Extraire la racine cubique d'un nombre quelconque

N, avec une approximation donnée. Soit -^ ra[)proxima-

tion donnée: il s'agit; d'après la définition (337), de trouver le

plus grand nombre de douzièmes^ dont le cube soit contenu

co dansN. Si donc ondésigne par — ce nombre inconnu, il s'agit

de satisfaire à la double égalité

x^ ., (x-h-'iY

Mais on n'altère pas le sens de ces inégalités, en multipliant les trois termes par 12^; il suffit donc de satisfaire à la double

inégalité

^2<Nxi2^<(^-!-i)^

Or ceci exprime que le produit (Nx 12^) est compris entre le cube du nombre entier x et le cube du nombre entier suivant {x-\-i). Par conséquent, x est la racine cubique du plus grand cube entier compris dans le produit (Nxi2^)-

Ce raisonnement, évidemment généra!, conduit à la règle suivante : Pour extraire la racine cubique d'un nombre (juelconque, avec une approximation donnée sous la forme d'une fraction dont le numérateur est l'unité^ on multiplie le nombre par k cube du dénominateur de la fraction qui exprime l'approximation ,• on extrait la racine du plus grand cube entier contenu dans le produit, et Von donne à cette racine le dénominateur de l approximation.

On ramène ainsi l'extraction de la racine cubique d'un nombre, à une approximation donnée, à Textraction de la racine cubique d'un autre nombre, à une unité près.

339. Applications. Cette règle générale s'applique à tous les

nombres; et comme les détails de l'application sont analogues à ceux qui concernent la racine carrée (306), nous nous contenterons d'indiquer les résultats.

1" Cas où le nombre donné est entier. Exemple: \'ô, à J

près. On a :

Or, la racine, ai)prochée par défaut, de 1710 est 11; donc la racine cubique de 5 est V ou i * par défaut, \^ou i f par excès, à moins de 5 près.

2*^ Cas où lenomhreest une fraction ordinaire. Exemple : yf à Yï pi'tis. On a :

5 „ jXirî^ 5xî 7-^.8 8()4o .,,2

-Xia-'^ = — = — =^:z:zl234 —

Or la racine, approchée par défaut, de 1234 est 10: donc la racine cubique de f est fj par défaut; J^ P^^' excès, à moins de Y2 près.

3" Cas où le nombre est décimal. Exemple: y (^^^yyj ix J près.

On a :

6, 37x8'^ rzr6,37XL)i2r:i326i, 44.

Or la racine, approchée par défaut, de 3261 est 14 ; donc la racine cubique de 6,37 est Y en i J par défaut, ^^ 0^» i i par excès, à moins de J près.

4° Cas où le nombre est incommensurable. Exemple: y y/s, à j près. On calcule d'abord le plus grand entier contenu dans V2 X 4% en remarquant que

(Vi X 4^)' = 2 X 4^ = 2 X 4096 =8192,

et que, par suite, le plus grand entier cherché est la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans 8192, c'est-àdire 90. D'ailleurs, la racine cubique, approchée par défaut, de

90, est 4- donc la racine cubique de y 2 estj ou i par défaut, et J ou I ^ par excès, à moins de { près. 340. Cas ou i/appiioximation est donnée par une fraction

ORDINAIRE DONT LE NUMÉRATEUR n'eST PAS l'uNITÉ. Soit | l'ap-

proximation donnée.

La racine cherchée est le plus grand multiple de | dont le cube est contenu dans le nombre. En raisonnant comme au n» 308, on arrive aisément à la règle suivante : 3Iultipliez le nombre donné par le cube de V approximation renversée ; extrayez la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans le produit, et multipliez cette racine par la fraction qui exprime V approximation.

Exemple: V^"^' ^ 7: près. On a: r.2 /oV II 125 1875

Or la racine, approchée par défaut, de 57 est 3 : donc la racine cubique de 3 1 est 3x|, ou i| par défaut, et 4X5 ou i | par excès, à moins de | près.

Autre exemple : J^ioooo, à moins de 3 unités. On a:

I loooo o 10

looooXô^, = =070 — .

Or la racine^, approchée par défaut, de 370, est 7 ; donc la racine cubique de loooo est 7X3 ou 21 par défaut, et 8x3 ou 24 par excès, à moins de 3 unités près.

341. Cas ou l'approximation est donnée en décimales. Les raisonnements étant ceux du n^SOO, relatifs aux racines carrées, nous nous contenterons d'énoncer les règles pratiques.

lo Le nombre est entier : on écrit, à la droite du nombre entier, trois fois autant de zéros que Von veut avoir de chiffres décimaux a la racine ; on extrait la racine du nombre ainsi obtenu, à moins d'une unité, et Von sépare, sur la droite de la racine trouvée, le nombre de chiffres qu'indique Vapproximation.

Exemple : J/i5 à 0,01 près. On extrait la racine cubique de i5oooooo, qui est 246. La racine cubique de i5 est donc 2,46 par défaut, et 2,47 par excès, à moins de 0,01 près.

