans; quelle doit être la part de chacun ?

Les parts doivent être proportionnelles à 10000x3, 15000x4 et 8000 X 2, c’est-à-dire à 30000, 60000 et 16000, ou, ce qui rc-

\ient au même, à 30, 00 et 16; on aura donc (248), en désignant les parts par x, y, z ,

Problèmes üe mélanges.

2155. Problème I. On a mêlé 80 litres de vin à 0 r ,75 le litre avec 25 litres de vin à 0 f ,60. Quel est le prix d'un litre du mélange?

Le mélange contiendra 105 litres; il suffira donc, pour calculer le prix d’un litre, de diviser le prix total par 105. Or, ce prix total se compose de 80 fois 0,75 plus 25 fois 0,60, on a donc en nommant x le prix demandé :

284. Problème 11. Dans quelle proportion faut-il mélanger <lu vin à 0 f ,80 le litre avec du vin à 0 f ,50 pour obtenir 100 litres devin à O f ,62 ?

Sur chaque litre de vin à 0,50 vendu 0,62 on gagne 0,12.

Sur chaque litre à 0,80 vendu 0,62, on perd 0,18.

Il faut donc, pour qu’il n’y ait ni perte ni gain, qu’en nommant x et y, les quantités de vin de chaque espèce, on ait :

xX0,12=yX0,18.

ce qui équivaut à la propoition :

x:tj:: 0,18 ; 0, 12.

La question est donc ramenée à un problème de partages proportionnels. Elle se résoudra *par la méthode exposée (249).

Problèmes d’alliage.

23o. Le titre d’un alliage renfermant un métal précieux est le rapport du poids de ce métal au poids total de l’alliage. Par exemple un alliage d’argent est au titre de 900 millièmes, quand il renferme 900 millièmes de s.on poids en argent.

23C. Problème. Oh a deux lingots d'argent, le premier au titre de 0,950, le second au titre de 0,885, quelle quantité doit-on prendre de chacun d'eux pour avoir un kilogramme d'argent au titre de 0,900.

Chaque gramme, au titre de 0,885, apporte dans l’alliage 0,015 d’argent de moins qu’il ne faudrait pour que le titre fût 0,900; au contraire, chaque gramme à 0,950 y apporte 0,050 d’argent, en sus delà proportion demandée. Si donc on nomme « x et y les quantités respectives des deux lingots, il y aura compensation, si

#X0,0l5=yX0,0ü0,

c’est-à-dire si

x : y :: 0,050 :o,oi5.

Il suffit donc de partager un kilogramme en deux parties proportionnelles à 0,050 et 0,015, on a donc (249)

l'iiyn 050

Questions qui peuvent se résoudre à t’aide de deux hypothèses arbitraires et successives faites sur le résultat cherché.

237. Supposons qu’un problème ait pour but la détermination d’un nombre inconnu que j’appellerai x , et que la condition imposée à ce nombre soit de rendre égales entre elles deux quantités A et B, qui en dépendent, et que, pour le moment, je ne définis pas davantage. On assignera à x une valeur arbitraire, 10, par exemple; on calculera les valeurs correspon-

liantes de A et B, et leur différence D, sera l'erreur qui correspond à l’hypothèse x= 10.

En assignant à x une seconde valeur arbitraire 2 := 15, par exemple, A«t B prendront de nouvelles valeurs, et la différence A — B prendra elle- même une nouvelle valeur IL, qui sera l'erreur correspondante hx = 15.

Si maintenant la nature des quantités A et B est telle que la variation de la différence A — B soit proportionnelle à celle de x, on dira : lorsque la valeur de x a varié de 10 à 15, c’est-à-dire augmenté de 5, la différence A — B a varié elle-môme de Di à D s , en sorte qu’elle a diminué de Di — D, (en supposant D t plus grand que D*). Si donc. on veut que cette différence diminue de Dj et devienne zéro, il faudra que l’augmentation h à donner à x satisfasse à la proportion

A : 5 : : Di : D x — D,

d’où l’on déduira A, et la valeur cherchée de x sera 10-f-A.

Nous donnerons une application de cette méthode.

