Four extraire la racine carrée d’un nombre A, à un

nombre donné ^ près, il faut multiplier A par n\ extraire la

racine carrée du produit, 5 une unité près, et diviser le résultat par n. Cette règle s'applique sans modification au cas où A est incommensurable.

Exemple. Soit à calculer à l, près Vil -f- ^28.

Le nombre dont il faut extraire la racine carrée est ici

1! + ^28; c’est donc cette somme qu’il faut multiplier par 7* ou 19 : le produit est

on calculera donc à une unité près la racine carrée du produit 28 X(49)’, on lui ajoutera 11x49, on extraira la racine carrée du résultat à une unité près, et on la divisera par 7.

Remarque. Quand le degré d'approximation demandé est

mesuré par un nombre de la forme on peut se servir de la

remarque faite (286).

Exemple. Soit à calculer à près ^17 + ^11.

Four calculer la racine carrée d’un nombre à près, il suffit (286) de connaître quatre décimales exactes dans la valeur de ce nombre ; on commencera donc par calculer 17-j-^l l

;• yytaj; près : pour cela, on extraira y ' 11 à 7^55 près, et l’on ajoutera 17 au résultat. On multipliera cette somme par 10000,

on extraira la racine carrée du produit à une unité près et on la divisera par 100.

Racine cubique des nombres incommensurables.

329. Pour extraire la racine cubique d’un nombre A à un nombre donné - près, il faut (309) multiplier A par »*, extraire

la racine cubique du produit à une unité près, et diviser le résultat par ». Celte règle s'applique sans modification au cas oit A est incommensurable.

Exemple. Soit à calculer à -Jj près y 15 -(- \/17.

Le nombre dont il faut extraire la racine cubique est ici 15 -|- v^l7 : c’cst donc cette somme qu’il faut multiplier par le cube de 12 ou 1728 : le produit est

on calculera donc, à une unitéprôs, la racine carrée du produit 17 X (1728)’, on y ajoutera 15X1728, on extraira à une unité près la racine cubique du résultat, et on la divisera par 12.

330. Remarque. Quand le degré d’approximation demandé est mesuré par un nombre de la forme on peut se servir de la remarque faite (311).

Exemple. Soit à calculer à près V 7 + y 132.

Pour calculer la racine cubique d’un nombre à ^ près, c’està-dire avec une décimale exacte, il suffit (311) de connaître 3 décimales exactes dans la valeur de ce nombre. On commencera donc par calculer 7 + y 132 à nfcÿ près; pour cela, on calculera vÏ32 à près, on ajoutera 7 au résultat, puis on multipliera la somme par 1000, on extraira la racine cubique du produit à une unité près , et on la multipliera par tV

Racines quatrièmes.

331. La racine quatrième d’un nombre A est le nombre dont la quatrième puissance est A.

Théorème. La racine quatrième d'un nombre est la racine carrée de sa racine carrée.

Soit A un nombre quelconque, sa racine quatrième est désignée par y'Â , et l'on a

A =r y A X v  X y A X y/ , ce que l’on peul écrire (319)

A«:(Wx(Wi

d’où il résulte que (v Â)’ est la racine carrée de A, et que, par conséquent, v À est la racine carrée de la racine carrée de A; on a donc

Kem arque. Le théorème précédent permet d’extraire la racine quatrième d’un nombre avec une appproximalion donnée.

Exemple I. Calculer y 1 726 § « wne unité près.

ün a ^17261=^1726*;

il s’agit donc d’extraire, à une unité près, la racine carrée du nombre y 1726 <} : pour cela, il suffit (873) d’opérer sur la partie entière de ce nombre; on cherchera donc la partie entière de v/1726^. qui est égale (273) à la racine carrée à une unité près, de 1726, et on extraira ensuite la racine carrée du résultat h une unité près.

Exemple II. Calculer \ 12 , 5178214 à un dixième près.

On a v ; 12, 5178214 = yV 12,5178214;

il s’agit donc d’extraire , à un dixième près, la racine carrée du nombre y 12,5178214 : pour cela, il faut calculer ce nombre à jfas près (286). Or, pour calculer v 12,5178214 à xbv P>'ès , on extraira, à une unité près, la racine carrée de 125178 et on la divisera par 100 ; on extraira ensuite la racine carrée du résultat h 1 % près.

Racines huitièmes.

852. La racine huitième d’un nombre A est le nombre dont la huitième puissance est A.

Tbsorkmb. La racine huitième d'un nombre est la racine carrée . de sa racine quatrième.

Soit, en effet, A un nombre quelconque; sa racine huitième est désignée par v A, et l’on a

A==v'Sxv'ÂXv / ÂXv'Â Xv'ÂXv'Â x’^ÂXv'Â;

ce que l’on peut écrire (310)

A=WxWx(Wx(W,

d’où il résulte que (y' A) 1 est la racine quatrième de A, et, par conséquent, v'A, la racine carrée de la racine quatrième de A; on a donc

v'Â = vVÏ;

et, d’après la valeur de v'A (331),

Remarque. Le théorème précédent permet d’extraire la racine huitième d’un nombre avec une approximation donnée. Exemple. Calculer vl347,45 à une unité près.

