Chercher la racine carrée d’un nombre N h —près, c’est
chercher le plus grand multiple de ^ contenu dans y^N. l’ne
pareille recherche peut toujours se ramener au calcul d'une racine carrée à une unité près.
La valeur approchée de la racine étant, en effet, un multiple
de -, peut être désignée par -, x étant entier. - étant le plus
grand multiple de i contenu dans y/*f, celle racine est moindre que — j — , et, par conséquent (269), les trois nombres
sonl rangés par ordre de grandeur.
En multipliant ces trois nombres par »*, l’ordre de grandeur ne changera pas, et par conséquent N x »’ est compris entre x' et (x -f- 1 /, c’est-à-dire que x est la racine carrée de Nx» ! à une unité près.
Nous pouvons donc énoncer la règle suivante :
Pour extraire la racine carrée d : un nombre N à un nombre donné ^ près , il faut extraire, à une unité près, la racine carrée du produit NXn', et diviser le résultat par n.
Exemple. I. Soit à extraire la racine carrée de à A près : multiplions ^ par 49, carré de 7, le produit est-^* u , c’est-àdire ou 713 sa racine carrée, à une unité près, la même que celle de 713 (272), est égale à 26, et par conséquent la racine de^ 1 à $ près, est c’est-à-dire que la racine de ^ est comprise entre et
2114. Remarque. Lorsque le dénominateur d’une fraction est un carré parfait b\ on obtient très-simplement sa racine carrée
à moins de il suffit pour cela d’extraire la racine du numérateur à une imité près et de la diviser par b. Cda résulte immédiatement de la règle générale; car, d’après celte règle,
pour extraire la racine carrée de | 4 à ^ près, il faut multiplier
par b', extraire la racine carrée du produit a à une unité
près, et diviser le résultat par b, ce qui est précisément l’opération indiquée.
Pour extraire La racine carrée d'une fraction, on commence souvent par rendre son dénominateur un carré parfait, et on profile alors de la remarque précédente. Pour cela, il suffit de multiplier ses deux termes par son dénominateur.
Exemple. Soit’à extraire la racine carrée de 7 ^, cette fraction est égale à ou Pour avoir sa racine à î près, il suffit donc d’extraire à une unité près la racine carrée de 365, qui est 19, et de la diviser par 5; la racine carrée de à £ près, e9t donc A.É.
28S. Quelquefois, pour rendre le dénominateur d’une fraction un carré parfait, on peut employer un multiplicateur moindre que son dénominateur. 11 suffit, en effet (204), pour qu’un nombre soit un carré parfait, que tous ses facteurs premiers aient des exposants pairs; ce qui aura évidemment lieu si on le multiplie par le produit de tous ceux qu’il contient avec des exposants impairs.
Soit, par exemple, la fraction ou 3><2 , x5 , ; pour
rendre son dénominateur un carré parfait, il suffit de multi-
plier ses deux termes par 3, elle devient ainsi 2 » x y ou
la racine de 3825 à une unité près est 61, et par consé-
quent celle de ;i £> près, est f£.
Calcul d’une racine carrée à — r- près.
*286. Supposons que le nombre N, dont on veut évaluer la racine carrée soit réduit en décimales. D’après la règle précédente,
pour extraire sa racine à près , il faut le multiplier par
10*", extraire à une unité près la racine carrée du produit, et diviser le résultat par 10". Pour multiplier N par 10 ,n , on avancera la virgule de 2n rangs vers la droite, et, pour extraire, à une unité près, la racine carrée du produit, il suffira d’opérer sur sa partie entière ; par conséquent, pour déterminer la racine
d'un nombre à près, il suffit de connaître les 2n premiers chiffres décimaux de sa valeur en décimales.
Exemple., Soit à extraire, à jfc près, la racine carrée de 3,7157248932, il suffit d’avoir quatre chiffres décimaux dans la valeur du nombre proposé, puisqu’on en demande deux à la racine; on pourra donc réduire le nombre proposé à 3,7157. En multipliant ce nombre par 10000 , on obtient 37157, dont la racine carrée, à une unité près, est 193 ; en la divisant par 100, on obtient 1,93, qui est la racine du nombre proposé à
Ton Près.