Un père, interrogé sur l’âge de son fils, répond : Mon âge est triple de celui de mon fils, et, il y a dix ans, il était le quintuple. Quel est l'Age du fils?

Supposons que le fds ait 10 ans. Le père a 30 ans. II y a dix ans, le fils avait 0 années, le père 20 ans. 20 surpasse de 20 le quintuple de zéro. L’erreur est donc 20. Supposons que le fils ait 15 ans. Le père a 45 ans. Il y a dix ans, le fils avait 5 ans, le père 35 ans . 35 surpasse de 1 0 le quintuple de 5 ; l’erreur est donc

Ainsi donc :

Pour x = 10 l’erreur est 20

Pour x — 15 l’erreur est 10.

L’erreur diminue donc de dix unités lorsque x augmente de 5 unités. Donc, pour qu’elle diminue de 20 unités et devienne nulle, il faut que x augmente de 10 unités, et devienne, par suite, égal à 20. En effet, si le fils a 20 ans et le père 60, leurs Ages étaient, il y a dix ans, 10 et 50, cl 50 est le quintuple de 10.

Au lieu des deux hypothèses choisies, on aurait pu en faire deux autres à volonté.

Soit x—li ] l’âge du père serait alors 36 ans. Il y a dix ans,

les âges étaient 2 et 26. 26 surpasse île 16 unités le quintuple de 2. L’erreur est donc 16.

Soit x— 17. L’âge du père serait alors 51 ans. 11 y a dix ans, les Ages étaient 7 et 41. 41 surpasse de 6 unités le quintuple de - 7 : l’erreur est donc 6. Lue augmentation de 5 unités dans la valeur de x a donc diminué l’erreur de 10 unités. Donc pour la diminuer de 16 unités et la rendre nulle, il faut augmenter x d’une quantité h déterminée par la proportion

h: 5:: 16: îo.

on en déduit

La valeur de x est donc 124-8011 20.

Remarque. Si l’on applique la méthode précédente, ce que je ne conseille dans aucun cas, il faut avoir soin de prouvera priori que les erreurs sont proportionnelles aux variations des valeurs attribuées à l'inconnue.

RÉSUMÉ

253. Ce qu’on entend par intérêt simple. — 254. Connaissant le taux, calculer l’intérêt d’un capital donné pendant un an. — 253. Intérêt d’un capital donné pendant un temps quelconque. — 258. Pendant combien de temps faut-il placer un capital pour qu’il rapporte un intérêt donné? — 257. Un capital connu ayant rapporté un intérêt connu pendant un temps connu, calculer le taux de l'intérêt. — 238. Ce qu’on entend par escompte. — Escompte en dehors. La convention qui' sert de base à l’escompte en dehors n’est pas entièrement rationnelle. — 250. Escompte en dedans. On no peut pas assimiler la règle d’escompte en dedans à une règle d’intérêt simple. — 240. L’escompte en dedans est proportionnel à la somme escomptée , mais ne l’est ni au taux de l’intérêt ni au temps qui doit s’écouler jusqu’à l’échéance. — 241. Ce qu’on entend par intérêts compo-és. — • 242. Calculer ce que devient une somme placée à intérêts composés pendant un nombre donné d’années. — 243. Quelle somme faut -il placer à intérêts composés pour produire après n années un capital donné? — 244. Ce qu’on entend par rente perpétuelle. — 248. Calculer la valeur d’une rente perpétuelle donnée, le taux de l’intérêt étant connu. La valeur trouvée est relative au cas où le prochain payement est éloigné d’une année. — 246. Valeur actuelle d’une rente dont le payement ne doit

