XII. On forme la suite des nombres
1, 3, 6, 10, 15, 21, etc.,
tels que la différence de deux termes consécutifs , va sans cesse en augmentant d’une unité, trouver la somme des n premiers termes de celte suite.
XIII. Si dans une progression par différence trois termes consécutifs sont des nombres premiers, la raison est divisible par 6, à moins que le premier de ces termes ne soit 3. S’il y en a 5, la raison est divisible par 30, à moins que le premier de ces termes ne soit 5, et s’il y en a 7, elle est divisible par 210, à moins que le premier terme ne soit 7.
XIV. Dans une progression par quotient dont le nombre des termes est impair, la somme des carrés des termes est égale à la somme des termes multipliée par l’excès de la somme des termes de rang impair sur la somme des termes de rang pair.
XV. Dans une progression par différence dont les termes sont entiers, si n est un nombre premier avec la raison, en divisant n termes consécutifs par n, on obtiendra pour reste tous les nombres 1, 2, 3 .... n — 1.
XVI. La durée de l’année surpasse 365 jours, et c’est pour cette raison que l’on intercale tous les quatre ans un 366 ii “ jour (année bissextile), ce 366“”” jour est supprimé tous les cent ans, et rétabli tous les quatre cents ans; prouver que si on suivait indéfiniment la même loi, c’est-à-dire, si on supprimait ce jour
TI1É0BIE DES PROGRESSIONS
lous les 10000 ans pour le rétablir tous les 40000 ans; qu’on le supprimât tous les 1000000 d’années, etc.’; cela reviendrait après un nombre immense d’années à ajouter 8 jours tous les 33 ans.
XVII. Deux courriers A et B suivent une même ligne droite, A est en arrière de 240-, mais il va deux fois plus vite; prouver que pour rencontrer B, il devra faire un chemin égal à 240 m + -f- + •••• et calculer ce chemin.
XVIII. La production du fer en France a été, en 1826, de 1156850 q. m.; elle s’élevait en 1847 à 3601901 q. m., calculer sa valeur en 1835, en supposant l’accroissement égal pour chaque année.
•CHAPITRE XYIII.
THÉORIE DES LOGARITHMES
• Délimitons.
382. Quand on considère deux progressions, l’une par différence commençant par 0, l’autre par quotient commençant par l’unité, les termes de la progression par différence sont nommés les logarithmes des termes de même rang dans la progression par quotient.
Remarque. Le logarithme d’un nombre considéré isolément, est tout à fait arbitraire. Si l’on demande : quel est le logarithme de 3? cette question n’a aucun sens tant que l’on n’a pas choisi les progressions qui définissent le système dont on veut parler.
383. D’après la définition précédente, lorsque l’on a choisi les deux progressions qui définissent un système de logarithmes, il semble que les nombres qui ne font pas partie de la progression par quotient n’ont pas de logarithmes; nous allons voir comment, en étendant cette définition, on est conduit à regarder chaque nombre plus grand que l’unité comme ayant un logarithme. Nous considérerons spécialement le système qui résulte des progressions :
« i : io: ioo: fooo....
C’est le seul dont on fasse usage.
Supposons qu’entre deux termes consécutifs de chacune de ces progressions on insère un même nombre de moyens. On obtiendra [(338), (348)] deux nouvelles progressions dans lesquelles les termes des progressions primitives se correspondront encore, et les termes nouvellement introduits dans la progression par quotient , auront pour logarithmes les termes de même rang introduits dans la progression par différence.
THÉORIE DES LOGARITHMES
5i>4. Remarque. Pour que la définition donnée (585J) soit admissible, il faut montrer que si , en insényit des nombres différents de moyens, on amène, de deux manières différentes, un même nombre à faire partie de la progression par quotient, on lui trouvera des deux manières le même logarithme.
Supposons que l’on ait d’abord inséré p moyens entre les divers termes des deux progressions :
a i : 10 : îoo....
la raison de la progression par quotient deviendra (347) 7 10, et celle de la progression par différence 1
En sorte que, l’un quelconque des termes de la première, sera ('Vio)* et le terme correspondant de la seconde ’
k désignant un nombre entier.
Supposons que l’on insère entre deux termes consécutifs des progressions primitives, un autre nombre p' de moyens, un terme quelconque de la progression par quotient sera (' / y^o)*', fi'
et son logarithme ; nous voulons prouver, que si l’on a
on aura aussi :
rm=cm f i
Si, en effet, nous élevons les deux membres de la première de ces égalités à la puissance (p + 1) x (p'+l)> nous aurons :
[3] io* x t»’+ 1 )—
car, pour élever (' v'io) à la puissance k, puis à la puissance (p-j-l)X(.p'-f 1), il suffit de le prendre comme facteur un nombre de fois égal à ÀX(p + i)X (p’-J- 1) et, pour cela, on peut l’élever d’abord à la puissance p+l, puis élever le résultat, qui est 10, îi la puissance iX(p'-fl).
