COMPLÉMENT DES DEUX CHAPITRES PRÉCÉDENTS

Généralités sur les nombres incommensurables.

315. Quand deux grandeurs n’ont pas de commune mesure, leur rapport ne peut être représenté par aucun nombre entieé ou fractionnaire. Il existe de pareilles grandeurs. Nous avons vu , par exemple , que si un nombre n’est pas un carré ou un cube parfait, sa racine carrée ou cubique représente une grandeur parfaitement déterminée, qui n’a pas de commune mesure avec l’unité.

Un nombre incommensurable ne peut se définir qu’en indiquant comment la grandeur qu’il exprime peut se former au , moyen de l’unité. Dans ce qui suit, nous supposons que cette définition consiste à indiquer quels sont les nombres commensurables plus petits pu plus grands que lui; on peut alors concevoir la grandeur dont il est la mesure comme servant de limite commune à celles qui sont représentées par des nombres plus grands ou plus petits, absolument comme on l’a indiqué à l’occasion des racines carrées (273).

Addition et soustraction des nombres incommensurables.

314 . Ajouter ou soustraire deux nombres incommensurables, c'est trouver un nombre exprimant la somme ou la différence des grandeurs exprimées par les nombres proposés.

Multiplication.

513. Si le multiplicateur est commensurable, il n’y a aucune modification à apporter à la définition.

E snm. Le produit de yÆ par 7 , est un nombre exprimant

une grandeur 7 fois plus grande que celle qu’exprime v'2. Le produit de ^2 par J, est un nombre exprimant une grandeur égale aux trois quarts de celle qu’exprime ^2.

Si le multiplicateur est incommensurable , il faut une définition nouvelle. Nous appellerons produit d'un nombre A par un nombre incommensurable B, un nombre moindre que le produit de A par un nombre commensurable quelconque supérieur à B, et plus grand que le produit de A par un nombre commcnsurablc quelconque moindre que B.

Oivbion.

îS16. Diviser deux nombres A et B l’un par l’autre, c’est trouver un troisième nombre qui, multiplié par le diviseur B, reproduise le dividende A. Cette définition s’applique quels que soient les nombres A et B, commensurables ou incommensurables.

Racines carrées et cubiques.

517. La racine carrée ou cubique d’un nombre incommensurable est un nombre qui , pris deux ou trois fois comme facteur, donne un produit égal au nombre donné.

Remarque. La seule opération qui exige une définition véritablement nouvelle est celle de la multiplication, toutes les autres se rattachent à celle-là.

Théorèmes relatifs aux nombres incommensurables.

5i8. Théorème I. On peut toujours trouver deux nombres commensurables ayant une différence aussi petite que l’on voudra et qui comprennent entre eux un nombre incommensurable donné. Soit» un nombre entier quelconque ; si l’on considère la suite

etc..

on voit que scs termes augmentent sans limite , et comme ifs commencent à 0, le nombre donné, quel qu’il soit, est néces-

oc sc { 1

sain ment compris entre deux d'entre eux, - et ■ , et l’on

peut prendre n assez grand, pour que leur différence i soit aussi petite qu'on le voudra.

319. Remarque. D’après ie théorème précédent, nous admettrons, comme évident, que les théorèmes suivants, qui ont été démontrés pour des nombres commensurables quelconques, s’appliquent aussi à de3 nombres incommensurables.

Dans un produit de plusieurs facteurs , on peut changer tordre des facteurs.

Pour multiplier un nombre par le produit de plusieurs facteurs , on peut le multiplier successivement par ces divers facteurs.

Pour multiplier un produit par un nombre , il suffit de multiplier un de ses facteurs par ce nombre.

Pour multiplier un produit par un autre produit , il suffit de former un produit unique avec les facteurs du multiplicande et ceux du multiplicateur.

Pour multiplier deux puissances d'un même nombre , il suffit d'ajouter les exposants.

Les théorèmes relatifs au calcul des expressions fractionnaires de la forme g U 07), s’appliquent au cas où A et b désignent des nombres incommensurables.

Complément des deux chapitres relatifs aux racines carrées el cubiques.

320. Théorème I. La racine carrée d’un produit est égale ait produit des racines carrées des facteurs.

Soient a, b, c, ddes nombres quelconques, il faut prouver que

y'a X b X c X d = y'ü X \ b X^X \Jd.

Pour prouver que le second membres est égal à y X è x c x d, il suffit de faire voir que son carré est aX b x c x d. Or, on a, d’après les théorèmes énoncés (319) :

(v'«Xv / ÎXv'cX^) , =V , aXv/ïXv / ëXv / ^X y/«X ^ÏX^X^ = (v'ô)* X (v'ï)’ X (v'cf x (v'd/ = aX 6 Xc Xd.

Ce qui démontre la proposition énoncée.