CALCUL
On multiplie d'abord f par loo^, et l'on prend l'entier contenu dans le produit: ce qui revient à réduir f en décimales avec 10 chiffres décimaux, et àsupprimer la virgule ;on a ainsi 6666666666. On extrait la racine de ce nombre, à une unité près; on trouve 92. La racine cherchée est donc 0,92 par défaut, 0,93 par excès, à 0,01 près.
349. Racines dont l'indice est un produit de facteurs. La méthode générale pour l'extraction des racines est extrêmement laborieuse ; il n'est donc pas sans utilité de montrer comment on peut la simplifier dans certains cas. Or, toutes les fois que l'indice de la racine à extraire n'est pas un nombre premier, on peut ramener l'opération à plusieurs autres plus simples. On a vu, en effet (277), que, "pour extraire d\in nombre N (//verses racines successives, il suffit d'extraire de N une racine unique dont Vindice est le produit des indices primitifs. Et ce principe est applicable au cas où les racines successives sont incommensurables (347).
Il résulte de là que :
La racine 4'"^ d'un nombre est la racine carrée de sa racine carrée; car 4 = 2X2-
La racine 6"^" d\in nombre est la racine carrée de sa racine cubique, ou la racine cubique de sa racine carrée : car 6=: 2X3 = 3X2.
DES PUISSANCES ET RACINES d'INDICE QUELCONQUE. 230
La racine 8"»'' d'un nombre est la racine carrée de sa racine 4"^'^, ou la racine 4'"^ de sa racine carrée : elfe est, par suite, la racine carrée de la racine carrée de la racine carréedu nomlre; car8=9.X4==4X2 = 2X2X2.
La racine i^me d'un nombre est la racine carrée de sa racine G'»e, ou la racine G^e de sa racine carrée, ou, plus généralement, le nombre obtenu en extrayant successivement, et dans im ordre quelconque^ deux racines carrées et une racine cubique : car 12 = 2X(^—()X2 = 2X2X3.
Toutes les fois queTindice de la racine ne coniiendra pas d'autres fac» leurs premiers que 2 et 3, la racine s'obtiendra par des extractions successives de racines carrées et de racines cubiques.
Examinons maintenant comment on obtiendra l'approximation que l'on désire.
350. Règle. Pour obtenir^ à moins d^une unité par défaut, une racine entière d'un nombre^ il suffd d"* extraire, à moins d'une unité par défaut, les racines entières successives dont dépend la racine cherchée.
Pour le prouver, prenons un exemple, V/ ^ • on a :
Désignons par a la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans N, par b la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans a, par cla racine cubique du plus grand cube entier contenu dans b. Il faut montrer que c est la racine douzième de la plus grande puissance douzième contenue dans N.
Or, les opérations successives donnent lieu aux inégalités suivantes :
[i] I ¥^a et I a < (6+if [-]
Les inégalités [1] fournissent les suivantes (en élevant la seconde au carré et la troisième à la quatrième puissance) :
et par suite N:^c'^;
ainsi c'^ est contenu dans N.
D'un autre côté^ en vertu des inégalités [i], b est plus petit que (c^-I)^ au moins d'une unité, puisque ces nombres sont entiers ; donc 6-1- 1 est au plus égal à (c + I f ; et l'on a :
(6+iX(c+i)% d'où (6+î)2<^(c+i)6.
Or, ona a<(64~i)% et par suite a<(c+i)'^.
2iO LIVRE V. — CHAPITRE III.
Lis différence cuire a d (c + i)" ne pouvant èlre inférieure à i, il en ré. u lie que Ton a
(a+ iX (c4- if , d'où (an- i)^ < (c + 1)'«.
Or, on a N<(a4-i)-; donc N < (c+ i)*-.
Ainsi (c4- i)'^ n'est pas contenu dans N. On peut donc écrire la double
inégalité c'-'< N < (c+ i)^';
donc c est la racine entière de N, à moins d'une unité par défaut. C.Q.F.D. 351 . Application : Extraire la racine /|2"i* de 68 234 582 367 235, à moins d\me unité.
TABLAU DU CALCUL.
5oo86i88
5oo86i88. . 12 2583 367749 3 (008986549
On extrait d'abord la racine cubique du nombre donné, qui est 4o863 par défaut; puis on extrait la racine carrée de 4o863, qui est 202 par défaut; on extrait enfin la racine carrée de 202, qui est 14 par défaut. La racine 4 2"i* cherchée est donc 14 par défaut, i5 par excès, à moins d'une unité près.
On aurait pu commencer par l'extraciion des deux racines carrées, et finir par l'extraction de la racine cubique; ou bien extraire successivement une racine carrée, une racine cubique et une racine carrée.
352. Cas ou l'approximation donîsée est -. On ramène aisément ce
cas au précédent, à l'aide du principe du n" 348 : il sufpt de muUiplicr le nombre donné par nm, et de chercher le p/(/s grand entier contenu dans le produit : c'est à cet entier qu'on applique la règle du n" 350.
Exemples : i" Extraire y 3^-- à moins de 0,1 près. On réduit d'abord 3^ en décimales, et l'on trouve:
— = o,iJ5i3:jiJjiJo. . .
DES PUISSANCES ET RACINES d'iNDICE QUELCONQUE. 2\\
On nuiliiplie le résultai par lo*', et l'on ne garde que la partie entière r35[35i35i35. On extrait ensuite la racine cubique qui est 5i3i, puis la racine carrée qui est 71, puis la seconde racine carrée qui est 8. La racine 12"^'" de y- est 0,8 par défaut, et 0,9 par excès, à moins de 0,1 près.
