Remarque IL Quel que soit le nombre de moyens in

THÉORIE DES PROGRESSIONS

sérés entre deux nombres a et l, la raison de la progression obtenue est le quotient de la division de l—a par un nombre entier. Réciproquement , on peut déterminer le nombre des moyens insérés de telle sorte que le nombre entier par lequel il faut diviser / — a, pour obtenir la raison, ait telle valeur que l'on voudra.

Si l’on veut, par exemple, que la raison soit — , il faut insérer trois moyens.

Problème relatif h l’insertion des moyens.

540. Trouver une progression dont fassent partie des nombres donnés, a, b, c, d, e.

Supposons ces nombres ranges par ordre de grandeur : ils seront séparés, dans la progression inconnue, par des termes intermédiaires qui pourront être considérés comme des moyens insérés entre a et b, entre' b et c, entre c et d et entre d et e. La raison doit donc être (330) contenue un nombre entier de fois dans chacune des différences b — a, c — b, d — c, e — d. Si ces différences sont des nombres entiers, on prendra donc pour raison l’un quelconque de leurs diviseurs communs; sinon, on les réduira au même dénominateur, et l’on prendra pour raison une fraction qui aura même dénominateur que chacune de ces différences, et pour numérateur, un diviseur commun de leurs numérateurs.

Somme des termes d’une progression par différence.

541. Théorème. Dans une progression par différence la somme de deux termes également distants des extrêmes est constante et égale à la somme des termes extrêmes.

Désignons par a et t les termes extrêmes d'une progression, et par r sa raison. Le terme qui suit a, est a -j- r, celui qui précède /, estf — r, et il est évident que leur somme est égaleita-fL Le terme qui suit a de deux rangs est a-\-2r, celui qui précède l de deux rangs, l — 2r, et leur somme est encore a-)-/. En général, le terme placé n rangs après a,

246 THÉORIE I>ES PROGRESSIONS

est <r+«r, le terme placé n rangs avant l est l — tir, et l'on a évidemment

a -f- nr -f - 1 — nr = a -j- /.