Théorème II. S* un nombre entier est exprimé par 3n

3a — 1 ou 3n — 2 chiffres, sa racine cubique à une unité près, l’est par n chiffres.

Si, en effet, un nombre a 3n — 2, 3n — 1 ou 3n chiffres, il est plus petit que l0 ,n et au moins égal h 1 0 3 "- 5 , c'est-à-dire Sa racine cubique est donc moindre que 10" et au moins égale à lO* -1 ; elle a, par conséquent, n chiffres à sa partie entière.

Exemple. Si un nombre a 10 chiffres, sa racine cubique en a 4, car 10 est égal à 3 x 4 — 2. S’il en a 20, sa racine en a 7, car 20 est égal à 3X7 — 1.

301. Pour extraire la raoine cubique des nombres entiers, il est essentiel de connaître les cubes des 0 premiers nombres; ces cubes sont :

La connaissance de ces cubes permettra de dire , à la seule inspection d’un nombre moindre que 1000, quelle est sa racine cubique à une unité près.

Exemple. La racine cubique de 613 est 8, car le plus grand cube entier qui y soit contenu est 512.

Lorsqu’un nombre est plus grand que 1000, sa racine cubique à une unité près a plus d’un chiffre. La méthode employée pour la trouver, repose sur les deux théorèmes suivants :

302. Théorème III. La racine cubique d’un nombre supérieur d 1000 contient précisément autant de disaines qu'il y a d’unités dans la racine cubique du nombre de ses mille.

Soit le nombre 832174513 : désignant par x le nombre des dizaines contenues dans sa racine cubique, cette racine est comprise entre ®X10 et (x-|- 1) X 10; donc 832174513, l’est lui-même, entre le cube de xxiO ou ar s xi0 3 et le cube de {x -f- 1) X 10 ou (ar -f- 1) 3 x 10 S , c’est-à-dire entre x * x 1000 et (x -f- 1)* X 1000, en sorte que le nombre de ses mille, ou 832174, est compris entre x* et (x + 1)*; la racine cubique de 832174 est donc égale à x.

303. Remarque. Le nombre des dizaines contenues dans la racine cubiquë d’un nombre entier, est, d’après ce qui précède, la racine cubique à une unité près, du nombre obtenu en supprimant ses trois derniers chiffres ; le nombre des dizaines con-

tenues dans cette nouvelle racine est, par la môme raison, la racine cubique du nombre obtenu en supprimant trois noirveaux chiffres; en supprimant encore trois chiffres, la racine cubique du nombre restant sera le nombre de dizaines contenues dans les dizaines de dizaines, et ainsi de suite. Mais les dizaines de dizaines sont des centaines, les dizaines de centaines sont des mille, etc..., par conséquent :

Le nombre des dizaines contenues dans la racine cubique d'un nombre entier, est la racine cubique du nombre obtenu en supprimant ses trois derniers chiffres.

Le nombre des centaines contenues dans la racine cubique d’un nombre entier, est la racine cubique du nombre obtenu en supprimant ses six derniers chiffres.

Le nombre des mille contenus dans la racine cubique d'un nombre entier, est la racine cubique du nombre obtenu en supprimant ses neuf derniers chiffres, etc....

304. Théorème IV. En retranchant d'un nombre entier le cube des dizaines de sa racine, et divisant le nombre des centaines du reste par le triple carré du nombre des dizaines de la racine, on obtient un quotient supérieur ou égal au chiffre de scs unités.

Supposons, par exemple, que la racine cubique de 573217814 se compose de 83 dizaines, plus un cerlain nombre d’unités. Le cube de celle racine contiendra (200) le cube de 83 dizaines plus trois fois le produit du carré de 83 dizaines par les unités, plus trois fois le produit du carré des unités par 83 dizaines* plus le cube des Unités. Le cube de 83 dizaines est 561787 mille, en le retranchant de 573217814, le reste 11430814 devra contenir les trois autres parties du cube de la racine : or, la première «le ces trois parties, le produit du chiffre des unités par le triple carré de 83 dizaines, c’est-à-dire par 20667 centaines, est un nombre exact de centaines qui doit être contenu dans les 114308 centaines de 11430814; par conséquent, le chiffre des unités ne peut surpasser le quotient de la division de 114308 par 20667. C’est précisément ce qu’il fallait démontrer.