L’égalité [3] entraîne évidemment:
THÉORIE DES LOGARITHMES
fit par suite,
Donc, si l’on peut introduire un même nombre de deux manières différentes dans la progression par quotient , on lui trouvera des deux manières le même logarithme.
585. Si l’on calcule des logarithmes en insérant un certain nombre de moyens entre las termes consécutifs des deux progressions, puis que l’on en calcule d’autres en insérant un autre nombre de moyens, ces divers logarithmes peuvent être considérés comme faisant partie d’un seul et même système. Pour le prouver, remarquons que si entre les termes consécutifs de la progression par quotient on insère p — 1 moyens, puis p ' — 1 moyens, tous les termes obtenus dans l’un et l’autre cas, font partie d’une seule et môme progression, que l’on obtiendrait en insérant p Xp’ — 1 moyens.
Si, en effet, entre deux termes a et b d’une progression, ou insère pXp ' — 1 moyens, le terme b aura, après cette insertion, le pxp' 1 '”" rang, à partir de a. Si donc, dans la progression ainsi formée, on compte les termes de p en p, b sera le p 1 *", et si on les compte de p' en p', il sera le les termes ainsi obtenus pourront donc être considérés, dans le premier cas, comme formant p ' — 1 moyens entre a et b, et dans le second, comme en formant p — 1. La même remarque s’appliquant à la progression par différence, on voit que les deux systèmes obtenus en insérant p — 1 moyens et p’ — 1 moyens, sont compris dans le système unique qui correspond à pXp' — 1 moyens.
Par exemple, si a et b désignent deux termes consécutifs d’une progression par quotient ou par différence, et que l’on insère entre a et b, trois moyens, puis ensuite cinq moyens, de manière à former les progressions
a, Ai, A,, Aj, b, a, Bi, Bj, Bj, B», Bj, b.
Si l’on insère ensuite 23 moyens (c’est-à-dire 4x6 — 1) on formera une progression nouvelle dans laquelle Ai, A ît A s figureront aux rangs 6, 12 et 18, et B,, B«, Bj, B», B 6 aux rangs 4, 8, 12, 16 et 20.
THÉORIE DES LOGARITHMES
586. Les nombres dont les logarithmes sont définis dans los paragraphes précédents, croissent par degrés aussi rapprochés qu’on le veut. Si l’on se bornait cependant à cette définition, une infinité de nombres devraient être regardés comme n’ayant pas de logarithmes. On sait par exemple (349) que, quel que soit le nombre des moyens insérés dans la progression par quotient fî 1 : 10 : 100 : etc. , aucun de ces moyens n’est coinmensurable. Tous les nombres commcnsurables peuvent, au contraire, s’introduire dans la progression par différence f 1 .2. 3. 4. etc., d’où il résulte que les nombres commensurables qui ne sont pas entiers, sont tous des logarithmes de nombres incommensurables.
387. Quand un nombre ne peut pas être introduit dans la progression par quotient , son logarithme se définit de la manière suivante :
Le logarithme d’un nombre N, qui ne peut pas faire partie de la progression par quotient est plus grand que les nombres commensurables qui sont les logarithmes de nombres inférieurs à N, et moindre que les nombres commensurables qui sont les logarithmes de nombres plus grands que N.
Cette manière de définir un logarithme en disant quels sont les nombres commensurables plus grands et plus petits que lui, est, comme on l’a vu, le moyen ordinaire de définition pour les nombres incommensurables.
D’après la définition précédente, il est évident qu’un nombre N étant donné, si l’on insère dans les progressions , un nombre considérable de moyens, deux d’entre eux comprendront N dans la progression par quotient, et leurs logarithmes seront des valeurs approchées du logarithme de N.
Propriétés des logarithmes.
388. Théorème I. Le logarithme d’un produit de deux facteurs est la somme des logarithmes des facteurs.
Soient les deux progressions :
ff i : q : g* .... :q " .... : g" : ....
•f0.r.2r nr mr
THÉORIE DES LOGARITHMES
qui définissent un système quelconque de logarithmes; les termes de la première sont les puissances de la raison q , ceux de la seconde, les multiples de la raison r.
Si on multiplie l’un par l’autre deux termes de la progression par quotient, q m et q ", on aura un produit ç m+, ‘ qui, évidemment, est le ( 01 -f- terme de la même progression; si l’on ajoute les logarithmes de q m et q n , qui sont mr et nr, on aura une somme (»î-|-n)r qui est, évidemment, le (m+n+l)' 4 " terme de la progression par différence et, par conséquent , le logarithme * de g* 4 "*; la proposition est donc démontrée.
559. La démonstration précédente suppose que les nombres considérés fassent partie de la même progression par quotient.
Elle est en défaut pour les logarithmes incommensurables définis (557). Pour démontrer que, dans ce cas, la proposition est encore exacte, remarquons que si l’on donne deux nombres quelconques N et N', on peut toujours insérer dans les progressions assez de moyens pour que les termes croissent par degrés insensibles et que, par conséquent, il y ait deux termes consécutifs Ni et N'i, qui diffèrent aussi peu qu’on le voudra de N et de N'; mais on aura (558),
log Ni x N'i = log Ni -f log N't.
