Chercher la racine cubique de N à un nombre donné
près, c’est chercher le plus grand multiple de \ contenu dans
v'N. Une pareille recherche peut se ramener au calcul d’une racine cubique , à une unité près.
La valeur approchée de la racine étant, en effet, par définition
un multiple de - , est de la forme f , x étant entier, y'N doit être r n n
alors moindre que — - — et par conséquent les trois nombres
Tl
n” ir ’ n 3 »
sont rangés par ordre de grandeur.
„ En multipliant ces trois nombres par l’ordre de grandeur ne changera pas et par conséquent, N x n> est compris enlrc x s et (ar-f 1)*; a? est par suite le plus grand cube entier contenu dans N X n 3 , d’où il résulte (298) que x est la racine cubique tle Nxn 3 à une unité près.
Nous pouvons donc énoncer la règle suivante :
Pour extraire la racine cubique du nombre N , à un nombre
donné i près, U faut extraire , à une unité près, la racine cubique
du produit N X n 5 et diviser le résultat par n.
Exemple. Soit à extraire la racine cubique de ^ à $ près. Multiplions ^ par 343 cube de 7, le produit est c’est-à-
dire ou 5007 sa racine cubique, à une unité près, la même que celle de 5007 (299) est 17, par conséquent la racine cubique de ^ à 4 près est 17 x 4 ou -V 7 .
510. Remarque. Lorsque le dénominateur d'une fraction est un cube parfait b 3 , pour obtenir sa racine cubique à ~ près, il
suffit d’extraire la racine cubique du numérateur à une unité près et de la diviser par b. En effet, pour extraire la racine cubique de à | près, il faut (509) multiplier ^ par b 3 , extraire
la racine cubique du produit a à une unité près, et diviser le résultat par b. Ce qui est précisément l'opération indiquée. ,
Pour extraire la racine cubique d’une fraction lorsque le degré d’approximation n’est pas fixé, on commence souvent par rendre son dénominateur un cube parfait, et on profite alors de la remarque précédente. Pour cela il suffit de multiplier les deux termes de celte fraclion par le carré du dénominateur.
Exemple. Soit à extraire la racine cubique de 1 i, cette frac-
tion est égale à — ^ — = ~îï^ ' P our avoir 83 racine cubique à {
près, il suffit donc d’extraire à une unité près la racine, cubique de 1825 qui est 12 et, de la diviser par 5, la racine cubique de ^ à £ près est donc .
Quelquefois, pour rendre le dénominateur d’une fraction un tube parfait, on peut employer un multiplicateur moindre que le carré de son dénominateur : il suffit, en effet, que tous seà facteurs premiers acquièrent des exposants divisibles par 3, ce • qui aura évidemment lieu si on multiplie le dénominateur par le produit de tous ceux de ses facteurs premiers dont l’exposant est de la forme 3» -f- 2, et pur le carré de ceux dont l’exposant est de la forme 3» + 1 .
Soit par exemple la fraction — = 2*x3*x 5 ' Pour rent * re
son dénominateur uir cube parfait on multipliera ses deux
termes par 3X5*, et elle deviendra ÿ x 3 3 X 5’ = ~W' P ° Ur
avoir sa racine cubique à fa près, il suffit d’extraire à une unité près la racine cubique de 14775 qui est 24, et de la diviser par 36, la racine cubique de à fa près, est donc
Calcul d’une racine cubique à — près.
311. Supposons que le nombre N, dont on veut évaluer la racine cubique, soit réduit en décimales. D’après la règle précédente, pour extraire la racine à ^ près, il faut le multiplier
par 10 5 ", extraire, à une unité près , la racine cubique du produit et diviser le résultat par 10". Pour multiplier N par ÎO*" on avancera la virgule de 3» rangs vers la droite , et pour extraire, à une unité près, la racine cubique du produit, il suffit (299) d’opérer sur sa partie entière; par conséquent, pour
déterminer la racine cubique d’un nombre N, à — près, il suffit
de connaître les 3n premiers chiffres décimaux de la valeur de N en décimales.
TQB0H1B DES CUBES BT DBS RACINES CI MQUES.
Cas où le degré d'approximation n’est pas précisé.
512. Dans la plupart des cas, il n’y a aucun intérêt à connaître la racine cubique d’un nombre à un degré assigné d’approximation, et l’on doit chercher seulement le moyen d’en obtenir des valeurs de plus en plus approchées.