commencer que dans un certain nombre d’années. — 247. Ce qu’on entend par annuité. Valeur d’une annuité de a francs payable pendant n années, le premier payement devant avoir lieu dans un an. — 248. Quelle somme faut-il payer annuellement pendant n années pour acquitter une dette A ? — 249. Ce qu’on entend par partage d’une grandeur en parties proportionnelles à des grandeurs données. Pour écrire que des nombres sont proportionnels à d’autres, il suffit d’écrire que les nombres correspondants dans les deux séries forment une suite de rapports égaux. — 280. Moyen de faire le partage d’un nombre en parties proportionnelles à des nombres donnés. — 281. Application aux règles de société. — 282. Si les droits des associés diffèrent à cause de la valeur de leurs mises et de la durée du placement, on admet que, pour des placements de nîême durée, les bénéfices sont proportionnels aux mises, et que, pour des mises égales, ils sont proportionnels à la durée du placement. Il résulte de cette double supposition , que la part est proportionnelle, pour chacun, au produit de la mise par la durée du placement. Ce théorème ramène une règle quelconque de société à une question de partages proportionnels. — 283. Connaissant le piix des substances mélangées, trouver celui d’une quantité donnée du mélange. — 284. Dans quelle proportion faut-il mélanger deux substances dont le prix est connu pour obtenir une quantité donnée de mélange à un prix connu? — 288. Ce qu’on entend par titre d’un alliage. — 286. Dan3 quelle proportion faut-il allier deux lingots à un titre connu pour avoir une quantité donnée d'argent à un titre donné? — 287. Méthode des fausses positions.

EXERCICES

I. Il y a en France 5586786 hl,t ,53 de terre produisant du froment. Le produit annuel moyen est de 69530062 hectolitres, et représente une valeur de 1102768037 francs. Calculer la production moyenne d’une propriété de 2 h ' c ‘, 17, située en France, et son prix, en supposant qu'elle rapporte 3 pour 100.

H. Le sol de la France contient par habitant l u ' c, ,57, que l’on

peut décomposer de la manière suivante :

Production d’aliments et de vêtements 0,89

Culture des bois 0,40

Terres en friches, incultes 0,23

Constructions, routes, canaux 0,04

Rivières, ruisseaux, lacs d» 01

La surface totale de la France étant 49863692 hectares, ou demande le nombre d’hectares de terres incultes ou en friche.

III. La France consomme annuellement 67400 quintaux métriques de cuivre. Sur cette quantité, 1000 quintaux seulement sont produits en France; les autres nations nous fournissent le

reste, savoir :

Grande-Bretagne 43800

Russie 8800

Turquie 4400

Espagne 400

Amérique 8900

Former un tableau qui indique, pour un quintal de cuivre consommé en France, combien il en est demandé à chacune des nations ci-dessus mentionnées.

IV. Le capital engagé dans une usine est de 700000 fr., dont une moitié représente le capital fixe (machines et bâtiments), et l’autre est le fonds de roulement. Cette usine produit annuellement 8575 tonnes de fonte, qui se vendent au prix de 125 fr. la tonne. Le prix de revient de 100 kilogrammes de fonte se dé-

composant de la manière suivante :

Minerai 300™ à l f les 100™ 3 r

Coke 200 lil à 2 f les 100 Lil 4'

Salaire des ouvriers 0,30

Frais généraux et d’entretien 1,40

On compte, en outre, 10 pour 100 d’intérêts pour le capital fixe de l'usine, et 7 pour 100 pour le fonds de roulement; quel est le bénéfice annuel? Réduire d’une blême quantité létaux de l’intérêt du fonds de roulement et celui du capital fixe, de manière à pouvoir augmenter de 10 pour 100 le salaire des ouvriers, sans changer ce bénéfice?

V. Une usine convertit en fer 10000 lonnes de fonte; on dépense pour produire 100 kilogrammes de fer ;

Fonte 132 kil à 12,5 16,15

Charbon de terre 300 111 à 1 ,20 3,60

A reporter 19,75

Report 19,75

Salaire des ouvriers. 2,00

Frais généraux et d'entretien 1,20

Prix de revient de ÎOO^' de fer 22,95

Le fonds de roulement étant de 350000 fr., déterminer le prix qu’un capitaliste doit payer cette usine pour que son argent lui rapporte 15 pour 100. On supposera que l'intérêt du fonds de roulement soit compté à 6 pour 100 et que le fer fabriqué se vend 257 fr. la tonne.