Le premier membre différant aussi peu que l’on voudra de log NxN', et le second aussi peu que l’on voudra de log N-f-logN', il est impossible que ces deux quantités aient une différence déterminée quelconque, et par conséquent elles sont égales. C’est ce qu’il fallait démontrer.
5G0. Remarque. Le théorème précédent s’étend à un nombre quelconque de facteurs. Soit, par exemple, un produit de trois facteurs a X b x c, on a évidemment :
log (a X b X c) = log (a X b) x c = log (a X b ) + log c = loga+log6-|-log c.
561. Théorème IL Le logarithme d’une puissance d’un nombre est le produit du logarithme du nombre par l’exposant de la puissance.
262 THÉ0RIB DES LOGARITHMES
Ce théorème est une conséquence de la remarque précédente. Soit, en effet, a* la puissance considérée, on a :
log a' = log a X a X « X a = log a + log « + log « +
Ioga = 41oga.
La démonstration s’applique évidemment quel que soit l’exposant.
362. Théorème III. Le logarithme d'un quotient est égal au logarithme du dividende, moins celui du diviseur.
Soit un quotient | que je désignerai par g; on aura
a — bXq ,
. donc
log a = log b -f- log q,
ce qui prouve que log q est l’excès de log a sur log b.
Remarque. On suppose, dans le théorème précédent, que le
quotient | soit plus grand que 1, car les logarithmes des nombres plus grands que 1 ont seuls été définis.
363. Théorème IV. Le logarithme d'une racine d’un nombre est égal au logarithme du nombre, divisé par l'indice de la racine. Soit la racine va que je désigne par r, on a
et, par conséquent, d’où l’on conclut (561)
et, par suite,
log a — m log r,
log r =
log a
ce qu’il fallait démontrer.
564. Remarque. Les quatre théorèmes précédents montrent qu’une multiplication peut être remplacée par l’addition de deux logarithmes; une division par la soustraction de deux logarithmes, et enfin l’extraction d’une racine d’ordre quelcon-
THÉORIE SES LOGARITHMES
que, par la division du logarithme du nombre par 1 indice de la racine. Mais il faut, pour profiter de ces simplifications, savoir trouver dans les tables le logarithme d’un nombre donné, et le nombre correspondant à un logarithme donné.
Disposition des tables de logarithmes de Gallet.
363. La seule inspection d’un nombre fait connaître la partie entière de son logarithme. Ainsi les nombres de deux chiffres compris entre 10 et 100 ont des logarithmes compris entre 1 et2, dont la partie entière est 1 . Les nombres de trois chiffres compris entre 100 et 1000 ont des logarithmes compris entre 2 et 3, dont la partie entière est 2 ; et, en général, un nombre de n chiffres étant compris entre 10"-* et 10", son logarithme est compris entre » — 1 et n, et sa partie entière est par conséquent n — 1 . *
On a profité de cette remarque pour sc dispenser d’inscrire dans les tables la partie entière, ou, comme on l’appelle souvent, la caractéristique des logarithmes.
3G6. La première table est toute simple; elle contient les nombres naturels depuis 1 jusqu’à 1200, disposés suivant leur ordre en plusieurs colonnes, au haut desquelles on voit la lettre N, initiale du mot nombre; à côté et à droite de ces colonnes, on en remarque d’autres, au haut desquelles -est écrit Log., initiales du mot logarithmes ; de manière que chaque colonne de nombres est immédiatement suivie d’une colonne de logarithmes, et que chaque logarithme est placé à droite et dans l’alignement du nombre auquel il appartient. On n’a pas mis de caractéristique aux logarithmes, parce qu’on la connaît aisément à la seule inspection du nombre.
Cette table est nommée Chiliade I, parce qu’en effet elle contient les logarithmes du premier mille. ( Chiliade est un mot grec francisé, qui signifie assemblage de mille unités.)
Les tables suivantes sont un peu plus composées; elles s’étendent depuis 1020 jusqu’à 108000. La première colonne, qu’on y remarque vers la gauche, est intitulée N, et contient les nombres naturels depuis 1020 jusqu’à 10800. La colonne suivante, marquée O, offre les logarithmes qui appartiennent à ces
THÉORIE DES LOGARITHMES
nombres ; en sorte que l’assemblage de ces deux colonnes forme la suite de la table première, et donne sur-le-champ les logarithmes des nombres depuis 1020 jusqu'à 10800.
Si l’on observe la colonne marquée O, on verra vers la gauche de cette colonne certains nombres isolés de trois chiffres chacun, qui vont toujours en augmentant d’une unité, et qui ne sont pas à des distances tout à fait égales les uns des autres. Vers la droite de la même colonne, sont des nombres de quatre chiffres chacun, qui ne laissent point d'intervalle entre eux; en sorte qu’on pourrait croire que certains logarithmes n’ont que quatre chiffres, tandis que d’autres en ont sept.
