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2*^ Le dénominateur seul est un cube parfait : exemple : ^4^3. Dans ce cas, il n'existe pas de racine commensurable (331), mais on peut toujours, en extrayant la racine dunumérateur,

à moins d'une unité près, et celle du dénominaleur exactement, trouver deux fractions dont les cubes comprennent la fraction donnée. On a, en effet,

On convient, dès lors, de dire que | et 5 sont des valeurs approchées de la racine de ^3, l'une par défaut, Fautre par excès, ctiacune à moins de \ près.

Cette convention donne la règle à suivre.

S^ Le dénominateur n'est pas un cube parfait: exemple : y^. On ramène facilement ce cas au précédent; il suffit, en elTet, de multiplier les deux termes de la fraction donnée par le carré de son dénominateur; on obtient ainsi ^3^"; et la fraction, qui n'a pas changé de valeur, a pour dénominateur un cube parfait. On extrait donc, à moins d'une unité près, la racine cubique dunumérateur (8x1 1^) ou 968, qui est 9; etl'on dit que la racine de ^ est ^ par défaut, fj par excès, à moins de A- près.

Si des entiers sont joints à la fraction^ on les réduit en fraction, et on applique la règle précédente.

Exemple :

La racine approchée de i8i3 est 12; donc la racine de 5f est \- par défaut , V" P^r excès, à moins de j près.

333. Remarque. Lorsqu'une fraction ordinaire n'est pas irréductible, il peut arriver qu'elle soit le cube d'une autre fraction, sans que ses deux termes soient séparément des cubes parfaits: // faut et il suffit, pour qu'il en soit ainsi, que le produit de son numérateur par le carré de son dénominateur soit un cube parfait.

lo La condition est nécessaire: can si une fraction ordinaire est le cube d'une fraction, telle que ^ Q^ic l'on peut toujours

supposer irréductible, ses deux termes sont(121^2o) des multiples par un même nombre de f)'^ et de f\ c'est-à-dire que, si le multiplicateur commun est 12, par exemple, ils sont égaux, l'un à (.?Xi2), et l'autre à (7^x12); et par suite, le produit du premier par le carré du second est égal à (5-^X12X7^X12^), ou à 5^x 7*'Xi2^ Ce produit est donc un cube parfait.

2° La condition est suffisante : car, supposons qu'elle soit remplie, et considérons une fraction -~^, telle que le produit 06x189^=2000376= 126^ En divisant ces deux produits égaux par I89^ on a :

la fraction ^-^-^ est donc un cube.

334. Extraction de la racine cubique d'un nombre décimal. On peut toujours convertir un nombre décimal en fraction ordinaire; et le dénominateur, qui contient autant de zéros qu'il y avait de chiffres décimaux, est ou n'est pas un cube parfait, selon que le nombre des zéros est ou n'est pas multiple de 3. Il est d'ailleurs toujours facile d'amener ce nombre à être multiple de 3, quand il ne l'est pas; il suffit d'écrire un ou deux zéros à la droite du nombre décimal. On peut donc toujours appliquer la règle (332) aux nombres décimaux.

Exemple : extraire la racine cubique de 6,3542. On a :

Or, la racine cubique approchée de 63542oo est i85: donc la racine approchée de 6,3542 est i,85 par défaut, et 1,86 par excès, à moins de o,ot près.

333. Remarque. Les règles que nous avons données pour l'extraction de la racine cubique d'un nombre entier ou fractionnaire fournissent cette racine, lorsqu'elle est elle-même un nombre entier ou fractionnaire. Lorsque cela n'a pas lieu, elles fournissent des nombres dont les cubes comprennent le nombre donné, nombres que l'on convient de regarder comme des valeurs approchées de la racine. Il importe, dès lors, pour justi-

fier ces conventions, de définir nettement ce qu'on doit appeler racine cubique d'un nombre, quand il n'existe pas de nombre commensurable qui ait ce nombre pour cube. 11 est en outre nécessaire de montrer, qu'on peut trouver des nombres commensurables aussi approchés qu'on le veut d'une racine ainsi définie, et de donner des règles pour les obtenir, r/est là l'objet du paragraphe suivant.

§ IV. EXTRACTION DE LA RACINE CUBIQUE d'uN NOMBRE AVEC UNE APPROXIMATION DONNÉE d'AVANCE.

336. Principe. On peut toujours trouver deux nombres commensurables aussi peu différents Vun deVautre que Von voudra, dont les cubes comprennent un nombre donné{non cube).

La démonstration est identique à celle du n» 303.

337. Définitions. Les développements donnés au n» 304, pour définir la racine carrée d'un nombre qui n'est pas carré parfait, s'appliquent, sans modification, à la définition de la racine cubique d'un nombre qui n'est pas un cube. On peut toujours concevoir et calculer deux séries de nombres commensurables, les uns croissants et dont les cubes sont inférieurs au nombre donné, les autres décroissants et dont les cubes sont supérieurs au nombre; ces deux séries convergent vers une limite commune , que l'on convient d'appeler la racine cubique

V" — du nombre, et que l'on désigne parle symbole vn.

Il résulte de là, que la racine cubique du nombre est comprise entre deux termes de même rang pris dans les deux séries. 11 est donc naturel de dire que ces deux termes sont des valeurs approchées de la racine, Fune par défaut, l'autre par excès; et que V erreur est moindre que leur différence, qui peut d'ailleurs devenir aussi petite qu'on le voudra.

On remarquera, en outre, que chacun des termes de la série croissante est le plus grand nombre d'imités d'une certaine grandeur dont le cube soit contenu dans le nombre donné, si les dénominateurs des termes correspondants des deux séries sont les mêmes. Et ces considérations nous conduisent à la définition générale des racines cubiques par approximation.

La racine cubique d'un nombre , à une approximation donnée d'avance, par exemple à ^^ près, est le plus grand multiple de /« dont le cube soit contenu dans le nombre donné. Ce mulliplc est évidemment unique : il est moindre que la racine incommensurable. Le multiple suivant est supérieur à cette racine. Le premier est nommé la racine approchée par défaut, et le second la racine approchée par excès.