Remarque. Si des nombres sont terminés par

4, 5, 6, 7, 8 ou 9, leurs carrés le sont respectivement par 0, 1 , 4,

9, 6, 5, 9, 4 ou 1 ; si donc un carré est terminé par 0 ou 5, il en est de mêpne du nombre correspondant, mais, dans .tout autre cas , le dernier chiffre du carré étant connu, il y a deux valeurs possibles pour celui du nombre lui-même; ainsi les carrés terminés par 1 , 4, 9, 6 proviennent respectivement de nombres terminés par 1 ou 9, 2 ou 8, 3 ou 7, 4 ou 6.

265. Théorème II. Le carré d’un nombre entier ne peut être terminé par un nombre impair de zéros.

Pour qne le carré d’un nombre soit terminé par un zéro , il faut (262) que le nombre lui-même le soit. On peut donc représenter ce nombre par AX10\ A étant un nombre entier non

terminé par un zéro , et n le nombre des zéros, peut-être égal à 1 , qui le suivent. Le carré de ce nombre, A* x 10**, est évidemment terminé par 2n zéros; 2 n étant un nombre pair, la proposition est démontrée.

264. Théorème III. La condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre entier soit le carré d’un autre nombre entier est que tous ses facteurs premiers aient des exposants pairs.

1° Celte condition est nécessaire, car, un nombre étant décomposé en facteurs premiers, on forme son carré en doublant les exposants de ses facteurs qui, par là, deviennent tous pairs.

2° Cette condition est suffisante, car, si elle est remplie, en divisant par 2 les exposants des facteurs premiers, on formera un nouveau nombre entier qui, élevé au carré, reproduira le premier.

266. Remarque. Un nombre entier qui admet un diviseur premier p, sans être divisible par son carré p’, ne peut pas être un carré; car si on le décomposait en facteurs premiers, le facteur p y entrerait évidemment à la première puissance et par conséquent avec un exposant impair.

Par exemple , un carré ne peut être divisible par 2 sans l’être par 4, par 3 sans l’être par 9, par 5 sans l'être par 25.

266. Théorème IV. Aucune fraction n’a pour carré un nombre entier.

Soit | une fraction , que nous supposerons réduite à sa plus

simple expression, son carré est évidemment ^ ; or, a étant premier avec b, « ! (126) est premier avec 6’, il est donc impossible que soit entier.

267. Remarque, a 1 étant premier avec 5*, ^ est (166) irréductible. Et comme ses deux termes sont des carrés, on conclut que le carré d’une fraction étant réduit à sa plus simple expression a toujours pour termes des carrés.

DéUnition de la racine carrée.

208. Lorsqu’un nombre A est Je carré d’un autre nombre B on dit que B est la racine carrée de A, et on t’écrit ainsi :

Exemples. 4 étant le carré de 2, 2 est la racine carrée de 4. étant le carré de £, \ est la racine carrée de

Et l'on écrit :

269. Lorsqu’un nombre N, n’est le carré d’aucun nombre entier ou fractionnaire, la définition de sa racine carrée exige quelques développements.

On dit qu'un nombre est plus grand ou plus petit que y'N suivant que son carré est plus grand ou plus petit que N; d’après cela, pour définir les grandeurs dont y N est la mesure, supposons par exemple, qu’aprèsavoir adopté une certaine unité de longueu r on regarde tous les nombres comme exprimant des longueurs portées sur une même ligne droite à partir d’une origine donnée. Une portion de cette ligne recevra les extrémités des longueurs dont la mesure est moindre que y/N, et une autre portion celles des lignes dont la mesure est plus grande que V N ; entre ces deux régions, il ne pourra évidemment exister aucun intervalle, mais, seulement, un point de démarcation. La distance à laquelle se trouve ce point, est, par définition, mesurée par y/N.

270. Remarque I. Nous avons défini seulement la grandeur dont y/N est la mesure, et en effet, il n’est pas possible de définir directement un nombre abstrait. Si l’on réfléchit aux définitions données, môme dans les cas simples des nombres entiers ou fractionnaires, on verra qu’elles ne sont que l’indication de l’opération à l’aide de laquelle la grandeur dont ils sont la mesure dérive de l’unité.