Mais qu’on ne s’y trompe pas, chaque nombre isolé est censé écrit au-dessous de lui-même, et vis-à-vis chacun des nombres de quatre chiffres qui sont dans la même colonne, autant de fois qu’il est nécessaire pour que chaque ligne soit remplie : lors donc qu’on ne trouve vis-à-vis un certain nombre que quatre chiffres dans la colonne marquée 0, il faut écrire vers la gauche de ces quatre chiffres le nombre isolé de trois chiffres le plus prochain en montant. Au delà de 10000 les nombres isolés ont quatre figures.
Lorsque deux nombres sont décuples l’un de l’autre, leurs logarithmes ont pour différencie le logarithme de 10 qui est 1, et par conséquent, leur partie décimale est la même; ainsi l’assemblage des deux premières colonnes dont nous venons de parler, donne aussi de dix en dix les logarithmes des nombres compris entre 10200 et 108000. Pour trouver les logarithmes des nombres intermédiaires, il. faut avoir recours aux colonnes marquées 1,2,3, 4, etc. Ces colonnes contiennent les quatre dernières décimales des logarithmes des nombres terminés •par les chiffres qui sont en tète de ces colonnes. Ainsi la colonne marquée 0 contient les quatre dernières décimales des logarithmes des nombres compris entre 10200 et 108000 qui sont terminés par un zéro, et en outre les nombres isolés dont nous avons parlé, et qui sont aussi censés placés à la gauche des chiffres que contiennent les autres colonnes. La colonne marquée 1 contient les quatre derniers chiffres des logarithmes de tous les nombres terminés par 1 ; la colonne marquée 2, ceux de tous les nombres terminés par 2 ; la colonne marquée 3, ceux de tous les nombres terminés par 3; et ainsi de suite jusqu’à
THÉORIE DES LOGARITHMES. 265
neuf. On a par ce moyen une table à double entrée, dans laquelle on consulte d’abord la première colonne marquée N ; et lorsqu’on y a trouvé les quatre premières figures du nombre dont on veut avoir le logarithme, on suit de l’œil la ligne sur laquelle ils se trouvent, jusqu’à ce qu’on soit arrivé à la colonne au haut de laquelle se trouve le dernier chiffre du nombre donné ; alors on a sous les yeux les quatre derniers chiffres du logarithme cherché- Quant aux trois premiers, ils sont exprimés par le nombre isolé qui se trouve dans la seconde colonne, le plus prochain en montant.
La dernière colonne contient les différences de deux logarithmes consécutifs et les parties de ces différences, c’est-àdire les produits de ces mêmes différences multipliées par 75, ïiii nir etc., jusqu’à $j. Les produits forment autant de petites tables qu’il y a de différences. Chacune de ces petites tables se trouve placée immédiatement au-dessous de la différence dont elle indique les parties. O11 verra plus loin quel est leur usage.
Mais, comme vers le commencement des tables ces différences se trouvent trop nombreuses, et par conséquent trop près les unes des autres, elles n’auraient pas permis, si elles n’eussent occupé qu’une colonne, de placer les petites tables des parties dans l’intervalle qui se serait trouvé entre elles. C’est pourquoi on les a disposées d’abord sur deux colonnes : la première de ces différences occupe la première colonne ; les deux suivantes, sans sortir de la ligne horizontale où elles doivent être placées, sont repoussées à droite et occupent la seconde colonne ; les deux différences qui suivent se trouvent sur la première colonne et les deux» suivantes sur la seconde : ainsi de suite. Dans les quatre premières pages, on n’a placé les tables des parties de ces différences que de deux en deux.
Pour rendre ces explications plus claires, nous reproduisons ici l’une des pages de la table de Callet :
THÉORIE DBS LOGARITHMES
THÉORIE DES LOGARITHMES
On voit dans la table, à gauche de la colonne N, deux autres colonnes, que nous n’avons pas reproduites parce qu’elles n’ont aucun rapport avec la théorie des logarithmes.
Usage des tables de logarithmes.
367. Problème I. Un nombre quelconque étant donné, trouver son logarithme par le moyen des tables.
Quelle que soit la place qu’occupe dans la suite décimale le premier chiffre significatif d’un nombre, on le considérera d’abord comme s’il était entier, sauf à donner ensuite à son logarithme une caractéristique convenable.
1" Cas. Si le nombre donné est moindre que 1200, on le trouvera dans la première chiliadc, parmi les nombres naturels qui sont dans quelques-unes des colonnes marquées N. Le nombre qu’on trouvera à sa droite , sur la même ligne et dans la colonne suivante, intitulée log., sera son logarithme, après qu’on y aura joint la caractéristique qui convient à ce logarithme, laquelle est toujours égale à 0, 1, 2, 3, 4, etc., selon que le premier cliilTre significatif du nombre exprime des unités simples, des dizaines, des centaines ou des mille, etc.