303. Remarque I. Pour déterminer la. valeur exacte du chiffre des unités, il faut essayer successivement la limite fournie par le Uiéorème précédent, si elle est moindre que dix, et les nombres d’un chiffre qui lui sont inférieure. Ces essais con-

sislent à former le cube de la racine présumée , si ce cube est contenu dans le nombre proposé, le chiffre essayé est bon* sinon il faut le diminuer.

Kègle générale pour l'extraction de la racine cubique.

300. Les théorèmes précédents ramènent l’extraction de la racine cubique d’un nombre entier à celle d’un nombre qui a trois chiffres de moins. Par la même méthode on ramènera l’extraction de la racine de ce nombre à celle d’un autre plus simple encore, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu'on parvienne à un nombre de un, deux ou trois chiffres dont (301) on apercevra immédiatement la racine. « ...

On est ainsi conduit à la règle suivante :

1° Pour extraire, à une unité près, la racine cubique d’unnombre entier, on le sépare en tranches de trois chiffres à partir de la droite, le nombre de ces tranches, dont la dernière peut ne contenir que un ou deux chiffres, est égal à celui des chiffres de la racine-

Si, en effet, il y a « tranches, le nombre proposé a 3» ou. 3 n — 1 ou 2>n — 2 chiffres, et alors (300) sa racine cubique a n chiffres.

2° Le premier chiffre de la racine est la racine cubique à une unité près du nombre exprimé par la dernière tranche.

Considérons, par exemple, le nombre 831 17451342, auquel nous rapporterons pour fixer les idées, toutes les explications qui vont suivre. Le nombre des dizaines de sa racine cubique est (302) la racine cubique, à une unité près, de 83117451 ; le nombre de ses centaines est (303) la racine cubique, à une unité pvès, de 831 17, et le nombre de ses mille (303) la racine cubique, à une unité près, de 83. Or, 83 est précisément la première tranche à gauche du nombre proposé. La seconde partie de la règle est donc démontrée, et la racine cubique de 83, c’est-à-dire 4, est le premier chiffre de la racine cherchée.

3° Après avoir obtenu ce premier chiffre, on en forme le cube et on le retranche du nombre exprimé par la première tranche ; à la suite du reste, on écrit les trois chiffres qui forment la seconde tranche, et on divise le nombre des centaines du nombre R oins» obtenu, par le triple carré du premier chiffre de la racine. Le quotient est égal ou supérieur au second chiffre.

Théorie des cubes et des racines cubiques.

Le nombre de centaines contenues dans la racine est, en effet, ta racine cubique à une unité près de 83117. Pour trouver le nombre de ces centaines, c’est-à-dire les deux premiers chiffres de la racine cherchée, il suffit donc d'extraire ta racine cubique de 83117, dont on connaît déjà le chiffre des dizaines 4. Pour cela, on retranchera de 83117 le cube des 4 dizaines de sa racine, et en divisant les centaines du reste par le triple carré de 4, on obtiendra (304) le chiffre des unités ou un chiffre trop fort.

Le cube de 4 dizaines est 64000, qui, retranchés de 83117, laissent pour reste 19117; en divisant 191 par 48, triple carré de 4, le quotient est 3. Le chiffre des unités de la racine de 83117, c’est-à-dire le second chiffre de la racine cherchée ne peut donc pas surpasser 3.

4° On détermine la valeur exacte de ce second chiffre, en essayant successivement le quotient trouvé, s'il est moindre que 10, et les nombres d'un chiffre qui lui sont inférieurs; pour cela, on écrit le chiffre à essayer à la droite du premier chiffre de la racine; on fait le cube du nombre ainsi obtenu; si ce cube peut se retrancher du nombre formé par les deux premières tranches, le chiffre essayé est bon, sinon, il faut essayer le chiffre inférieur d’une unité.

La racine cubique de 83117 étant, d’après ce qui précède, tout au plus égale à 43, si nous vérifions, en effet, que 43 n'est pas plus grand que cette racine, il lui sera évidemment égal. Or, c’est là ce que l’on fait en formant le cube de 43 pour voir s’il peut se retrancher de 83117.

Le cube de 43 est 79507, qui, retranché de 83117, laisse pour reste 3610. Le chiffre 3 est donc bon.