Valeur approchée de la racine carrée lorsque te degré d’approximation n’est pas fixé avec précision.
287. Lorsqu’on a obtenu une valeur approchée de la racine carrée d’un nombre, on peut se servir de cette valeur pour en déduire une seconde plus approchée encore. Cette seconde peut
de même en fournir une troisième , celle-ci une quatrième , et ainsi de suite indéfiniment. Voici en quoi consiste ce procédé, qui conduit rapidement à une valeur extrêmement approchée. Soit N le nombre dont on cherche la racine,
a la valeur approchée de la racine, x le nombre très-petit qu’il faudrait ajouter à a pour avoir la racine exacte,
« -f- x étant la racine de N , on aura évidemment N = (a -|- x)' == a* -(- 2 a x -f- x 1 .
x étant, par hypothèse très-petit, son carré est bien plus petit encore; on peut donc, sans erreur sensiblerie négliger et réduire l’équation précédente à
N = a’ -f- 2ax ,
par suite, 2 ax est égal à N — a*, et x à — , en sorte
que
est la valeur approchée que nous cherchions. Cette valeur peut s’écrire
c'est-à-dire
Nous avons donc ce théorème : Si a est une valeur approchée
de y^N» ^( a + à) es * unc sccont * e va ' eur plus approchée
que la première.
Remarque. En écrivant
N = a* -(- 2 ax ,
au lieu de l’équation exacte
N = a 1 -f- 2ax -f x*,
nous supprimons, dans le second membre, le terme a?'; pour (jue ce second membre reste égal <i N après celte suppression , il faut évidemment que la valeur attribuée à x soit un peu augmentée. La valeur que nous avons trouvée sera donc plus grande que la valeur exacte.
2f58. Si nous posons- (a -f- \ = b, b sera une valeur approchée de y/N> sur laquelle nous pourrons raisonner comme nous l’avons fait sur a. Seulement, b étant plus grand que y/N, on devra représenter la valeur exacte par b — a; et poser
N = (b — x)*= b * — 2bx -{- a:* , ou , en négligeant x 1 ,
d’où l’on conclut
N = 6 ! — 2 bx ,
et la nouvelle valeur approchée de la racine est
Celle troisième valeur, que nous désignerons par e, sera trop grande ainsi que l’on s’en assure facilement.
On pourra continuer indéfiniment, et l’on obtiendra une suite de valeurs toutes plus grandes que y/N, et qui s’en approchent très-rapidement.
Approximation que l’on peut obtenir lorsque le nombre sur lequel on opère n’est pas connu avec précision.
280. Lorsque la valeur d’un nombre N n’est pas connue avec une précision absolue, on conçoit qu’il existe, par cela même, une limite au degré d’approximation que l’on peut obtenir à la racine carrée. Si l’on sait, par exemple, que N est compris entre A et B, il en résulte seulement que y'N est compris entre y/ A et ^B, et, par aucun moyen , on ne pourra assigner sa valeur avec une plus grande précision. On devra donc prendre indifféremment
pour y/N un nombre quelconque compris entre ces deux limites. Si l’on choisit leur demi-somme, on pourra affirmer que l’erreur, en plus ou en moins, est inférieure à \ (y B — y/' A). Il est impossible d’avoir une approximation plus grande. Cette limite de l’approximation que l’on peut atteindre,
peut se mettre sous une forme qui rend plus facile le calcul de sa valeur approximative. Ona
(y/fi — J\) — ^'B— y/Â)(y/B-f y/A)
On
Donc
y/B et y/A différant peu l’un de l’autre, on peut les supposer égaux, et l’on a approximativement
pour limite inférieure du degré d’approximation avec lequel on peut calculer la racine carrée d’un nombre N, lorsque l’on sait seulement que ce nombre est compris entre B et A.
Exemple. En réduisant un nombre en décimales , on a trouvé pour premiers chiffres 45,54. Les chiffres suivants ne sont pas connus. Avec quelle approximation peut-on obtenir sa racine carrée?