2* Cas. Si le nombre donné est compris entre 1020 et 10800, on le cherchera dans la table qui vient après la chiliadc h et l’ayant trouvé dans la colonne intitulée N, on consultera la colonne suivante marquée 0. Si l’on y voit sept chiffres de front dans l’alignement du nombre naturel, on aura tout d’un coup la partie décimale du logarithme cherché; mais si l’on n’y trouve que quatre figures, elles donneront les quatre derniers chiffres de la même partie décimale; ensuite on remarquera qu’il règne à leur gauche une marge ou espace blanc; on suivra cette marge en montant, et le premier nombre de trois chiffres qu’on y rencontrera, exprimera les trois premières figures de la fraction décimale du logarithme cherché. Écrivant donc ce nombre vers la gauche des quatre chiffres qu’on a déjà trouvés, on aura un nombre de sept chiffres comme ci-dessus ; enfin on y joindra une caractéristique convenable. Par exemple à côté de 7680, je trouve 8853612 sur la même ligne et dans la colonne marquée 0; j’ai donc tout d’un coup la partie décimale du loga-
THÉORIE DES LOGARITHMES
rithme que je cherche ; il ne inc reste plus qu’à y joindre la caractéristique 3. Si le nombre était 7,680, la caractéristique serait zéro; elle serait 1, si le nombre était 76,80; 2, s’il était 768,0. A côté de 7695, dans la colonne marquée 0, je ne trouve que 2086; mais en suivant la marge, le premier nombre que je rencontre en montant est 886 ; mon logarithme est donc 3,8862086. Le nombre ayant cinq figures , s’il était moindre que 10800, on trouverait de même son logarithme.
3' Cas. Si le nombre est compris entre 10200 et 108000, c’est-àdire s’il a cinq chiffres significatifs , on fera pour un instant abstraction du dernier, et l’on cherchera, comme ci-dessus, le nombre qu’expriment les quatre premiers. On suivra de l’œil la ligne sur laquelle on l’aura trouvé, en la parcourant de gauche à droite jusqu’à ce qu’on soit dans la colonne en haut de laquelle est écrit le cinquième chiffre dont on a fait abstraction. Les quatre figures qui sont tout à la fois dans l’alignement des quatre premiers chiffres du nombre donné, et dans la colonne qui répond au cinquième, exprimeront les quatre dernières décimales du logarithme de ce nombre. Quant aux trois premières, on les trouvera, comme ci-dessus, en remontant le long de la marge de la colonne intitulée 0. Soit, par exemple, 772,37 dont on veut le logarithme, je cherche 7723 dans la colonne N, je ne vois rien dans son alignement à la marge de la colonne O; mais un peu plus haut, je rencontre 887 dans cette marge ; je parcours la ligne du nombre 7723, et je m’arrête à la colonne marquée 7, sur laquelle et dans l’alignement de 7723, je trouve 8254. La partie décimale de mon logarithme est donc 0,8878254 et ce logarithme est 2,8878254. Si le nombre était compris entre 102000 et 108000, ou trouverait de môme son logarithme.
508. Les explications très-détaillées qui précèdent, donnent le moyen de trouver le logarithme d’un nombre entier moindre que 108000 et celui d’un nombre décimal, dont les chiffres, abstraction faite de la virgule, expriment un nombre inférieur à cette limite. Pour trouver le logarithme des nombres plus grands, on remarque qu’en les divisant par une puissance convenable de 10, on pourra toujours les réduire à être compris dans les limites de la table ; or, une pareille division diminue le logarithme d’un nombre entier d’unités, et ne change pas,
THÉORIE DES LOGARITHMES
par conséquent, sa partie décimale. Le problème se réduit donc à trouver le logarithme d’un nombre qui n’est pas entier, inférieur à 108000. Pour cela, on admet que, dans des limites peu éloignées, l’accroissement des logarithmes est proportionnel à celui des nombres. Soit donc un nombre 76807,753, on dira :
le logarithme de 76807 est 4,8854008 celui de 76808 est 4,8854065
leur différence indiquée dans la table est 57 (unités décimales du septième ordre), par conséquent : le nombre augmentant d’une unité, son logarithme augmente de 57, s’il augmente de 0,753, son logarithme augmentera d’une quantité x, déterminée par la proportion
d’où
Dans la multiplication de 57 par 0,753 , il ne faudra prendre que la partie entière du produit, car la partie décimale exprimerait au plus des dixièmes d’unité du septième ordre, c’est-àdire des unités du huitième ordre, que l’on néglige dans la valeur des logarithmes.
Pour multiplier 57 par 0,753, on le multipliera successivement par 7, 5 et 3; ces produits se trouvent tout calculés dans le tableau placé au-dessous de 57, dernière colonne à droite de la table. Ils sont réduits aux chiffres que l’on doit conserver, en supposant que le multiplicateur exprime des dixièmes. Ainsi, vis-à-vis de 7, on trouve 40, au lieu de 39,9 qui serait le produit exact; vis-à-vis de 5, 29 au lieu de 28,5; vis-à-vis de 3, 17 au lieu de 17,1. Dans le cas actuel , 5 exprimant des centièmes, le produit correspondant sera 2,9, auquel on substituera 3; 3 ex- * primant des millièmes, le produit correspondant devra être divisé par 100, il exprimera alors 0,17, et on le négligera.
