CHAPITRE XV

Quelques théorèmes relatifs aux cubes.

290. Théorème I. Le cube de la somme de deux nombres se compose du cube du premier, plus trois fois le produit du second par le carré du premier, plus trois fois le produit du premier par le carré du second, plus le cube du second.

Soient a et b les nombres proposés : en former le cube, c’est multiplier (o + bf par a 4- b, or (2Ü9)

Pour multiplier celte somme par a -f b, il faut multiplier les trois parties du multiplicande par a, puis par b, et ajouter les résultats ; on obtient ainsi*

(« -f- bf = a 5 2a* X b -f- 6* X a + X b + 2a X ô* -j- & ou, en remarquant que

(a-f6/=«* + 3a’X6-f-36*Xa+6 ! ' >

ce qu’il fallait démontrer.

Remarque. La différence des cubes de deux nombres entiers consécutifs est égale à trois fois le carré du plus petit, plus trois fois le plus petit, plus 1. Si, en effet, on désigne ces deux nombres par a et a -f- 1 , on a, en vertu du théorème précédent,

(a -f- 1 f “ û* -f- 3a’ -j- 3a -j- 1 1 la différence (a-j-lj s — o* est donc 3a’-f-3a-f-l.

291. Théorème lï. Le cube d’un produit est égal au produit des cubes des facteurs.

Soit le produit a X b X c, on a

(aX&X<f=aX&XeX«X6XffXaX6Xf,

•2i6 THÉORIE DES CUBES ET DES RACINES CUBIQUES.

ou, en réunissant les facteurs égaux,

(a X b X c'f = a* X V X e* ; ce qu’il fallait démontrer.

Remarque. Pour clever une puissance au cube, il suffit de tripler l’exposant.

Soit, par exemple, a‘ à élever au cube, a‘ étant le produit de 4 facteurs égaux à a, son cube est évidemment le produit de 12 facteurs égaux à a, c’est-à-dire a'*.

292. Théorème III. Le cube d’un nombre entier est terminé par le même chiffre que le cube du chiffre de ses unités.

Quand on multiplie l’un par l’autre deux nombres entiers, le chiffre des unités du produit dépend seulement du dernier chiffre de chaque facteur ; lors donc que pour élever un nombre au cube, on le multipliera deux fois par lui-même, le chiffre des unités du résultat ne dépendra que du dernier chiffre de ce nombre.

Remarque. Les cubes des neuf premiers nombres entiers sont 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729. Ils sont tous terminés par des chiffres différents ; on pourra donc à l’inspection du cube d’un nombre, savoir immédiatement par quel chiffre ce nombre est terminé. Si le cube est terminé par 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9, le nombre lui-même le sera par 0, 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, ou 9.

293. Théorème IV. Si le cube d’un nombre entier est terminé par des zéros, leur nombre est divisible par 3.

Pour qu’un cube soit terminé par un zéro, il faut (292) que le nombre lui-même le soit. On peut donc représenter ce nombre par A xiO", A étant un nombre entier non terminé par un zéro et n le nombre des zéros, peut-être égal à 1, qui le suivent. Le cube de ce nombre , A* x ÎO 3 ”, est évidemment terminé par 3a zéros : 3» étant divisible par 3, la proposition est démontrée.

294. Théorème V. La condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre entier soit le cube d’un autre nombre entier, est que tous les exposants de ses facteurs premiers soient divisibles par 3.

1* Cette condition est nécessaire, car pour former le cube d’un nomhre, que l’on peut toujours décomposer en facteurs

premiers, il suffit (291) de tripler les exposants de ces facteurs, qui par là deviennent tous divisibles par 3.

2' Cette condition est suffisante, car, en la supposant remplie et divisant par 3 les exposants des divers facteurs premiers, ou formera un nombre, qui, élevé au cube, reproduira le premier.

Remarque. Il résulte du théorème précédent qu’un nombre entier qui admet un diviseur premier p, sans être divisible par son cube p*, ne peut pas être un cube; car si on le décomposait en facteurs premiers, L’exposant du facteur p y serait 1 ou 2 cl par conséquent non divisible par 3.

Par exemple, un cube ne peut pas être divisible par 2 sans l’être par 8, et par conséquent par 4, par 3, sans l’être par 27, et par conséquent par 9.

293. Théorème VI. Aucune fraction n’a pour cube un nombre entier. , ... ^ -

Soit | une fraction que nous supposerons réduite à sa plus

simple expression, son cube est évidemment — . Or, a étant premier avec b, a a Test avec P, il est donc impossible que ~ soit entier.

Remarque, a’ étant premier avec ô*, est irréductible cl,

comme ses deux termes sont évidemment des cubes, on en conclut, que le cube d’une fraction étant réduit à sa plus simple expression, a toujours pour termes des cubes.

Définition de la racine cubique.

296. Lorsqu'un nombre A est le cube d’un autre nombre R, on dit que B est la racine cubique de A, et on l’écrit ainsi

Exemples. 8 étant le cube de 2, 2 est la racine cubique de 8. étant le cube de f , f est la racine cubique de ; et l’on a :

297. Lorsqu’un nombre N n’est la racine cubique d’aucun nombre enlier ou fractionnaire, la définition de sa racine cubique exige quelques développements.

On dit qu’un nombre est plus grand ou plus petit que y'N, suivant que son cube est plus grand ou plus petit que N; d’après cela, pour définir la grandeur dont y'N est la mesure, supposons qu'après avoir adopté par exemple unecertaine unité de longueur, on regarde tous les nombres comme exprimant des longueurs portées sur une même ligne droite, à partir d’une même origine ; une portion de cette ligne recevra les extrémités des longueurs mesurées par des nombres moindres que y'N, et une autre portion celle des longueurs mesurées par les nombres plus grands que y'N; entre ces deux régions il ne pourra évidemment exister aucun intervalle d’étendue finie, mais seulement un point de démarcation, la distance de l’origine à laquelle se trouve ce point, est, par définition, mesurée par y'N.

Remarque. Nous nous sommes bornés fi définir la grandeur dont y'N est la mesure, et, en effet, comme nous l’avons dit (270), il ne nous semble possible de définir un nombre qu’en indiquant comment la grandeur qu’il mesure peut se former au moyen de l’unité.

Racine cubique d’un nombre à une unité près.

298. La racine cubique d’un nombre à une unité près, est le plus grand nombre entier qui soit contenu dans sa racine cubique; c’est, par conséquent, la racine du plus grand cube entier contenu dans ce nombre.

299. Théorème I. La racine cubique, à une unité près, d’un nombre qui n’est pas entier, est la même que celle de sa partie entière.

Si, en effet, un nombre est compris entre deux entiers consécutifs N et N -f 1 , le plus grand cube entier qui y soit contenu est le plus grand cube entier inférieur ou égal à N ; c’est donc • le plus grand cube contenu dans N.

Exemple, étant égal à 6G9 &, sa racine cubique, à une unité près, est la même que celle de 669.