''/ zz:
2" Extraire, à 0,1 près, y 632,5+/4^^î' 0"^ ^^it d'abord évaluer le nombre incommensurable donné 63'2,5-i- v 4534 avec 12 chiffres décimaux; il suffit pour cela d'évaluer / 4^34 avec celte approximation : on trouve (Jj, 334983478129. . . Ou ajoute à ce nombre 632^5 ; et le nombre incommensurable donné est 699,834983478129. .. On extrait alors la racine cubique, à moins d'une unité, de 699834983478129, qui est 88783 par défaut ; puis on prend, à moins d'une uniié, la racine carrée de 88783, qui est 297 par défaut ; on prend enfin, à moins iPune unité, la racine carrée de 297, qui est 17 par défaut. La racine cherchée est donc 1,7 par défaut, r,8 par excès, à moins de o,t près.
3° Évaluer, k moins de 0,01 près, y o,3 + y'(),oo5+ y/o, 000002» Pour obtenir la racine cubique demandée, avec deux chiffres décimaux exacts, il
suffit de connaître la valeur approchée du nombre 0,3 + y'ojOoS -h y 0,000002 avec six chiffres décimaux; car on connaîtra alors la partie entière du produit de ce nombre par 10^. Pour arriver à ce dernier résultat, il suffit de connaître la valeur approchée du nombre o,ooj -f- y/0,000002 avec 12 chiffres décimaux, et, par conséquent, de calculer y 0,000002 avec 12 chiffres décimaux. Si l'on calciile d'abord ce dernier nombre, et qu'on lui ajoute Ojooj ; puis qu'on exlraye la racine carrée du résultat avec 6 chiffres décimaux, et qu'on lui ajoute o,3; puis enfin qu'on exlraye la racine cubique de la somme avec 2 chiffres décimaux ; on trouve pour la racine demandée 0,72.
Ces méthodes sont très-laborieuses : on peut abréger considérablement ces longs c:dculs, comme on le verra, lorsque nous traiterons des npproximations en général (voir la note h la fin du volume).
353. Produits de r.\cines. 1° Lorsque les rac/ne.s de deux nombres oui le même indice, il suffit, pour en faire le produit, de multiplier les deux nombres Cun par VaiitrCy et d'extraire du produit une racine de mCme indice.
Ainsi
m/ "7" m/rr >r> j— —
y/AXvB= V^AXB.
Ces deux quantités sont égales, en effet, puisque la puissance m'^^ de chacune d'elles est égale à AxB (277).
Exemples :
1» ^48x/75= 4^X75 = /36oo = 60.
2° Lorsque les racines de deux nombres ont des indices différents, on les ramène au même indice, en élevant chacun des deux nombres à une puissance marquée par V indice delà racine de Vautre nombre, et en prenant pour indice commun le produit des indices ; puis on fait leur produit, d'après la règle précédente*
Ainsi les racines L^^. et V^ sont équivalentes respectivement à ''J/a'/
et à ^^V, et Ton a :
v^ÂxyB=^yÂ^^^.
Ces deux expressions sont égales, en effet ; car^ en élevant la seconde à la puissance pf/*"', on obtient A"? X B^ : et, en élevant la première à la même puissance, on a (277) le même résultat :
Exemples :
I0 V^i5x/i2 = Vi5^ X 1/12^= v/i5^X 12'^ = v/486000 = 8,8... 2f V72 X /3oo = J/yji^xSoo^ = /373248X90000 = 56,8
3» Lorsque le nombre des racines est supérieur à -i, on réduit ces racines au même indice, en élevant chacun des nombres à une puissance marquée par le produit des indices des autres racines, et en prenant pour indice commun le produit des indices primitifs ; puis on fait leur produit, d'après la règle précédente.
Ainsi y À X y B X V'g = ''^y A'ï'- X Bp'- X C^'^.
Ces deux expressions sont égales, en effet; car la puissance pgr'"" de la seconde est Aï" X Bj"' X Gp? ; et il en est de même de la puissance j)gr'"' de la première ; on a :
Cyi X 'i/B X ;'C )•"" = a/À)"" X (VBr'X (Vc)"'^ = Aï' X B." X O', Exempte: y/ â"x ^3 x v^ 5 = V 2'-x3' X 5«.
DES PUISSANCES ET RACINES d'iNDICE QUELCONQUE. 243
Ces calculs d'ailleurs sont susceptibles des mêmes simpliBcations que la réduction des fractions au même dônominateur. Ainsi
v/5X^ir X pi3 = \»5^'Xii^°Xi3^
EXERCICES
I. Extraire, à moins d'une unité, les racines cinquièmes des nombres suivants: 1» 7384292; 20459886274765; 30563284905286735479.
(R. : lo 23; 2o 214; 3o 8915.)
II. Extraire, à moins de 0,01 près^ les racines septièmes des nombres
suivants: io c^; 2» — * 3» 4-,
(R. : lo 1,36; 2° 0,88; 30 1,73.)
III. Extraire, à moins de -, les racines huitièmes des nombres suivants :
4° 45; 2o 2-; 30 0,428. f?x.: V IvX ^; 2o | et 5; 30 4 et |A 4 V o b j o j j J
IV. Évaluer, à moins de 0,01 près: 'lo y 7 — ^^3 ; 2o y 12 + ^/5;
V. Évaluer, à moins de 0,001 près: V4 + y/5+v^. (R. : 1,876.)
VI. Évaluer, à moins de 0,01 près: y 23 + Y/1925 — ^120000. (R.:2,47.)
VII. Le côté du dodécagone régulier, inscrit dans un cercle dont le rayon
est 7™:36, est égal à 7"i,36Xv2 — V'-^- Calculer ce côté , à moins de om,ooi près. (R. : 3"*, 809.)
