CHAPITRE IIL DES PUISSANCES ET RACINES D'INDICE QUELCONQUE

342. Formation des puissances. On forme la quatrième puissance d'un nombre en multipliant le cube par le nombre; on forme la cinquième en multipliant la quatrième par le nombre; et ainsi de suite.

On peut encore former la quatrième puissance, en multipliant le carré du nombre par lui-même ; car 12^ X 12^= 12'». On peut former la cinquième, en multipliant le cube par le carré : car 12^ X 12^= I2^ Et, en général,, on peut former une puissance d'un certain degré, en multipliant entre elles des puissances de degrés inférieurs, à la condition que la somme des degrés des facteurs soit égale au degré de la puissance cherchée.

Les puissances d'une fraction irréductible sont des fractions irréductibles ; car les deux termes de la fraction étant premiers entre eux, il en est de même (121, 2") de leurs puissances.

345. Principe. Lorsqu'on élève à une certaine puissance la somme de deux nombres, le premier terme de la puissance est la puissance {de même degré) du premier nombre; le second terme est égal au produit de la puissance du premier nombre d'un degré inférieur d'une unité par le second nombre et par l'exposant de la puissance.

Désignons les deux nombres considérés par a et &, leur somme par {a-hb) ; on sait que (a+&)^ = a^-{-'iab-^b^

et que (a + 6)^ = a^+3a^6+ 3 «6^+6^

Multiplions {a+ bf par {a + ^), et n'écrivons que les termes qui nous intéressentj nous aurons :

Multiplions de même ce résultat par (a+ 6) ; nous aurons ;

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La loi de formation est évidente, et démontre le principe.

344. Corollaire. Lorsqu'un nombre est décomposé en dizaines et unités , le premier terme do la puissance ni>»e du nombre est la puissance mm" des dizaines f et le second terme est égal à m fois la puissance (m — i)i>i" des dizaines multipliée par les unités. En désignant les dizaines par d, et les unités par u , d étant pris avec sa valeur relative, on a

((i+ î/)'" = d''' -i- md'^-hi -{-.,..

De plus, d"' est un nombre entier d'unilés du m^^ ordre, que Ton obtient en élevant à la puissance m"*" le nombre des dizaines ; et md'^~' u est un nombre entier d'unités du (m — i)""' ordre.

345. Règle pour l'extraction de la racine cinquième d'un nombre entier. Le lecteur a pu remarquer, dans les théories des racines carrées et cubiques, des analogies assez grandes, pour comprendre que ces théories ne sont que des cas particuliers d'une théorie générale, applicable à l'extraction d'une racine d'indice quelconque. Nous ne voulons pas développer celte théorie générale dans tous ses détails : il nous suffira d'en exposer le cas le plus important, celui où le nombre est entier et où la racine a deux chiffres. Il sera facile ensuite de s'élever au cas générai.

Nous supposerons qu'il s'agit d'extraire, a moins d'une unité, une racine cinquième; et nous raisonnerons sur le nombre 73648291.

Ce nombre étant compris entre 10^ et lo'o ^q^^ ]çg racines sont 10 et 100, sa racine, exacte ou approchée, renferme deux chiffres, un chiffre de dizaines et un chiffre d'unités ; et, par conséquent, le nombre donné contient la puissance cinquième des dizaines de la racine, plus 5 fois la quatrième puissance de ces dizaines multipliée par les unités, plus, etc. Or, la cinquième puissance des dizaines est un nombre entier de centaines de mille, qui doit se trouver contenu dans les 736 centaines de mille du nombre. On est donc amené à séparer les 5 chiffres 48291 sur la droite ; el l'on prouve, comme au n" 288, que si Von extrait la racine de laplus grande puissance cinquième contenue dans y3Cy, considéré comme représentant des unités simples, le chiffre 3 que l'on obtient est, sans essai, le chiffre des dizaines de la racine. D'où la première partie de la règle.

Gomme 3^= 243, si l'on retranche 243 centaines de mille du nombre, le

reste 49348-^-91 ne contienl que les autres parties de la cinquième puissance de la ,racine et un reste possible. Or, 5 fois le produit de la quatrième puissance desdiz;iiiH's pnr les unités forme un nombre de dizaines de mille, qui doit se trouver exclusivement renfermé dans les 49^4 dizaines de mille du reste. On est donc amené à séparer les quatre chiffres 8291 sur la droite. D'un autre côté, 5 fois la quatrième puissance de 3 dizaines vaut 4o5 dizaines de mille : c'ebt l'un des facteurs du produit. Si donc 4934 dizaines de mille ne contenaient pas autre chose que ce produit, on les diviserait par 4o5 dizaines de mille, ou, ce qui revient au même, ou diviserait 4934 par 4o5; et Ton obtiendrait l'autre facteur, c'est-à-dire le chiffre des unités. Mais il peut arriver que, outre ce produit , 4934 dizaines de mille contiennent des dizaines do mille provenant des autres parties de la puissance et du reste; de sorte que le quotient de la division peut être plus fort que le chiffre des unités, et on doit l'essayer. Cet essai se fait, d'ailleurs, en plaçant le quotient trouvé à droite du chiffre des dizaines, et en élevant le nombre ainsi formé à la cinquième puissance. Si cette puissance peut se retrancher du nombie donné, le chiffre est bon ; si la soustraction est impossible, le chiffre essayé est trop fort; ou le diminue d'une unité, et on recommence l'essai.

