Remarque IL Lorsqu’un nombre n’est ni entier ni

fractionnaire, il est dit incommensurable. Tout nombre entier qui n’est pas le carré d’un nombre entier, ne pouvant être celui d’une fraction, a une racine carrée incommensurable; les fractions ont aussi, dans le plus grand nombre de cas, une racine carrée incommensurable, car (2417), pour qu’une fraction soit le carré d'une autre fraction , il faut que, réduite à sa plus simple expression , elle ait pour termes deux carrés.

Racine carrée d’un nombre à une unilé |>rè<.

272. La racine carrée d’un nombre à une unité près, est le plus grand nombre entier qui soit contenu dans la racine cairée de ce nombre; c’est, par conséquent, la racine du plus grand carré entier contenu dans le nombre considéré.

275. Théorème I. La racine carrée à une unilé près d'un nombre gui n’est pas entier est ta même que celle de sa partie entière.

Considérons, en effet, un nombre N, compris, par exemple, entre 3758 et 3759, il s’agit de prouver que la racine carrée, à une unité près , est la môme que celle de 3758. Si nous nous reportons, en effet, à ce qui a été dit (272) la racine carrée de N, à une unité près, est la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans N. Or, les nombres entiers contenus dans N, sont 3758 et les nombres moindres , en sorte que le plus grand carré entier contenu dans N est le môme que le plus grand carré entier contenu dans 3758. Et la racine de N, à une unité près, est, par suite, la même que celle de 3758.

274. Théorème 11. Si un nombre entier a un ou deux chiffres, sa racine carrée n’a qu’un chiffre. S’il a trois ou quatre chiffres , sa racine carrée a deux chiffres; s'il a cinq ou six chiffres, sa racine carrée a trois chiffres , et en général, s'il a 2n ou 2n — 1 chiffres, sa racine carrée a n chiffres.

Les nombres exprimés par un ou deux chiffres sont compris entreO et 100, donc leur racine est comprise entre 0 et 10 et n’a qu’un chiffre.

Les nombres exprimés par trois ou quatre chiffres sont compris entre 100 et 10000; donc leur racine est comprise entre 10 (racine carrée de 100), et 100 (racine carrée de 10000), elle a par conséquent deux chiffres.

Les nombres exprimés par cinq ou six chiffres sont compris entre lOOOO et 1000000, donc leur racine est comprise entre 100 (racine carrée de 10000) et 1000 (racine carrée de 1000000), elle a par conséquent trois chiffres.

En générai , les nombres exprimés par 2 n — 1 ou par 2 >j chifros, sont compris entre l’unité suivie de 2« — 2zéros, et l'unité suivie de 2» zéros, c'est à-dire entre 10 in 1 et 10"*, leur racine carrée est comprise, par conséquent, entre 10"-' (racine carrée de 10'"-*) et 10" (racine carrée de 10-"), elle a, par conséquent, n chiffres.

273. Lorsqu’un nombre est inférieur «à 100, la table de multiplication fait connaître le plus grand carré qui y soit contenu , et par conséquent , sa racine carrée à une unité prés.

Exemple. La racine carrée de 73, à une unité près, est B, car 64 est le plus grand carré entier contenu dans 73.

Lorsqu’un nombre est plus grand que 100, sa racine carrée, à une unité près , a plus d’un chiffre ; la méthode employée pour la trouver repose sur les deux théorèmes suivants :

270. Théorème 111. La racine carrée d'un nombre N supérieur à 100, contient, précisément, autant de dizaines qu’il y a d'unités, dans la racine carrée du nombre de ses centaines.

Si on nomme x le nombre de dizaines contenues dans la ra*cine carrée de N, celte racine est comprise entre x dizaines et x-j-l dizaines; donc N l'est lui-même, entre le carré de ajx 10 ou x ! X 100, et le carré de (x-f-l)xiO ou (x -)— 1 )* X 100, en sorte que le nombre des centaines de N est compris entre x* et (x-j-1)*, la racine carrée à une unité près de ce nombre de centaines est donc égale à x. -

Remarqle. Pour avoir le nombre de dizaines contenues dans la racine carrée d’un nombre, il faut, on vient de le voir, chercher combien ce nombre contient de centaines et extraire, à une unité près, la racine carrée du résultat. S’il s’agit d’un nombre entier, on aura immédiatement le nombre des centaines en supprimant les deux derniers chiffres à droite. On peut donc dire :

Le nombre des disaines contenues dans la racine carrée d'un nombre entier N est la racine carrée à une unité près , du nombre Ni obtenu en supprimant les deux derniers chiffres de N.