On doit alors procéder comme il suit :
Soit N un nombre et a une valeur approchée de sa racine cubique, que nous supposons obtenue par un moyen quelconque, désignons par a-f x la valeur exacte, nous aurons
N = (a x) s = a 9 3a*x -)- 3ax* -f- x 3 ,
et si l’on remarque que x est très-petit, on peut négliger x* et x* comme étant beaucoup plus petits encore. On aura donc approximativement
d’où l’on déduira , pour valeur approchée de x,
On reconnaîtra sans peine que cette valeur approchée de x es’ trop grande, en sorte que, en adoptant pour racine
b sera une valeur approchée par excès.
En désignant par b — y, la valeur exacte de V'N, on aura
N = {b-yf,
ou, comme on le verra facilement,
H-b» — 3b'y -f-3ty* — y 3 ;
en sorte que, y’ et y 3 étant négligés, on peut écrire, approximativement , f
«l’où l’on déduira sans peine
3 ôy* étant évidemment plus grand que y*, il est facile de voir que si l’on n’avait pas négligé ces termes, la valeur de y aurait dû être diminuée, celle que l'on a trouvée est donc trop grande, et, par conséquent, en adoptant pour racine
on aura une valeur de approchée par défaut.
On pourra continuer ainsi indéfiniment, et les résultats successivement obtenus étant alternativement trop grands et trop petits, deux valeurs successives différeront l’une de l’autre plus qu’elles ne diffèrent chacune de la racine cherchée, et leur différence donnera par suite une limite de l’erreur commise. •
RÉSUMÉ
290. Cube de la somme de deux nombres. — Différence de deux cubes entiers consécutifs. — 291. Cube d’un produit. — 292. Le cube d’un nombre entier est terminé par le même chiffre que le cube du chiffre de ses unités. — 293. Le cube d'un nombre entier ne peut être terminé par un nombre de zéros qui ne soit pas divisible par 3. — 294. La condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre entier soit le cube d’un autre nombre entier, est que les exposants de ses facteurs premiers soient tous divisibles par 3. — Un cube divisible par un nombre premier p, t’est aussi par p ' et p 5 . — 293. Aucune fraction n’a pour cube un nombre entier. — 296. Définition de la racine cubique, lorsque le nombre est un cube parfait. — 297. Définition de la racine cubique lorsqu’elle est incommensurable. On se borne à définir la grandeur dont elle est la mesure. Il est impossible de définir aulrementun nombre abstrait. — 298. Racinecubique d’un nombre à une unité près. — 299. Elle est la même que celle de la partie entière. — 300. Si un nombre entier est exprimé par 3n, 3n — 1 ou 3n — t chiffres, sa racine cubique, à une unité près, le sera par n chiffres. — 501 . Lorsqu’un nombre est moindre que 1000 la connaissance des neuf premiers cubes en-
tiers fait immédiatement connaître sa racine cubique À une unité prés. — 502. La racine cubique d’un nombre contient précisément autant de dizaines qu’il y a d’unités dans la racine cubique du nombre de ses mille.
— 505. On en conclut que le nombre de centaines contenues dans la racine cubique d’un nombre entier est la racine cubique du nombre obtenu en supprimant lessix derniers chiffres. — Le nombre des mille est la racine cubique du nombre obtenu en supprimant les neuf derniers chiffres, etc.
— 504. En retranchant d’un nombre entier le cube des dizaines de sa racine et divisant le résultat par le triple carré du nombre de ces dizaines, on obtient un quotient supérieur ou égal au chiffre de ses unités.
— 505. Ayant une limite supérieure du chiffre des unités, on peut, par des essais, calculer sa valeur exacte. — 506. Les théorèmes précédents permettent d’énoncer la règle générale pour l'extraction de la racine cubique d'un nombre entier à une unité près — 507. Manière de disposer l’opération. — 508. Le reste est moindre que trois fois le carré de la racine plus trois fois la racine plus I. — 509. Pour calculer la racine cubique d’un nombre N à un nombre donné b près, il faut diviser N par t*, extraire à une unité près la racine cubique du quotient et multiplier le résultat par 6. — 510. Approximation dans le cas d’une fraction dont le dénominateur est un cube parfait. — Moyen de rendre le plus simplement possible le dénominateur d’une fraction égal à un cube. —
511. Racine cubique à ^ près. — 512. Racine cubique avec une approximation indéterminée.
EXERCICES
I. Un nombre entier étant donné, comment pourra-t-on s’assurer s’il est la différence de deux cubes consécutifs , et trouver ces deux cubes?
II. a et b désignant deux nombres quelconques ; 6* -j- a k ô* -f a*6‘ -f b 6 est-il plus grand ou plus petit que le cube de (a’ + 6*)?
TU. La somme des cubes des premiers nombres entiers est égale au carré de la somme de ces nombres.
IV. Si deux nombres entiers , A et B, ont le môme nombre de chiffres, et qu’ils aient plus de la moitié des chiffres à gauche en commun, on a