VI. Les impôts directs sont répartis entre les 86 départements. Le conseil général de chaque département répartit entre les divers arrondissements la somme à laquelle le département est imposé; le conseil d’arrondissement divise à son tour cette somme entre les communes, et entin, dans chaque commune, l’impôt est réparti entre les individus. Supposant ces répartitions proportionnelles, la première aux revenus des départements, la seconde aux revenus des arrondissements, la troisième aux revenus des communes, et enfin, dans une même commune, au revenu des individus, prouver que deux individus appartenant à des départements différents sont imposés proportionnellement à leur revenu.

VII. Le gravier aurifère exploité sur les bords du Rhin a une richesse moyenne de 0,000000232 (rapport du poids de l’or au poids total). La valeur totale de l’or retiré annuellement de ce gravier est 45000 fr. Quel est le poids total du gravier soumis au lavage, en supposant la perte due à l'opération de 0,09 (9 pour 100)?

VIII. Les sables aurifères exploités en Sibérie contiennent en moyenne § zolotniks d’or sur 4000 livres laisses de sable. Sachant que la livre russe contient 96 zolotniks, est-il nécessaire de savoir qu’elle vaut 0 U1 ,4095 pour calculer la quantité d’or contenue dans 1000 kilogrammes de ce gravier?

IX. Les frais nécessaires pour extraire le cuivre d’un quintal de minerai s’élèvent à 5 fr. 75; on achète une certaine quantité de minerai dont la teneur en cuivre est 12 pour 100, au prix de 18 fr. le quintal; le cuivre perdu dans l’opération s'élevant aux deux centièmes de celui que le minerai contient, à quel prix reviendra le quintal de cuivre î

X. Les autres données restant les mêmes que dans la question précédente, calculer ce que l’on doit payer le quintal de minerai , pour que le quintal de cuivre revienne à 200 fr.

XI. Sur un chemin de fer, le nombre des places prises dans les voitures de première classe a été, pendant le premier semestre, du nombre total des places. Ce rapport s’est élevé, pendant le second semestre , à $ , et il est , pour l’année entière Déduire de ces données le rapport du nombre des voyageurs du premier semestre au nombre de ceux du second semestre, et calculer ces deux nombres, en supposant qu’il y ait eu 206000 voyageurs de. plus pendant le second semestre.

XII. Un entrepreneur soumissionne la fourniture du balast en pierre cassée pour une longueur de chemin de fer de 17 kilomètres. Le balast mis en place doit lui être payé d’après sa soumission, à raison de 3 fr. 90 le mètre cube.

La pierre brute revient dans les carrières à 1 fr. le mètre cube. Par le cassage, son volume est réduit de -fo. L'on paye pour le cassage l f ,25 par mètre cube de pierre cassée, et pour le transport au chemin de fer, y compris chargement , déchargement sur la voie, 0 f ,80 par mètre cube de pierre cassée et par kilomètre.

On demande à quelle distance moyenne les carrières doivent se trouver du chemin de fer, pour que l'entrepreneur fasse un bénéfice de -ré sur le prix de sa soumission.

XIII. Au chemin de fer de Paris à Lyon les rails pèsent 38 kilogrammes par mètre courant. La longueur de chaque rail est de 5 mètres. Le prix des rails par 100 kilogrammes est 37 fr. La longueur de Paris à Tonnerre est de 198 kilomètres, et la voie, est double dans cet intervalle, c’est-à-dire formée par 4 cours de rails.

On demande le poids total des rails employés pour former la voie entre Tonnerre et Paris; le cube du fer, sa densité étant de 7,70 ; le nombre des rails ; le prix total de la voie de fer.

XIV. Un ouvrier peut transporter en brouette et par jour, 800 kilogrammes à un kilomètre. Le prix de la journée est de 2 f ,25. On demande combien cofiteront 500 mètres cubes de terre transportés à 97 mètres , sachant que le mètre cube de terre pèse 1600 kilogrammes.

XV. Un cheval peut (rainer à l’aide d’une voiture, 1*200 kilogrammes. Sa vitesse est de 4 lilora ,25 à l’heure. Le temps pour le chargement et le déchargement est de 10 minutes. Le prix de la voiture avec son conducteur est de 5 f ,00 par jour, et la durée du travail est de 10 heures.

On demande quel sera le prix de revient de 500 mètres cubes transportés à 97 mètres de distance, le mètre cube pesant 1600 kilogrammes.