On peut appliquer à la racine du nombre N, , le résultat précédent. Le nombre des dizaines qui y sont contenues s’obtiendra en extrayant , à une unité près, la racine carrée du nombre N s obtenu en supprimant les deux derniers chiffres de N t .

Or, la racine de N t représentant le nombre de dizaines contenues dans la racine de N, le nombre de dizaines qu’elle contient n'est autre chose que le nombre des centaines contenues dans /N. D’un autre côté N, ayant été obtenu en supprimant les deux derniers chiffres à droite de N, et N t en supprimant les deux derniers chiffres à droite de Ni, N, peut s’obtenir en supprimant quatre chiffres à droite dans N. On peut donc dire :

Le nombre de centaines contenues dans la racine carrée d’un nombre entier N, est la racine carrée à une unité près, du nombre N t obtenu en supprimant les quatre derniers chiffres à droite de N.

On verra de môme que le nombre de dizaines contenues dans la racine carrée de N,, c’est-à-dire le nombre de mille contenus dans la racine carrée de N, est égal à la racine carrée du nombre N», obtenu en supprimant les deux derniers chiffres de N», c’est-à-dire en supprimant les six derniers chiffres de N. On peut donc dire :

Le nombre des mille contenus dans la racine carrée d’un nombre entier N, est la racine carrée à une unité près, du nombre obtenu en supprimant les six derniers chiffres de N, et ainsi de suite indéfiniment.

277. Théorème IV. En retranchant d’un nombre entier, le carré des dizaines de sa racine, et divisant les dizaines du reste par le double de celles de la racine, on obtient un quotient supérieur ou égal au chiffre des unités, de la racine.

Supposons, par exemple, que la racine carrée de 317452 contienne 56 dizaines plus un certain nombre d’unités. Le carré de celte racine contiendra (238; le carré de 56 dizaines, plus le produit de 2 fois 56 dizaines, ou 112 dizaines, par les unités, plus le carré des unités; le carré de 56 dizaines est 3136 centaines. En le retranchant de 317452, le reste, 3852 devra contenir les tleux autres parties du carré de la racine. Or, la première de ces deux parties, le produit des unités par 112 dizaines, est un nombre entier de dizaines, qui doit être contenu dans les

385 dizaines de 3852, et, par conséquent, le chiffre des unités ne peut surpasser le quotient de la division de 385 par 1 12. C’est précisément ce qu’il fallait démontrer.

278. Remarque. Pour déterminer la valeur exacte du chiffre des unités, il faut essayer successivement la limite fournie par le théorème précédent, si elle est moindre que dix, et les nombres d’un chiffre qui lui sont inférieurs. Les essais consistent à former le carré de la racine présumée, si ce carré est contenu dans le nombre proposé, le chiffre essayé est bon, sinon il faut le diminuer. Nous verrons plus loin comment on abrège ces essais en profitant de calculs faits antérieurement.

Règle générale pour l'extraction de la racine carrée.

279. Pour trouver combien la racine carrée d’un nombre entier contient de dizaines, il suffit (276) d'extraire la racine d’un nombre ayant deux chiffres de moins. Le nombre de ces dizaines étant connu, on peut (278) trouver le chiffre des unités. La recherche de la racine carrée d’un nombre est donc ramenée à celle d’un autre nombre qui a deux chiffres de moins ; on pourra de même substituer, à ce nouveau nombre , un autre plus simple encore, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on parvienne à un nombre de un ou deux chiffres , dont on connaîtra immédiatement la racine.

On est ainsi conduit à la règle suivante :

1° Pour extraire la racine carrée d’un nombre entier, on sépare ce nombre en tranches de deux chiffres à partir de la droite , le •nombre de ces tranches, dont la dernière peut n’avoir qu'un chiffre, est celui des chiffres de la racine.

Si, en effet, il y a« tranches, le nombre proposé contient 2» ou 2n — 1 chiffres et alors (274), sa racine carrée a n chiffres.

2° Le premier chiffre de la racine est la racine carrée , à une unité près, du nombre exprimé par la dernière tranche.

Considérons, par exemple, le nombre 13764932, auquel nous rapporterons toutes les explications qui vont suivre. Le nombre des dizaines de sa racine carrée (276), est la racine carrée, à une unité près, de 137649. Le nombre de ses centaines est (276) la racine carrée, à une unité près, de 1376, et le nombre de ses

mille, la racine carrée, à une unité près, de 13 (275). Or, 13 est précisément la dernière tranche du nombre proposé; la seconde partie de la règle est donc démontrée, et la racine carrée de 13, ou 3, est le premier chiffre de la racine.

