Remarque I. La raison ne dépend que du rapport - et
du nombre des moyens insérés ; il en résulte que si on considère une progression
ft a:b\c :d:e. A:/,
et que l’on insère m moyens entre a et b , m entre b et c, m entre
c et d les progressions ainsi formées auront toutes même
raison , et comme le dernier terme de l’une est le premier de la suivante, on pourra les considérer comme n’en faisant qu’une seule.
349. Remarque II. Pour que trois nombres a, b et c puissent faire partie d’une même progression , il faut qu’on puisse insérer entre a et c un nombre de moyens tel, que la progression qu’ils forment compte b parmi ses termes; en désignant par m ce nombre inconnu de moyens, la raison de la progression est
THÉORIE DES PROGRESSIONS
Pour que b soit Ion"' terme de cette progression, on doit avoir
ou, ce qui revient au même,
Pour que ces deux quantités soient égales , il faut que leurs puissances le soient elles-mêmes, et, par conséquent,
Û w+ * tt** - **
Supposons que b, a et c soient commensurables, il en sera de
même de — et — ; si nous désignons par -, et - les fractions
irréductibles équivalentes, l égalité [3] revient à
é ," +1 Ci*-'
ar* ' a,*- 1 ’
Mais ces deux fractions sont (id6) irréductibles, et ne peuvent être égales que si
b,”*' — Ci*-',
Oi* +l = a,*-'.
d’où résulte évidemment que bi et c, doivent être composés des mêmes facteurs premiers, ainsi que a, et a u et que les exposants d’un même facteur, dans ô t et c,, et dans a, et a,, doivent avoir
un rapport constant, w ~~ ! • m- f-1
Application. Quels sont les nombres commensurables qui peuvent faire partie d'une progression par quotient qui a pour termes 1 et 10?
Si nous nommons ~ le nombre cherché , on doit avoir ,
d’après ce qui précède , en désignant par m et n des nombres entiers.
THÉORIE DES PROGRESSIONS
c’est-à-dire
10 w+l =Vl-
Le premier membre étant entier , le second doit l’étre aussi ,
et comme la fraction — ^ est (156) irréductible , il faut que
l’on ait q — 1. Dé plus, pour que ÎO " 4 " 1 soit égal hp n -\ il faut que p ne contienne que les facteurs 2 et 5 , et que ces facteurs y soient affectés d’exposants égaux, ou, en d'autres termes, que /> soit une puissance de 10.
Les puissances de 10 sont donc les seuls nombres cominensttrablesqui {missent figurer dans une progression par quotient, dont 1 et 10 font partie.
Somme des termes d’une progression par quotient. 350. Soit une progression par quotient
aa:b:c:d:e: : 4- : / ;
il faut évaluer la somme
En nommant q la raison, et multipliant par q les deux membres de l’égalité [1], on obtient
[ 2 ] SX?=aX?'-)-6XS'-f «Xÿ-f dXg-f ...+* xy-f/x?;
mais, par hypothèse, a'X.q—b, &Xÿ=c, cx.q=d,...kx.q=l : l’égalité précédente devient donc
[3] SXî=H c + <f + * + /Xî.
Si l’on retranche les deux premiers membres des égalités [1] et [3], on aura le même résultat qu’en retranchant leurs, seconds membres, ce qui donne évidemment
Sx ? — & — 1 X q — a ou S(y — l) = /x?— a,
et par conséquent,
o lxq—a
s -- pzï-
TUÉOiUE DES PROGRESSIONS.
Remarque I. Si la progression est décroissante, q est plus petit «pie 1 , et l’on ne peut plus retrancher S de S x g, il faut faire la soustraction en sens inverse, et l’on trouve alors
Remarque II. Si l’on donne seulement le premier terme a d’une progression, sa raison q , et le nombre n de termes, il faudra, pour faire usage du résultat précédent, commencer par calculer le dernier terme /, on aura (344), / = «x q n ~', et, par conséquent,
e «Xî" — a ou
c a — aXq'
suivant que q est plus grand ou plus petit que l’unité.
Limite de la somme des termes d'uae progression par quotient décroissante.
