I. Tout carré impair divisé par 8 tionne pour reste

II. Si, en extrayant la racine carrée d’un nombre N à une unité près , le reste ne surpasse pas la racine trouvée , celle-ci est approchée à ,î- unité près.

III. La racine de - — * - à - près est, - — -» ce nombre est-il

nn n

le seul qui soit égal à sa racine à ~ près?

IV. Si un nombre pair est la somme de deux carrés, sa moitié est également la somme de deux carrés.

V. Si a et 6 sont des nombres premiers entre eux, l’un pair et l’autre impair, la différence de leurs carrés ne peut être un carré que si a -f- b et a — b sont eux-mêmes des carrés.

VI. Conclure du théorème précédent que les carrés égaux à la somme de deux autres sont tous donnés par la formule

x et y désignant des nombres entiers quelconques.

VII. Si a, b, c sont trois nombres inégaux, a-f-é + eest plus petit que V3(a* -j- 6* -f- c*).

VIH. a, 6, a, p, étant quatre nombres quelconques (a* -j-ôp)* est plus petit que (a* -|- b') (*' -j- p*j, l'égalité est possible dans un cas, quel est-il?

IX. Le prix d'un diamant est proportionnel au carré de son poids, t'rouver qu’en séparant un diamant en deux morceaux , on diminue la valeur et que la dépréciation est la plus grande possible quand les deux morceaux ont le même poids.

X. Étendre la proposition précédente au cas où le diamant est brisé en un nombre donné de morceaux , la valeur totale de ces morceaux est la moindre possible quand ils ont le même poids.

XI. Si un carré entier a* est égal à la somme des deux autres I? -f- e*, l’un des trois nombres a, b ou e est divisible par 5.