3“ Après avoir obtenu ce premier chiffre , on en forme le carre, on le retranche du nombre exprimé par la dernière tranche; à la suite du reste on écrit les deux chiffres qui forment la tranche suivante et on divise les disaines du nombre Ri ainsi formé, par le double du premier chiffre de la racine. Ia quotient est égal ou supérieur au second chiffre. ■

Pour troirrer le nombre des centaines, c’est-à-dire les deux premiers chiffres de la racine cherchée, il suffit d’extraire la racine de 1376 donl on connail déjà le chiffre des dizaines, 3 ; pour cela, on retranchera de 1376, le carré des trois dizaines de sa racine, et, en divisant les dizaines du reste par le double de celles de sa racine, on obtiendra (277) un quotient supérieur ou égal au chiffre des unités.

Le carré de 3 dizaines est 9 centaines, qui, retranchées de 1376 laissent pour reste 476; en divisant 47 par 6, le quotient est 7; le chiffre des unités de la racine de 1376, c’est-àdirc le second chiffre de ia racine cherchée, ne peut donc pas surpasser 7. • .

4° On détermine la valeur exacte de ce second chiffre, en essayant successivement le quotient trouvé, s’il est moindre que 10, et les nombres d'un chiffre qui lui sont inférieurs. Pour faire ces essais, on double le premier chiffre de la racine, on écrit , à la droite du résultat , le chiffre à essayer, et on multiplie le nombre ainsi formé par le chiffre essayé lui-méme. Si le produit est moindre que le nombre Ri, défini (3*), le chiffre essayé est bon, sinon, il faut essayer le chiffre inférieur d'une unité et ainsi de suite si ce dernier est trop fort.

Le nombre R,, défini (3°), est dans le cas actuel 476. On l’a obtenu en retranchant de 1376 le carré des trois dizaines que contient sa racine. Or, cette racine étant composée de trois dizaines, plus un certain nom bre d'unités, son carré se compose (25Ü), du carré de trois dizaines, du produit des unités par le double de trois dizaines et du carré des unités; la somme de ces Irais parties devant être contenue dans 1376, il faut que la somme des deux dernières puisse se retrancher de l’excès de

13/(3 sur la première partie, c'est-à-dire île 476. Or, c’est précisément dans celte vérification que consiste la quatrième partie de la règle; et en effet, lorsque pour essayer 7 on le multiplie comme U est indiqué, par le nombre 67, le produit se compose de 7 X 7 -|- 7 X 60, c’est-à-dire du carré des unités présumées, plus le produit de ces unités par le double des dizaines. Si donc le produit ne peut pas se retrancher de 476, le chiffre 7 est trop fort.

Dans le cas actuel ce produit est égal à 469; il peut se retrancher de 476 et laisse pour reste 7. Le chiffre 7 est donc bon. L’opération nous apprend , en outre, que l’excès de 1376 sur le carré de 37 est égal à 7.

. 5° A la droite du reste obtenu dans l’essai qui a réussi , on écrit les deux chiffres de la tranche suivante et on divise les dizaines du nombre II, ainsi formé , par le double du nombre qu'expriment les deux premiers chiffres de la racine; le quotient est supérieur ou égal au troisième chiffre.

Le nombre des dizaines contenues dans la racine , est ( 270 ) la racine carrée, à une unité près, de 137649. D suffit donc, pour trouver le nombre de ces dizaines, c’est-à-dire l’ensemble des trois premiers chiffres de la racine, d’extraire la racine carrée de 137649, dont on connaît déjà le nombre de dizaines 37. Pour cela, on retranchera de 137649 le carré des 37 dizaines de sa racine , et en divisant les dizaines du reste , par le double de celles de la racine, on obtiendra ( 277 ) un quotient supérieur où égal au chiffre de ses unités.

Le carré de 37 dizaines est 1369 centaines. L’excès de 137649 sur le carré de 37 dizaines, ou le nombre R>, est donc 749; en divisant le nombre de ses dizaines, 74, par 74 double de 37, le quotient est 1 ; le chiffre des unités de la racine de 137649, c’està-dire le troisième chiffre de la racine cherchée , ne peut donc pas surpasser 1 .

6° On détermine la valeur exacte de ce troisième chiffre, en essayant successivement le quotient trouvé s’il est moindre que 10, et les nombres d’un chiffre qui lui sont inférieurs. Pour faire ces essais on double le nombre formé par l’ensemble des deux premiers chiffres, on écrit à sa droite le chiffre à essayer, et on multiplie le nombre ainsi formé, par le chiffre essayé lui-même. Si ce produit peut se retrancher du nombre Ri , défini (5°), le chiffre

essuyé est bon , sinon , il faut le diminuer d’une unité et l’essayer de nouveau.