381. La formule qui donne la somme des termes d’une progression décroissante, dont a est le premier terme, l le dernier et g la raison, est
C a— Z Xq 1 -q ’
on peut Récrire
Si le nombre des termes de la progression augmente indéfi-
niment ,
conserve constamment la même valeur, mais
lXq
YZTq P eu * devenir aussi petit que l’on voudra, à cause du facteur l qui décroît sans limite (346); il en résulte que la limite dont s’approche la valeur de S , à mesure que le nombre des
termes augmente , est — — .
Application. Une fraction décimale périodique peut être con-
THÉORIE DES PROGRESSIONS. 253
sidérée comme une progression décroissante, et la formule précédente lui est applicable.
Soit, par exemple, la fraction périodique
en la séparant en tranches de deux chiffres à partir de la virgule, on obtient la progression
•• 1U0 • 10000 * 10ÜUUÜ0 • ••••>
dont la raison est D’après la formule précédente, la limite de la somme de ses termes est
mi
1 itiü
OU
ce qui est précisément le résultat obtenu dans la théorie des fractions périodiques.
RÉSUMÉ
533. Définition des progressions par différence ; progressions croissantes ou décroissantes. Définition de la raison. — 350. Un terme de rang quelconque est égal au premier augmenté ou diminué d’autant de fois la raison qu’il y a de termes avant lui. — 537. Insertion de moyens par différence. — 550. Si, entre les termes d’une progression, on insère un nombre constant de moyens, on forme une progression nouvelle. — 359. Quel que soit le nombre des moyens insérés, la raison est un diviseur de la différence des termes extrêmes. — 340. Trouver une progression qui contienne des nombres donnés; pour que cela soit possible, il faut et il suffit que ces nombres aient une commune mesure. — 341 . Dans une progression par différence , la somme de deux termes également distants des extrêmes est constante et égale à celle des extrêmes. — 342. Somme des termes d’une progression par différence. — 545. Définition des progressions par quotient. — 344. Un terme de rang quelconque est égal au premier, multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui le précèdent. — 545. Les termes d’une progression par quotient croissante peuvent dépasser toute limite. — 346. Les termes d’une progression par quotient décroissante peuvent décroître au-dessous de toute limite assignée. — 347. Insertion de moyens par quotient. — 548. Si on insère un nombre constant de moyens entre les termes consécutifs d’ane progression par
THÉORIE DES PROGRESSIONS
quotient, on forme une progression nouvelle. — 340. Recherche d'une progression dont fassent-partie des nombres donnés. Cas dans lesquels une telle progression Déiste pas. — 330. Somme des termes d’une progression par quotient. — 531. Limite de la somme des termes d'une progression décroissante.
EXERCICES
I. Quelles sont les progressions par différence dans lesquelles la somme de deux termes quelconques fait partie delà progression ; et les progressions par quotient dans lesquelles le produit de deux termes fait partie de la progression ?
II. Si dans une suite de nombres chacun est la demi-somme de ceux qui le comprennent, ces nombres forment une progression par différence, et si chacun est moyen proportionnel entre les deux qui le comprennent, ils forment une progression par quotient.
III. Dans quelles progressions par différence existe-t-il un rapport indépendant de n entre la somme des n premiers termes et la somme des n suivants?
IV. v'2 > Vô et V 7 peuvent-ils faire partie d’une même progression par différence ou par quotient?
V. Si on prend la suite des nombres impairs, l, 3, 5, 7, .... et qu’on la sépare en groupes dont le premier ait un terme, le second deux termes, le troisième trois, etc., Iu-somme des termes d'un même groupe est un cube.
VI. Si on considère la suite 1, 2, 4, 6, S, 10.... la somme des n premiers termes est impaire et augmentée des n — 1 nombres impairs suivants, elle donne un cube.
VII. Dans une progression géométrique de six tenues, la différence des ternies extrêmes est plus grande que six fois la différence des termes du milieu.
VIII. Si on ajoute termes à termes deux progressions géométriques qui n’ont pas même raison , les résultats ne formeront pas une progression , mais chaque terme pourra se déduire des deux précédents, en les multipliant par des nombres constants et ajoutant les produits.
IX. On forme une suite de termes tels que chacun soit la * demi-somme des précédents; connaissant les deux premiers
THÉORIE DES PROGRESSIONS. 255
tenues tle cette suite, trouver de quelle limite ou s'approche lorsqu’on en forme un nombre de plus en plus grand.