2° Le nombre est fractionnaire. Quel qu'il soit, on le réduit

en fraction décimale , et Von y conserve trois fois autant de chiffres décimaux que l'on veut en avoir à la racine : puis, en faisant abstraction de la virgule, on extrait la racine du résultat, à moins d'une unité prés ; et Von sépare, sur la droite de celte racine, le nombre de chiffres décimaux qu'exprime V approximation.

Exemple : ^ / :? à o,ot près. On a :

Or la racine de 428571, par défaut^ est 71") : donc la racine de Y est 0,70 par défaut, ou 0^76 par excès, à moins de 0,01 près.

30 Le nombre est incommensurable. On cherche d'abord une valeur approchée du nombre en décimales, en calculant trois fois autant de chiffres décimaux que la racine doit en avoir ; et Von applique la règle précédente.

Exemple : \ ^ 5 k 0,01 près.

On évalue d'abord y 5 à 0,000001 près. On trouve 1,709975. Puis on extrait, à moins d'une unité, la racine cubique de

i709975qui est 119. La racine cubique de V 5 est 1,19 par défaut, et 1,20 par excès, à moins de 0,01 près.

EXERCICES

I. Extraire les racines cubiques des nombres suivants, écrits dans le système décimal : 1° 107828; 2° 48372486; 3° 156428235448.

(R. :lo47; 2» 364; 3° 5388.)

II. Extraire^ à moins de 0,01 près, les racines cubiques des nombres suivants, écrits dans le système décimal: lo 48 ; 2° 157,89; 3° 9,5927848596.

III. Extraire, à moins de ^^ près, les racines cubiques des nombres suivants, écrits dans le système décimal : 1° 18 ; 2o 8| ; 3" 41,28,

(R. : 1» il ou .,'„ ; 2« .|-J. ou =,V ! 3» || ou 3A.)

IV. Extraire, à moins d'une unité près, les racines cubiques des nombres suivants, écrits dans le système dont h base esi sepl : 1" 56325; 2» 3-2oii'hA)j ; 3o 4ui36i4ii53i.

V. Extraire, à moins de 0,01 près, les racines cubiques des nombres suivants, écrits dans le système dont la base est douze : 1° p; 2° 4a3 ; 3" pp^i^.

(R. : io 2,28 ; 2° 8,a4; 3o 23,56.)

VI. Extraire, à moins de ^ près, les racines cubiques des nombres suivants, écrits dans le système dont la base est six : 1° 33; 20 4|; 30 .2.

(K. : |o 2^2 ou 2j; 2^ Al ou i|; 3" J.)

VU. A rinspeclion du chiirre qui termine un nombie écrit dans le système dont la base est l'un des nombres 4, 5, 6, 7, 8, 9, reconnaître si ce nombre ne peut pas être un cube parfait.

(On raisonnera comme au n» 297.)

VIII. Trouver l'arête d'un cube dont le volume est 10 toises cubes, 20 pieds cubes. (R. : 2t o^ iip 7I.)

IX. La différence entre les cubes de deux nombres entiers consécutifs fsl 1261. Quels sont ces deux nombres? (R.: 20 et 21.)

X. Un enfant s'amuse à empiler des dés à jouer égaux les uns sur les autres, de manière à former un cube parfait. Lorsqu'il en met un certain nombre sur chaque arête, il lui reste 5 dés sans emploi ; mais, pour en mettre un de plus par arête, il lui en manque 32. Combien avait-il de dés? (R. :32.)

XL La diflérence entre un nombre entier et son cube est le produit du nombre entier par le nombre qui le précède et celui qui le suit immédiatement. (On cherchera à décomposer la différence en facteurs.)

XII. Trouver un nombre entier tel, que son cube le surpasse de 7980. (R. ; 20.)

XIII. Trouver un nombre entier tel, que la différence entre son cube et son carré soit égale à 1684. (R. : 12.)

XIV. Le cube d'un nombre entier quelconque appartient à l'une des trois formes y/j, q/^-I- i, 9'"^^— i» ^^ étant un nombre entier quelconque.

XV. On vérifie facilement que la somme des cubes des nombres entiers est égale au carré de leur somme. (Ex.: i^ 4- a^= [i + 2]'^, i^H- 2^+3^= [[ 1 2 1 3]2^ etc.) En admettant cette loi comme vraie pour la somme d'un certain nombre de cubes, on propose de la démontrer géuéralemeul, lorsque la somme contient un cube de plus.

XVI. Calculer les distances des diverses planètes au soleil, en prenant pour unité la dislance de la terre, sachant que les durées des révolutions sidérales autour du soleil sont: pour Mercure, 87^,969 ; pour Vénus,

DES CUBES Eï DES RACINES CUBIQUES. 233

224i,7oi; pour la Terre, 365j, 2563744 ; pour Mars, 686j, 980 ; pour Jupiter, 433ii,585 ; pour Saturne, loySQj/juo ; pourUranus, 3o686i,8ii ; et pour Nepiuno, G^iy.Gi-:».. On admellra la loi de Kepler, d'après laquelle les carrés des révolutions sidérales sont entre eux comme les cubes des distances au soleil.

(R. : Mercure, 0,3871; Vénus, o,7'i33 ; Mars, 1,5237 ; Jupiter, 5,2028; Saturne, 9,5389 ; Ur;inus, 19, i8u() ; Neptune, 3o, 0370.