La valeur de x , 57X0,753, sera, d'après cela, 43, et pour avoir le logarithme demandé, il faut ajouter au logarithme de 76807,
43 unités du septième ordre, ce qui fera 4,8854051.
Si l’on voulait le logarithme de 76807953, il serait évidemment 7,8854051. En général, pourvu que l’on conserve les mômes
THÉORIE DES LOGARITHMES
chiffres, à quelque place que l’on mette la virgule, la partie décimale du logarithme reste la même.
569. Problème II. Un logarithme étant donné, trouver par le moyen des tables le nombre auquel il appartient.
1" Cas. Si le logarithme se trouve parmi quelqu’un de ceux de la première chiliade , on aura sur-le-champ le nombre qui lui correspond; ce nombre sera dans la colonne marquée N qui précède immédiatement celle qui contient le logarithme donné, et dans l’alignement de ce logarithme.
2 e Cas. Si le logarithme ne se trouve pas dans la première table, on cherchera les trois premières décimales de ce logarithme parmi les nombres isolés que l’on voit dans la colonne marquée 0 de la seconde table, et les ayant trouvées, on cherchera les quatre dernières figures du logarithme parmi les nombres de quatre chiffres qui sont dans cette môme colonne en descendant. Si l’on y trouve ces quatre dernières figures, on verra le nombre cherché dans la colonne marquée N, et sur leur alignement.
3 e Cas. Si l’on ne trouve pas dans la colonne marquée 0 les quatre dernières figures du logarithme donné, on s’arrêtera à celles qui en approchent le plus en moins; on suivra la ligne sur laquelle on se sera arrêté, en la parcourant de gauche à droite ; et si l’on trouve dans cette ligne les quatre dernières figures du logarithme donné, on suivra en montant ou en descendant la colonne dans laquelle on les aura trouvées; le chiffre qu’on verra à la tète ou au pied de celte colonne , sera la cinquième figure du nombre cherché, dont les quatre premières se trouveront, comme ci-desus, dans la colonne marquée N.
Veut-on savoir, par exemple, à quel nombre appartient le logarithme qui a, pour partie décimale, 8871276, je cherche 887 parmi les nombres isolés de la colonne marquée 0; je parcours en descendant la même eolonne, et je trouve que 1107 approche le plus en moins de 1276; je suis la ligne qui commence par 1107, et je trouve 1276 sur celte ligne; je monte dans la colonne qui contient 1276, je trouve le chiffre 3 à la tête de cette colonne; je reviens à 1276, et je vois que la ligne où il se trouve répond au nombre 771 1 ; j’écris ce nombre, et à sa droite
THÉORIE DES LOGARITHMES. 271
le chiffre 3 que j’ai déjà trouvé : ce qui me donne 771 13. C’est le nombre qu’il fallait trouver.
4 e Cas. Le logarithme donné ne se trouvant dans aucun des cas précédents , pour avoir le nombre auquel il appartient, on cherchera, comme ci-dessus, le logarithme qui en approche le plus en moine. On cherchera le nombre entier correspondant, ce nombre et le suivant comprendront le nombre cherché et l’on cherchera la différence avec un de ces nombres entiers, à l’aide de la proportion admise (368).
Exemple. Soit à chercher le nombre dont le logarithme a pour partie décimale 8870279. On trouvera, comme il a été dit, que ce logarithme est compris entre 8870262 et 8870318, qui répondent aux nombres 77095 et 77096, la différence de ces deux logarithmes est 57 unités du dernier ordre, et le logarithme donné surpasse le plus petit des deux de 17 unités du même ordre ; on dira donc, à une différence 57 entre les logarithmes correspond une différence 1 entre les nombres, donc à une différence 17 doit correspondre entre les nombres une différence x déterminée par la proportion
d’où l’on conclut x=$, et, par suite, le nombre cherché est 77095 -j-£^, ou, en réduisant en décimales, 77095,29.
Remarque I. Si l’on retranche l’un de l'autre les deux logarithmes consécutifs 8870262 et 8870318, on trouve pour différence 56 et non 57. 11 faut adopter néanmoins la différence 57 donnée par Caliet, qui, à cause des chiffres décimaux non écrits dans la table, est plus près de la véritable que 56.
370. Remarque II. Nous ne pouvons pas indiquer ici la limite de l’erreur que l’on peut commettre, en supposant l’accroissement des logarithmes proportionnel à celui des nombres. Nous ferons observer seulement que l'inspection des tables montre que cette proportionnalité est à peu près exacte dans des limites assez écartées. La différence de deux logarithmes consécutifs varie, en effet, très-lentement, et, au degré d’approximation que donnent les tables , elle reste souvent constante pendant plusieurs pages; il en résulte évidemment que, pour les nombres
THÉORIE DIS LOGARITHMES
entiers compris dans ces pages, l’accroissement des logarithmes est proportionnel à celui des nombres.