Le nombre R s , défini (5*), est, dans le cas actuel, 749, on l’a obtenu en retranchant de 137649 le carré des 37 dizaines de sa racine. Or, cette racine étant composée de 37 dizaines, plus un certain nombre d’unités, son carré se compose du carré de 37 dizaines, du produit des unités par le double de 37 dizaines et du carré des unités. La somme de ces trois parties devant être contenue dans 137649, il faut que la somme des deux dernières puisse se retrancher de l’excès de 137649 sur la première partie, c’est-à-dire de 749. Or, c’est précisément dans celle vérification que consiste la sixième partie de la règle ; en effet, lorsque pour essayer l on multiplie, comme il est indiqué, le chiffre 1 par le nombre 741, le produit se ^compose de 1 XI -f- 1 X740, c’està-dire du carré des unités, et du produit de ces unités présumées par le double des dizaines. Si donc ce produit ne pouvait pas se retrancher de 749, le chiffre 1 serait trop fort.

Dans le cas actuel, le produit est égal à 741 , il peut se retrancher de 749 et laisse pour reste 8. Le chiffre 1 est donc bon, l’opération nous apprend en outre, que l’excès de 137649 sur le carré de 371 est 8.

7“ Lorsqu'on a trouvé le troisième chiffre, une marche toute semblable fournit le quatrième , puis le cinquième , etc.

Ceci n’a pas besoin d'explication.

Dans le cas actuel, pour déterminer le quatrième chiffre de la racine, à la droite du reste 8, on écrira la tranche suivante 32, et on divisera 83, nombre des dizaines de 832 par le double de 371, c’est-à-dire par 742, le quotient de cette division étant 0, le chiffre des unités de la racine est 0. Il est évident qu’il n’y a pas lieu de l’essayer.

La racine de 13764932 est donc enfin 37 10 et le reste 832, c’està-dire que :

1 3764932 = (37 10)* -j- 832 comme il est d’ailleurs facile de le vérifier.

280. Théorème VI. Le reste obtenu dans l'extraction d'une racine carrée ne peut jamais surpasser le double de la racine.

Soient en effet N un nombre entier, et R sa racine carrée à

une unité près; le reste de l’opération est la différence N— R’; si ce reste surpassait 2R, N serait au moins égal à R’-j-2R-{-l, c’est-à-dire à (R-f-1) 1 et sa racine serait par conséquent, au moins égale à (R -j- 1).

Réciproquement, si le carré d’un nombre entier R est moindre que N et que la différence N — R* ne surpasse pas 2R, ce nombre R est la racine carrée de N à une unité près. -

N— R* étant en effetmoindre que 2R -j- 1, N est moindre que R’-f-2R+l, c’est-à-dire que (R-f- J)', et, par conséquent, R* est le plus grand carré entier qui y soit contenu.

281. Remarque. Il arrive quelquefois que l'habitude du calcul faisant présumer qu’un chiffre b essayer est trop grand, on le diminue immédiatement d’une ou plusieurs unités; en l’essayant après celte diminution , on s’assure qu’il n’est pas trop fort, et, s’il est trop faible, on en sera averti en vertu du théorème précédent, parce que le reste correspondant surpassera le double du nombre formé par les chiffres déjà trouvés à la racine.

Manière de disposer l’opération.

282. Prenons pour exemple le nombre 412234, auquel nous allons appliquer la règle précédente :

1 ° On décompose le nombre en tranches de deux chiffres; ces tranches étant au nombre de 3, la racine aura 3 chiffres.

2° La racine carrée de la dernière tranche 41 est 6; 6 est donc le premier chiffre de la racine.

3° On retranche de 41 le carré de 6, le reste est 5. A la droite de 5 on écrit la seconde tranche 22 et on divise 52, nombre des dizaines de 522, par le double du chiffre 6 inscrit à la racine. Le quotient 4, de cette division, est le second chiffre de la racine, ou un chiffre trop fort.

4° Pour essayer 4, on l’écrit à la droite du double du premier chiffre, et on multiplie le nombre ainsi formé, 124, par 4. Le produit 496 pouvant sc retrancher de 522, et laissant pour reste 26, le chiffre 4 est bon .

5» A la droite du reste 26, on écrit la troisième franche du nombre proposé, et on divise 263, nombre des dizaines du nombre 2634 ainsi formé, par le double du nombre 64 inscrit h la racine, c’est-à-dire par 128. Le quotient 2 de cette division est le troisième chiffre de la racine, ou un chiffre trop fort.

6” Pour essayer 2, on l’écrit à la droite du double du nombre exprimé par les deux premiers chiffres, et on multiplie le nombre 1282, ainsi formé, par 2. Le produit 2564 pouvant sc retrancher de 2634, le chiffre 2 est bon, et la racine est 642; le reste est 70.

Calcul des racines carrées à une a|>proximalieu donnée.