5° A la droite du reste obtenu dans l’essai qui a réussi, on écrit les trois chiffres de la troisième tranche, et on divise les centaines du nombre ainsi forme par le triple carré de l’ensemble des deux premiers chiffres de la racine, le quotient est supérieur ou égal au troisième chiffre.

Le nombre des dizaines contenues dans la racine est, en effet (303), la racine cubique, à une unité près, de 83117451. Pour trouver ce nombre de dizaines, c’est-à-dire les trois premiers chiffres de la racine, il suffit donc d’extraire la racine cubique de 83117451, dont on connaît déjà le nombre des dizaifies 43. Pour cela, on retranchera de 83117451 le cube des

43 dizaines de sa racine, en divisant les centaines du reste par le triple carré de ces dizaines , on obtiendra (304) pour quotient le chiffre des unités ou un chiffre trop fort.

L’excès de 83117451 sur le cube de 43 dizaines est 3610451 , en divisant 36104 par 5547 triple carré de 43, on obtient 6 pour quotient. Le troisième chiffre de la racine est donc inférieur ou égal à 6.

6° On détermine la valeur exacte de ce troisième chiffre en essayant successivement le quotient trouvé s’il est moindre que 10 et les nombres d’un chiffre qui lui sont inférieurs. Pour cela, on écrit le chiffre à essayer à la droite du nombre formé par l'ensemble des deux premiers chiffres de la racine, et on forme le cube du nombre ainsi obtenu. Si ce cube peut se retrancher du nombre formé par l’ensemble des trois premières tranches , le chiffre essayé est bon, sinon il faut le diminuer d’une unité et l’essayer de nouveau.

En effet, la racine cubique, à une unité près, de 83117451 , étant , d’après ce qui précède , tout an plus égale à 436 , si nous vérifions que 436 n’est pas plus grand que cette racine, il lui est nécessairement égal. Or, c’est ce que l’on fait en formant le cube de 436 pour voir s’il peut se retrancher de 83117451 .

Lecubede436esl 82882186 qui peut se retrancher de 831 17451 , le reste est 235595. Le chiffre 6 est donc bon; l’opération nous apprend en outre que l’excès de 831 17451 sur le cube de 436 est 235595.

7° Lorsque l’on a trouvé le troisième chiffre , une marche toute semblable fournit le quatrième , puis le cinquième, etc.

Ceci n’a pas besoin d’explication. Dans le cas actuel, pour déterminer le quatrième chiffre de la racine, à la droite du reste 235595, on écrira la tranche suivante 342 etonformera te nombre 235595342, et l’on divisera te nombre de ses centaines 2355953 par le triple carré de 436 qui est 570288 , le quotient est 4 , et , par conséquent (304) , le dernier chiffre de la racine ne peut être plus grand que 4. Le cube de 4364 est 83110180544 qui peut se retrancher de 83117451342 et laisse pour reste 7270798 ; le chiffre 4 est donc bon; la racine cubique de 83117451342 est par conséquent 4364 , et le reste 7270798 ; on a par conséquent

83117451342 = (4364)* + 7270798 , résultat facile à vérifier.

507. Les ealculs se disposent ordinairement de la manière suivante :

Outre les calculs indiqués, il a fallu former successivement le cube de 43, celui de 436 et celui de 4364. Ces calculs se font à part et on n’écrit que le résultat des soustractions qui apprennent si les chiffres essayés sont bons.

50». Théorème. Le reste obtenu dans l’extraction d’une racine cubique ne peut jamais surpasser le triple carré de lu racine plus le triple de la racine.

Soient, en effet, N un nombre entier, H sa racine cubique à une unité près i le reste de 1 opération est la diftéi ence N R . Cette différence est moindre que 3R 5 +3R + 1, car sans cela, N serait au moins égal à R S +3R‘+3R + 1 , c’est-à-dire à (R-f-U s et sa racine serait au moins égale iiH-fl.

Remarque. Il arrive quelquefois que l’habitude du calcul faisant présumer qu’un chiffre à essayer est trop grand, on le diminue immédiatement d’une unité. En l’essayant après cette diminution, ou s’assure qu il n est pas tiop fort, et on sauta qu’il n’est pas trop faible si le reste correspondant ne surpasse pas le triple carré du nombre formé par les chiffres déjà trouvés à la racine , plus le triple de ce nombre.

Calcul des racines cubiques ‘a une approximation donnée.