Application de la théorie des logarithmes.
571. Quand un nombre inconnu résulte de multiplications, divisions, extractions de racines ou élévations aux puissances effectuées sur des nombres donnés, pour déterminer sa valeur, on cherche celle de son logarithme, qui résulte d’opérations beaucoup plus simples; le logarithme étant connu, le nombre correspondant se détermine comme il a été dit (560).
572. Remarque. D’après nos définitions, les nombres plus grands que l'unité ont seuls des logarithmes. Il est donc essentiel que les nombres sur lesquels on opère remplissent tous cette condition ; on pourra toujours faire que cela ait lieu, en remarquant que pour multiplier un nombre par un nombre a
moindre que l’unité, on peut le diviser par le nombre i qui est plus grand que 1, et pour le multiplier par a, on peut au contraire le diviser par -. . ..
Si le nombre que l’on veut calculer était lui-même moindre que 1, nos définitions ne lui assigneraient pas de logarithme. Dans ce cas, on le multiplierait par une puissance de 10 assez considérable , pour que le produit surpassât l’unité ; on appliquerait alors la méthode précédente, et on diviserait le résultat par cette puissance de 10.
Exemple I. Calculer l’expression
x = (v' 13572 x fiY y on écrit cette expression :
et l’on a
log x = | (log 13572 — log 11),
en cherchant dans les tables log 13572 et log 11, on calculera facilement log x, et, par suite, la valeur de x.
THÉORIE DES LOGARITHMES
Exemple II. Calculer
Æ =V tris XO, 5142.
x étant plus petit que 1, on le multipliera par une puissance de 10, 10 ", et l’on aura
10" X X = 10" v X ïVoV» = t= r==»
v37 SX®
cl, par suite,
log (10" Xx)—n — i (log 375 -f Iog ŸFfa) log E'VVa* est égal à 4 — log 5142, on a donc
log (10“ .x) — n — J (log 375 — log 5142 -f 4).
En prenant ici n—2, la soustraction indiquée dans le second membre pourra s’effectuer; en cherchant le nombre correspondant au logarithme ainsi trouvé, on trouvera le produit 10’Xx, et par suite x en divisant le résultat par 100.
Des différents systèmes de logarithmes.
575. On peut choisir à volonté deux progressions par différence et par quotient , commençant l’une par O, l’autre par l'unité ; elles fourniront un système de logarithmes qui jouira de toutes les propriétés démontrées (588). Ces systèmes en nombre infini sont liés les uns aux autres par une loi trèssimple qui résulte du théorème suivant :
Théorème. Le rapport des logarithmes de deux nombres est le même dans tous les systèmes.
tu
Soient, en effet, A et B deux nombres quelconques, et - la
fraction à termes enliers qui , dans un certain système, représente le rapport de leurs logarithmes, on aura
• log A m
log B ~ n ’
et par suite
nlogA = wlogB,
ou bien ,
log A' = log B " , . ,
274 THÉORIE DES LOGARITHMES
d’où l’on conclut
mais quel que soit le système de logarithmes adopté, il résulte de cette dernière égalité
log A" = log B”' ,
et, par conséquent,
n log A = m log B ,
ou, ce qui revient au même,
log A m
log B n ’
Le rapport des deux logarithmes est donc, dans un système -quelconque, le même que dans le système primitif.
574. Remarque I. La déraonstralion précédente suppose que le rapport des deux logarithmes considéré soit commensurable. S’il n’en était pas ainsi, on pourrait en considérer deux autres aussi peu différents que l’on voudrait des premiers, et qui rempliraient cette condition, le théorème précédent s’y appliquant, quelque rapprochés qu’ils soient des deux logarithmes proposés, nous admettons, comme évident, qu’il s’applique aussi- à ceux-ci. .
Remarque IL Si A et B désignent deux nombres quelconques et qu’on représente leurs logarithmes pris dans deux systèmes différents, par log A, log B, log’ A, log' B, on a, d’après le théorème précédent,
log A log' A log B — log' B’
d’où l’on conclut aisément
log' A log' B log A ~ log B ’
et, par conséquent, pour obtenir log' A et log' B, il faudrait multiplier log A et log B par un même nombre, c’est-à-dire que, pour obtenir les logarithmes des différents nombres dans un système quelconque, il faut multiplier par un nombre constant les logarithmes pris dans un autre système.
THÉORIE ©ES' LOGARITHMES. 275
37a. Il résulte du théorème précédent, qu’une table de logarithmes étant construite, on pourra en construire une seconde pourvu que l’on connaisse un seul des logarithmes du nouveau système. Il suffira, en effet, de multiplier les logarithmes du premier système par le rapport de ce logarithme connu au logarithme correspondant du premier système.
