Soit une progression

Écrivons cette progression sur une seconde ligne horizontale en la renversant de telle sorte que les termes à égale distance des » extrêmes se correspondent verticalement dans les deux lignes :

Si on ajoute les termes de la suite [t] et ceux de la suite [2], on aura évidemment le double de la somme cherchée puisque chaque terme entrera deux fois. On aura donc, en désignant celte somme par s,

(a— )— /J — f— (é> — f- A) — (— (c — ...,+0‘+O-f(*+&)+tf+a);

mais (541), toutes les sommes indiquées entre parenthèses sont égales à la somme a -f - 1 des termes extrêmes, et comme leur nombre est le nombre n des termes de la progression, on a

Remarque. Si l’on connaissait seulement le premier terme «, la raison r, et le nombre n des termes , il faudrait , pour appliquer le résultat précédent, commencer par calculer le dernier terme l. On aurait (33G) l = a-(-(» — l)r, et par conséquent ,

Exemple. Calculer la somme des n premiers nombres impairs, 1 -f* 3 — (— 5 -}- 7 -(- .... -j- 2n — 1 .

Ces nombres forment une progression de n termes, leur somme est donc

THÉORIE DES PROGRESSIONS. 247

ainsi la somme des.» premiers nombres impairs esi égale au carré de ».

Progression par quotient.

343. Une progression par quotient est une suite de nombres tels que le rapport de l’un d’eux au précédent soit constant. Ce rapport se nomme raison de la progression.

Exemple. Les nombres 1,10, 100, 1000, etc., forment une progression par quotient dont la raison est 10.

Pour indiquer que des nombres forment une progression par quotient, on les écrit à la suite les uns des autres, en les faisant précéder du signe ft, et plaçant deux points dans chaque intervalle.

Exemple, 4 : 8 : 16 : 32 : 64 : 128 : etc., est une progression par quotient dont la raison est 2.

Remarque. Si l’on écrit en sens inverse les termes d'une progression, le rapport d’un terme au précédent prend une valeur réciproque de celle qu’il avait : ce rapport est donc encore constant , et l’on a une nouvelle progression, décroissante si la première était croissante.

Exemple, k 128 : 64 : 32 : 16 : 8 : 4, est une progression décroissante dont la raison est

Valeur d’un terme de rang quelconque.

544. Dans une progression par quotient, chaque terme se forme en multipliant le précédent par la raison : il en résulte que pour former un terme de rang quelconque , il faut multiplier le premier, par la raison prise autant de fois comme facteur, qu’il y a de termes avant celui que l’on considère, c’est-àdire par la raison élevée à une puissance marquée par ce nombre de termes.

Remarque, a étant le premier terme d’une progression par quotient et q sa raison, le n™ terme est égal à a x g'~'-

345. Théorème. Si une progression est croissante , on peut la prolonger assez pour que ses termes dépassent toute limite donnée.

THÉORIE DES PROGRESSIONS

Soit une progression croissante ayant pour raison un nombre g supérieur à l'unité :

ff a:b:c:d: :k:l:m.

On a les égalités

1 — kx.q

m = ixq

on en déduit

et comme q est, par hypothèse, plus grand que 1 , la différence m — l est plus grande que l — A. L’excès d’un terme sur le précédent va donc sans cesse en croissant. Or , en supposant cet excès constant, on pourrait, en l’ajoutant au premier terme a, un nombre suffisant de fois , obtenir un résultat aussi grand qu’on le voudrait, et il en est, a fortiori , de même si, comme nous l’avons reconnu, il va en augmentant.

546. Théorème. St une progression est décroissante, on peut la prolonger assez pour que ses termes décroissent au-dessous de toute limite.

Soit une progression décroissante ayant pour raison un nombre q inférieur h l’unité :

aa:b:c:d: :k:l:m.

Les termes

formeront une progression croissante ayant pour raison car des égalités

b = aXq, c = bxq, d = cXq

on «léduit

11 résulte donc du théorème précédent que les fractions 7 , 7 ) - . A l m

peuvent devenir aussi grandes, et, par suite, leurs dénomina-

THÉORIE DES PROGRESSIONS- 249

teurs A, l, m, aussi petits qu’on le voudra. C’est précisément ce qu’il fallait démontrer.

Insertion de moyens par quotient.

547, Insérer m moyens par quotient entre deux nombres .a et /, c’est former une progression dont a et Z soient les termes extrêmes, et dont ces m moyens soient les termes intermédiaires.

Pour calculer ces moyens et la raison de la progression qu’ils forment , remarquons que cette progression ayant m -f- 2 termes, le dernier terme,/ est égal (544) à a multiplié par la puissance (m -f- 1)"” de la raison; on en conclut que le

rapport - est la puissance m + 1“* de la raison, et que, par

fl .

conséquent, celte raison est w -• Connaissant la raison et le premier terme, on formera sans peine tous les autres.