Dans l'exemple proposé. 4934 contient 9 fois 4"^ ; mais 9 et 8 sont trop forts, et 7 est bon, car 37^^ = 69343907. La racine cinquième est donc 37, et le reste est 43o4334.

346. Règle générale pour l'extraction de la racine mmc d'un nombre ENTIER. Il n'est pas difficile de conclure des raisonnements qui précèdent, et des analogies évidentes avec les racines catrée et cubique, la règle générale.

Pour extraire la racine m'"* d'un nombre entier, on partage le nombre en tranches de m chiffres, en allant de droite à gauche. On extrait la racine m^^ de la première tranche à gauche ; ce qui donne le premier chiffre de la racine. On soustrait de celte tranche la m""^ puissance du chiffre trouvé; à côté du reste, on abaisse un chiffre de la seconde tranche, et Von divise le nombre ainsi obtenu par m fois la (m — i)"'^ puissance du chiffre trouvé; ce qui donne le deuxième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. Four Vessayer, on le place à côté du premier chiffre, on fait la puissance m™*^ du nombre ainsi formé ; et cette puissance doit pouvoir se retrancher des deux premières tranches {à gauche) du nombre donné. Lorsqu'on a vérifié le se- Qond chiffre et obtenu le reste, on abaisse, à droite de ce reste, le pt^emier chiffre de la troisième tranche, et fou divise le nombre ainsi formé par m /bis /a (m— i)"^' puissance delaracine déjà trouvée; ce qui donne le troisième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. On fess:ùc en le plaçant à droite

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dtm deux premiers, et en éleOiVU fcîiscniblc à Id m''"'- puissunce ; le rcsidial doil pouvoir se retrancher dcslruis premières tranches. On continue ainsi, jusqua c: qu'on ait ('puise iontrs les tranches.

3t7. Cr. qu'on doit entf.ndp.e par racine m'"'' d'un NOMDnr;. Ondrmonlrr, comme aux no» 283 el3i5, que, lorsqu'un nombre entier n'est pas une puissance )7i'"'' d'un autre nombre entier, il n'existe pas de nombre fractionnaire dont la puissance m'"*" soit éçjalc au nombre donné. On démontre encore, comme aux nos 298 et 33i, qu'/7 m esl de môme, lorsque le nombre est une fraction irréductible dont les deux termes ne sont pas à la fois des pwssances m"""* parfaites dénombres entiers.

On démontre enfin, comme aux n°"- 3o3 et 335, qu'on peut toujours trouver deux nombres commeusurables, aussi peu. différents l'un de l'autre que l'on veutj, dont les puissances în"""^ comprennent un nombre donné N.

Onpeut donc concevoir deux séries dénombres commcnsuraLles, les uns croissants et dont les puissances m" soient inférieures à N, les autres décroissants et dont les puissances m'* soient supérieures à N. Ces deux séries illimitées convergent vers une limite commune ; et c'est celle limite commune, parfaitement déterminée (mais que Ton ne saurait écrire en nombres), que l'on con\lent d'appeler racine ni'"*' de N, el de désigner par

le symbole ^ N.

La racine étant comprise, d'après celte définition, entre deux termes correspondants des deux séries, ces deux termes sont des valeurs approchées delà racine, l'une par défaut, l'autre par excès ; el l'erreur commise est moindre que leur différend'^ qui peut d'ailleurs devenir aussi petite quon le voudra.

Ces considérations conduisent à la définition générale des iacinesm^"'^par approximation. La racine ni'"'' d'un nombre N, à une approximation

donnée -» est le plus grand nombre de n'""^ dont la puissance m™" soit contenue dans N, Ce plus grand muliiple est unique, il est iiiférieur à y' N ; le muliiple suivant esl supérieur à celte racine. On dit, en conséquence que le premier est la racine approchée par défaut, et le second lu racine approchée par excès.

3i8. Extraction de la racine m'"- d'un nombre N, avec une approximation DONNÉE -. Oa démontre, comme aux n»» 3o4 et 338, que, pour ex n

traire la racine mmc d'un nombre N, avec une approximation -, // faut

multipliera par n'», exlraire la racine mm^ du produit, à une unité près, tt

donner à celte racine pour dénominateur le dénominateur n;et l'on ra-

mène ainsi rextraclion de yj N, à une approximation -i à l'extraction de

N X «'", à une unilé près.

Cette règle générale s'applique d'ailleurs arsément, et nous n'en donne-

rons qu'un exemple. Extraire la racine cinquième de 3, à 0,01 près.

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