CHAPITRE XIV

Carré de la somme de deux nombres.

liiîH. Soit («-}-&) la somme proposée. En faire le carré, c’est multiplier a +• b par a-\-b , or, il faut pour cela (40), multiplier les deux parties du multiplicande par les deux parties du multiplicateur et ajouter les résultats, on a donc

(a-j-é/^aXa + éXa + tfXé+Æ'Xô, c’est-à-dire

résultat qui s’énonce ainsi : le carré (le la somme de deux nombres est égal au carré du premier, plus deux fois le produit du premier par le second, plus le carré du second.

Rem aboie. La différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est le double du plus petit, augmenté d'une unité.

Si , en effet , on désigne ces deux nombres par a et a -j- 1 , on aura :

la différence (a-fl)* — a', est donc 2« + l.

Carré d’un produit.

2üÔ. Soit aXbXcXd un produit quelconque, en formelle carré, c’est multiplier ax.bx.cxd par axJXfX^ le résultat de cette multiplication est (42) le produit de huit fadeurs :

«X^XcXtfXaXôXcXtf,

mais on peut remplacer (45) deux facteurs par leur produit effectué, et par conséquent écrire ce produit de huit facteurs sous la forme :

ainsi donc : le carré d'un produit est le produit des carrés des facteurs.

SCO. Remarque. Si quelques-uns des facteurs sont des puissances,. il suffira, pour les élever au carré, de doubler leurs exposants. Soit, par exemple, à former le carré de a"; a 5 étant le produit de 5 facteurs égaux à a , son carré est le produit de 10 facteurs égaux à a, et par conséquent « ,0 .

Théorèmes relatifs aux carrés.

261. Théorème I. Le carré d’un nombre entier ne peut être terminé par aucun des chiffres 2, 3, 7 ou 8.

Lorsqu’on multiplie un nombre entierpar lui-même, les Uni tés du produit proviennent du produit des unités du multiplicande par celles du multiplicateur, c’est-à-dire du carré du chiffre des unités. Or, quel que soit ce chiffre des unités, son carré est : 0, 1 ,

4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 ou 81, et n’est, par conséquent, terminé par aucun des chiffres 2, 3, 7 ou 8.