Le nombre en question est compris entre 45,54 et 45,55, qui représentent ici les limites désignées précédemment par B cl A . La différence B — A est 0,01 ; la limite inférieure du degré d’approximation possible est donc :
y/45,54 étant plus grand que 6. Cette fraction est moindre que
Je \ ingt-quatrième de 0,01 ; il sera donc possible d'obtenir la racine cherchée avec une erreur moindre que Si nous avions appliqué la règle (SBC) , ne connaissant que deux chiffres décimaux du nombre, nous aurions été conduits à dire que l'on ne peut en obtenir qu'un seul à la racine, c'està-dire que l’on ne peut obtenir celle racine qu’à -fo près.
RÉSUMÉ
258. Carré de la somme de deux nombres. Différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs. — 288. Carré d'un produit. —
260. Pour élever au carré une puissance d’un nombre, il suffit de doubler l’expos3nt. — 26t. Le carré d’un nombre entier ne peut être terminé par aucun des chiffres 2 , 3, 7 ou 8. — 262. Si le dernier chiffre d'un carré est 0 ou S, le nombre lui-même est terminé par 0 ou 5 ; dans tout autre cas, le dernier chiffre du carré étant connu, il y a deux valeurs possibles pour celui du nombre lui-même. — 265. Le carré d’un nombre entier ne peut être terminé par un nombre impair de zéros. —
261. Pour qu’un nombre entier soit le carré d’un autre nombre entier, il faut et il suffit que les facteurs premiers aient des exposants pairs. — 268. Un nombre qui admet un diviseur premier p. sans être divisible par p* n’est pas un carré. — 266. Aucune fraction n’a pour carré un nombre entier. — 267. Une fraction irréductible ne peut être le carré d’une autre fraction que si les deux termes sont des carrés. — 268. Définition de la racine carrée lorsqu’elle est entière ou fractionnaire. — 260. Définition lorsqu’elle est incommensurable.— 270. On doit se borner à définir la grandeur dont la racine est la mesure. — 271. Définitions des nombres incommensurables. 11 est impossible de définir autrement un nombre abstrait. — 272. 'Racine carrée à une unité près. — 275. Elle est la mémo que celle de la partie entière du nombre proposé. — 274. Si un nombre est exprimé par 2n ou 2n — 1 chiffres, sa racine a n chiffres. — 275. Si un nombre est inférieur à 100, la table de multiplication fait connaître sa racine carrée. — 276. La racine carrée d’un nombre supérieur à 1 00 contient autant de dizaines qu’il y a d’unités dans la racine carrée du nombre de ses centaines. On en conclut que le nombre des centaines contenues dans la racine carrée d’un nombre est la racine du nombre obtenu en supprimant ses quatre derniers chiffres, lénombre des mille est la racine du nombre obtenu en supprimant les six derniers chiffres, etc. — 277. En retranchant d’un nombre entier le carré des dizaines de sa racine et divisant les dizaines du reste p3r le double de celles de la racine, on obtient un quotient supérieur ou égal au chiffre des unités de la racine. — 278. Des essais successifs peuvent déter»
miner la valeur exacte de ce chiffre des unités. — 279. Les théorèmes précédents permettent d’énoncer immédiatement la règle d’extraction de la racine carrée à une unité près. — 280. Le reste ne peut jamais surpasser le double de la racine. — 281. Usage de ce théorème lorsqu’on a diminué un chiffre avant de l’essayer. — 282. Manière de disposer l’opération. — 283. L’extraction d’une racine carrée à une approximation donnée se ramène à l'extraction d’une racine à une unité près. — 284. Lorsque le dénominateur d’une fraction est un carré parfait b", pour extraire sa racine à ^ près, il sufffit d’extraire à une unité près la racine du numérateur et de la diviser par b. — 288. Moyen de rendre le dénominateur un carré parfait. — 288. Racine carrée à — près , il suffit de connaître 2n décimales de la valeur du nombre. — 287-288. Moyen d’obtenir des valeurs de plus en plus approchées d’une racine carrée. — 289. Degré d'approximation que l’on peut obtenir lorsque l’on opère sur un nombre qui n’est pas connu avec précision.
EXERCICES