Pour définir un système de logarithmes, on donne ordinairement le nombre qui a pour logarithme l’unité. Ce nombre se
nomme base du système. La base du système dans les tables de Callet est 10.
376. D’après ce qui précède, les fables calculées pour le cas de la base de 10 permettent de calculer un logarithme dans un système quelconque. Soit proposé, par exemple, de calculer le logarithme de 7698 dans le système dont la base est 12. On trouvera dans les tables de Callet que, dans le système dont la base est 10 :
Le logarithme de 12 est 1,07918125,
Le logarithme de 7698 est 3,8863779.
Dans le système dont la base est 12 :
Le logarithme de 12 est 1 , -
Le logarithme de 7698 est x , et, par suite (374),
d’où l'on tirera la valeur de x.
377. Réciproquement, connaissant le logarithme d’un nombre quelconque, on peut trouver là base du système. Cherchons, par exemple, quelle est la base du système dans lequel le logarithme de 25 est 0,78321 .
Nommant b celte base inconnue , on a dans le système en question :
log 6 = 1 log 25 = 0,78321.
Dans le système dont la base est 10, les tables donnent log 25 = 1,39794001;
276 THÉORIE DES LOGARITHMES
donc, le logarithme de b, dans ce système, sera déterminé par la proportion
On déduira de cette proportion le logarithme x de la base b dans le système ordinaire, et, par suite (372), la valeur de cette hase elle-même.
RÉSUMÉ
332. Définition des logarithmes au moyen de deux progressions. — 333. Extension de la définition aux termes que l'on peut introduire dans les progressions par insertion de moyens. — 334. De quelque manière qu’un nombre arrive à faire partie de la progression par quotient , son logarithme sera toujours le même. — 333. Les logarithmes calculés en insérant différents nombres de moyens font partie d'un même système; il suffit que le nombre des moyens insérés entre deux termes de la progression par différence soit le même qu’entre deux termes de la progression par quotient. — 336. Définition des logarithmes des nombres qui ne peuvent pas faire partie de la progression par quotient. — 537. Les nombres commensurables autres que les puissances de 10 ont des logarithmes incommensurables. — 538. Le logarithme d'un produit de deux facteurs est la somme des logarithmes des facteurs.
— 339. La proposition s'étend aux logarithmes incommensurables. — 500. Le théorème s’étend à un nombre quelconque de facteurs. — 361. Logarithme d'une puissance. — 362. Logarithme d’un quotient.
— 365. Logarithme d’une racine. — 364. Les théorèmes précédents ramènent les opérations à d’autre3 plus simples, pourvu que l’on sache faire usage des tables de logarithmes. — 363. La seule inspection d’un nombre fait connaître la partie entière ou caractéristique de son logarithme. — 366. Disposition des tables de Callet. — 567. Usage des tables pour trouver le logarithme d’un nombre compris dans la table. — 568. Pour trouver le logarithme d’un nombre non compris dans la 'table, on suppose l’accroissement des logarithmes proportionnel à celui des nombres. — 569. Moyen de trouver le nombre correspondant à un logarithme donné dans le cas où le logarithme n’est pas dans la table; on fait encore usage de la proportion admise plus haut. — 370. L’inspection des tables prouve que cette proportion est à peu près exacte. — 371. Moyen d’effectuer par logarithmes les multiplication, division, élévation aux puissances, etc. — 572. Les nombres sur lesquels on opère doivent être plus grands que l’unité; moyen de faire en sorte que cela ait lieu. — 373. Le rapport des logarithmes de deux nombres est le même dans tous les systèmes. — 374. Cas où les deux loga-
THÉORIE DES LOGARITHMES
rilhmes ont un rapport incommensurable. — 57». Définition de la base d’un système de logarithmes. — 57«. Recherche d’un logarithme dans une base quelconque. — 577. Recherche de la base connaissant lo logarithme d’un nombre.
EXERCICES
I. Partager une somme de 37500 francs entre trois enfants de 5, 8 et 12 ans, de telle manière que chaque part, placée à intérêts composés au taux de 4 pour 100, produise à chacun la même somme quand il atteindra sa 21' année.
II. Un gouvernement emprunte cent millions de francs. Pour éteindre cette dette, il fonde une caisse d’amortissement de 1 pour 100, c’est-à-dire que chaque année il place un mil-, lion à intérêts composés. Après combien d’années le fonds d’amortissement sera-t-il égal au capital de la dette, en supposant le taux de l’intérêt constant et égal à 5 pour 100 ?
III. Quelle est la hase d’un système de logarithmes dans lequel 6 est le logarithme de 729?
IV. Quelles sont les bases commcnsurables telles que le logarithme de 20 soit commensurable?
V. Si l’on représente par le signe P(a:) le produit de tous les nombres premiers inférieurs à x , on a , quel que soit le nombre entier x ,
log (1.2.3.4...*)=logP(a J )+logP(|)-flogP(|)+...
+ log KvÆ) + log P(f)+log P(^)+...
-f log P( v v 5) + log P
+IogKv^)+logP(^)+...
