CHAPITRE XYII
THÉORIE DES PROGRESSIONS
Progressions par différence.
35o. Une progression par différence est une suite de nombres tels que la différence de l’un d’eux au précédent soit constante : cette différence se nomme raison de la progression.
Exemple. Les nombres entiers 1 , 2, 3, 4... forment une progression par différence dont la raison est 1.
Pour indiquer que des nombres forment une progression, on les écrit à la suite les uns des autres en les faisant précéder du signe r et plaçant un point dans chaque intervalle. Exemple :
est une progression dont la raison est 5. .
Remarque. Si l’on écrit en sens inverse les termes d’une progression, la différence d’un terme au précédent reste la môme, mais elle change de sens. Ainsi la progression précédente peut s’écrire :
On lui donne alors le nom de progression décroissante.
Valeur d’un terme de rang quelconque dans une progression.
330. Dans une progression croissante, chaque terme peut se former en ajoutant la raison au précédent; il en résulte que pour former un terme de rang quelconque , il faut ajouter au premier autant de fois la raison qu’il y a de termes avant celui que l’on considère.
Dans une progression décroissante un terme de rang quelconque est, au contraire, égal au premier, diminué d'autant de
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fois la raison qu'il y a de termes avant celui que l'on considère. Exemple. Dans la progression :
le terme 34 est égal à 4 augmenté de 6 fois 5 ou 30.
Remarque, a étant le premier terme d’une progression croissante, et r sa raison, le terme est égal à a-f-(n — 1) X r. Si la progression est décroissante, a et r, désignant toujours le premier terme et la raison, la valeur du n*” terme est a — (w — 1) Xr.
Insertion de moyens arithmétiques.
337. Insérer m moyens arithmétiques entre deux nombres, « et /, c’est former une progression dont a ctl soient les termes extrêmes cl dont ces m moyens soient les termes intermédiaires.
Pour calcule! 1 ces moyens et la raison de la progression qu’ils forment, remarquons que cette progression aura m -f- 2 termes; le dernier terme /* que nous supposerons plus grand que a, sera donc (530) égal h a augmenté de (m-j-l) fois la raison. L’excès de l sur a est donc égal h tn- 1-1 fois la raison cherchée, et, par conséquent, cette raison
r est - — ~ . Connaissant la raison et le premier terme , on forwj -f- 1 1
mera sans peine tous les autres.
530. Remarque I. La raison ne dépend que de la différence l — a et du nombre de moyens insérés. Il en résulte que si l’on considère une progression
et que l’on insère m moyens entre a et b, m entre b et c, m entre c et d, etc., les progressions ainsi formées auront toutes" même raison, et comme le dernier terme de l’une est le premier de la suivante, on pourra les considérer comme n’en faisant qu’une seule.
