I. DES RAPPORTS

354- Définition. On nomme rapport de deux grandeurs de même espèce le nombre qui mesurerait la première, si Ton prenait la seconde pour unité.

355. Évaluation d'un rapport. Lorsque les deux grandeurs sont rapportées à la même unité, et par suite évaluées en nombres, le rapport de la première grandeur à la seconde est le quotient de la division du premier nombre par le second.

Pour le montrer, distinguons trois cas :

1° Les deux grandeurs A et B sont évaluées en nombres entiers. Par exemple, ce sont des longueurs : A vaut 8 mètres, et B en vaut i5. Puisque A vaut 8 fois ce que B vaut i5 fois, on peut dire que A vaut 8 fois le quinzième de B, ou les yb ^^ ^' Si donc on prenait B pour unité, A serait mesuré par /g. Le rapport de A à B est donc ye, ou le quotient de 8 par i5.

2° Les deux grandeurs k etB sont évaluées en nombres fractionnaires. Par exemple, A vaut | de mètre, B vaut ^^ de mètre. Le quotient de la division de l par yï étant (181 on peut dire que

^ d'unité = — d'unité X ??• 9 II 4o

Si donc Funité est le mètre^ celte égalité signifie que

En d'autres termes, A est les H de B. Si donc on prenait B pour unité, A serait mesuré par j|. Le rapport de A à B est donc j|, c'est-à-dire le quotient de la division de | par ^.

3° Les grandeurs A etBsont évaluées en nombres incommensurables. Par exemple, Avant V2 mètres, Bvaut ^3 mètres; le rap-

port de A à B est ^. En effet, les valeurs de \J2, approchées \/3

par défaut;, à moins de 0,1 0,01 0,001, etc., sont 1,4 1,41 i,4i4^ etc. ; et, par suite, les valeurs approchées par excès sont 1,5 1,42 i,4i5, etc. Les valeurs de \/3, approchées par défaut, sont 1,7 1,73 1,782, etc., et les valeurs approchées par excès sont par suite 1,8 1,74 1,733, etc. Considérons les deux séries de quotients suivants :

Chacun des termes de la première série est, d'après nos dé-

finitions, inférieur au quotient -^, puisque le dividende est

plus petit que \J2, et le diviseur plus grand que V3 ; et chacun des termes de la seconde série est supérieur au même quotient

■—, puisque le dividende est plus grand que \2, et le diviseur

plus petit que \J3. D'ailleurs, la difi'érence entre deux termes correspondants des deux séries diminue à mesure qu'on prend des valeurs plus approchées, et peut devenir aussi petite qu'on

le veut. Le quotient -^ est donc la limite commune aux deux séries.

D'un autre côté, la longueur A est supérieure à ira, 4 et inférieure à 1^,3; la longueur B est supérieure à i«»;, 7 et inférieure à i"^,8. Comme ces nombres sont commensurables, on

en conclut que le rapport de A à B est supérieur à -~, et infé-

rieur à -^. On verra de même que le rapport de A à B est

supérieur à tous les termes de la première série, inférieur à tous les termes de la seconde. Il est donc la limite commune

v/2 aux deux séries ; il est donc égal au quotient -^.

356. Rapport de deux nomrres. Puisque le rapport de deux grandeurs de même espèce est toujours exprimé par le quotient des nombres qui les mesurent, il est naturel de nommer rapport d'un nombre à un autre, le quotient de la division du premier par le second.

Le rapport d'une grandeur A à une grandeur B et le rapport

d'un nombre a à un nombre b s'écrivent sous forme de fraction

ir-5 ï-, el s'énoncent A sur B, a sur b: ils s'écrivent encore à

Faide du signe de la division A : B, a : 6, et s'énoncent A divisé

par B, a divisé par b.

Un rapport se compose de deux termes : le premier. A, a, se

nomme ï antécédent , ou le numérateur ou le dividende; le

second, B, 6, le conséquent ou le dénominateur ou le diviseur.

357. Rapport inverse. Le rapport inverse ou réciproque de deux grandeurs est le rapport de la seconde à la première : il est égal au quotient du second nombre divisé par le premier.

Le produit de deux rapports inverses est égal à l'unité. Car^

supposons les deux grandeurs évaluées en nombres : les deux

a b rapports seront j-, — S'ils sont commensurables, on peut les

regarder comme des fractions ordinaires à termes entiers (355),

et le produit est , , ou i. S'ils sont incommensurables, on u ,^^ a

arrive au même résultat, en les considérant comme limites de

leurs valeurs commensurables de plus en plus approchées.

358. Remarque. Il n'est pas nécessaire, pour raisonner sur le rapport de deux grandeurs de même espèce, de Tévaluer préalablement en nombre. Mais lorsqu'on soumettra ce rapport à des calculs, il sera toujours entendu que chacune des grandeurs est, dans le rapport, remplacée par le nombre qui la mesure. L'unité, d'ailleurs, restera arbitraire : elle sera seulement la même pour les deux grandeurs.

359. Principe i. On n'altère pas la valeur d'un rapport, en multipliant ses deux termes par un même nombre.

Si le rapport était toujours une fraction à termes entiers, comme les fractions ordinaires, et si le multiplicateur était toujours entier lui-même, le théorème serait démontré (159). Mais les termes du rapport et le multiplicateur pouvant être fractionnaires ou incommensurables, il devient nécessaire de faire une démonstration nouvelle.

Nous désignerons par une lettre, pour abréger l'écriture, chacun des termes du rapport ainsi que le multiplicateur ; et nous allons démontrer que

axm a

* l}Xm~b'

En effet, le rapport ^ est le quotient de la division de a par

b ; désignons-le par q; et nous aurons, par définition,

a=zbXq;

multiplions par m ces deux quantités égales, nous aurons :

aXtn = bxqX m, ou

égalité qui exprime que le quotient de la division de {axm) par

a y<c m> [b X w), ou le rapport r , est égal à q, c'est-à-dire au rapport ^. C.Q.F.D.

360. Remarques. 1 o Diviser un nombre par m, c'est le multi plier par —, quand m est commensurabie (181); il en est donc de

luème (225) quand m est incommensurable. On n'altère donc pas la valeur d'un rapport, en divisant ses deux termes par un même nombre.

2<> On peut former une infinité de rapports égaux entre eux : il suffit de multiplier les deux termes d'un rapport quelconque par un même nombre.

3GI. Corollaire. Ce théorème fondamental conduit aux mômes conséquences que le théorème (159) relatif aux fractions ordinaires. Ainsi :

lo On simplifie un rapport, en divisant ses deux termes par un même nombre.

2° On réduit des rapports au même conséquent, en multiphant les deux termes de chacun par le produit effectué des consé- <|uents de tous les autres.

362. Addition et soustraction des rapports. On peut toujours supposer que les rapports ont le même conséquent. Cela posé, soit à effectuer l'opération

abc

Pour multiplier cette expression par m, il suffit évidemment de multiplier chaque terme par m, cVst-à-dire par son diviseur :

on obtient pour produit a + 6 — c. Par conséquent, 1

est le quotient de la division de a + & — c par m, c'est-à-dire

Règle. On réduit les rapports au même conséquent ; on ajoute alors ou on soustrait les antécédents, et Von donne au résultat le conséquent commun.