On a \*/!347,-i5 = 1347, 45 ;

il s’agit donc d’extraire, à une unité près , la racine carrée du nombre 0 1347,45; pour cela, il suffit d’opérer su r la par tie entière de ce nombre ; on calculera donc d’abord ^1 347,45, h une unité près (331), puis on extraira la racine carrée du résultat à une unité près.

Racines sixièmes.

533. La racine sixième d’un nombre A, est le nombre qui, élevé à la sixième puissance, reproduit A.

Théorème. La racine sixième (l'un nombre est la racine carrée de sa racine cubique.

Soit, en effet, A un nombre quelconque ; sa racine sixième étant désignée par $A, on a

A = $À Xv'ÂX y. X v  X $A X $Â,

ce qui peut s’écrire (519)

d’où il résulte que (v'A) 1 est la racine cubique de A, et, par conséquent, v'A la racine carrée de v'A. On a donc :

Remarque I. On démontrerait de même que la racine sixième d’un nombre A est égale à la racine cubique de sa racine carrée.

Remarque 11. Le théorème précédent permet d’extraire la racine sixième d’un nombre avec une approximation donnée. Exemple. Calculer $1532,4531452 à -feprès.

On a $1532,4531452 = VV 1532,4531452 ;

il s’agit donc d'extraire à près la racine carrée du nombre $1532,4531452. Il faut, pour cela (286), calculer ce nombre à t l près, opération que Ton sait effectuer, multiplier le résultat par 100, extraire la racine carrée du produit à une unité près, et la diviser par 10.

Produit d’une racine carrée par une racine cubique.

554. La racine carrée d'un nombre est égale à la racine sixième de son cube, et sa racine cubique, à la racine sixième de son carré. On peut donc regarder le produit d’une racine carrée par une racine cubique comme le produit do deux racines sixièmes. Or, on démontrera absolument, comme pour les racines carrées et cubiques, que le produit des racines sixièmes de deux nombres est égal à la racine sixième de leur produit,

en sorte qu'en désignant par « et 6. deux nombres quelconques, on a

y a X ÿb = V â* X v'6* = v'â 7 XÔ ? .

D’après cela, on pourra toujours calculer, avec une approximation donnée , le produit d’une racine carrée par une racine cubique.

RÉSUMÉ

315. Un nombre incommensurable ne peut se définir qu’en indiquant comment la grandeur qu’il mesure dérive de l’unité. On conçoit, en général, cette grandeur comme la limite commune de celles qui sont mesurées par des nombres commensurables plus grands ou plus petits. — 314. Définition de l’addition et de la soustraction des nombres incommensurables.

— 31S. De la multiplication. — 316. De la division. — 317. De la racine carrée ou cubique. La seule opération qui exige une définition véritablement nouvelle est la multiplication. — 318. Un nombre incommensurable est toujours compris entre deux nombres commensurables aussi peu différents qu’on le désire. — 319. D’après cela il existe toujours des nombres commensurables différant aussi peu que l’on veut de nombres incommensurables donnés, et l’on admet, comme évidents , les théorèmes suivants : dans un produit de facteurs incommensurables on peut changer l’ordre des facteurs ; pour multiplier par un nombre un produit de facteurs incommensurables, il suffit de multiplier l’un d’eux; pour multiplier deux produits l’un par l’autre, il faut former un produit unique avec tous leurs facteurs; pour multiplier deux puissances d’un même nombre, il faut ajouter leurs exposants. Les règles relatives aux expressions fractionnaires de la forme ? s’appliquent au cas

où a et b sont incommensurables. — 320. La racine carrée d’un produit est le produit des racines carrées des facteurs. — 32 1 . Le théorème s'applique aux racines cubiques; la démonstration est la même.

— 322. Les deux théorèmes précédents permettent de calculer le produit de plusieurs racines carrées ou cubiques. — 323. On peut de même calculer le produit d’une racine carrée ou cubique par un nombre commensurable. — 324. La racine carrée d’une expression fractionnaire

r est égale à — 323. Le même théorème s’applique à la racine cu-

bique. — 326. On peut calculer le rapport de deux racines carrées ou cubiques. — 327. Ou le rapport d’une racine carrée ou cubique à un nombre commensurable. — 528. Racine carrée d’un nombre incom-

mensurable A , à moins de - près; on multiplie A par n‘, on extrait la

racine carrée à une unité près du produit et on ta divise par n. — 329. Règle analogue pour les racines cubiques. — 330. Cas où le degré

d’approximation est de la forme — . — 331. La racine quatrième d'un

nombre est la racine carrée de sa racine carrée. — 332. La racine huitième est la racine carrée de la racine quatrième. — 333. La racine sixième est la racine carrée de la racine cubique, ou la racine cubique de la racine carrée. — 334. Le produit d’une racine carrée par une racine cubique peut s'exprimer par une racine sixième.

EXERCICES

I. A et B était! deux nombres commensurables, trouver les conditions qu’ils doivent remplir , pour que \f\ et v^B soient commensurables. Même question pour y'" A et yB, y A et y'B.

H. Démontrer l'égalité