II. DES PROPORTIONS

367. DÉFINITIONS. Lorsque deux rapports sont égaux, quelles que soient les grandeurs que l'on considère, on dit qu'ils forment une proportion.

Une proportion existe donc entre quatre grandeurs A, B, CD.

A et B sont de même espèce; C et D sont aussi de même espèce, mais elles peuvent être d'une autre espèce que A et B. Si Ton évalue A et B en nombres a et b, en les rapportant à une même unité quelconque ; et si de même on évalue G et D en nombres c et d, en les rapportant aussi à une même unités

a c les rapports numériques -r' -. seront égaux; et Ton aura la proportion

p^d Il n'est pas toujours nécessaire que les grandeurs soient

remplacées par des nombres, quand on raisonne sur des proportions; mais cela est toujours permis, et cela devient indispensable, quand on en soumet les termes à certains calculs.

Les antécédents de chaque rapport A, C sont les antécédents de la proportion. Les conséquents B, D sont le?: conséquents de la proportion. Le premier antécédent A et le second conséquent D sont les extrêmes de la proportion. Le premier conséquent l> et le second antécédent C sont les moyens de la proportion. La valeur commune aux deux rapports, c'est-àdire le quotient de la division, se nomme quelquefois la raison de la proportion. Le premier terme est A, le seconclB^le troisième G et le quatrième D.

Exemple : — = —

est une proportion dont la raison est ^ ; 8 et i4 sont les antécédents, 12 et 21 les conséquents, 8 et 21 les extrêmes, 12 et 14 les moyens.

On énonce une proportion en disant : A est à B, comme C est àJ)\ 8 est à 12 comme 14 est à 21 . On l'énonce encore : A sur B égale G sur D; 8 sur 12 égale 14 sur 21.

On écrivait autrefois une proportion ainsi :

Mais on a remplacé cet algorithme par Texpression de l'égalité des rapports, qui exprime plus clairement ce que signifie une proportion.

368. Principe fondamental. Pour que quatre nombres di,h,c,â, forment une proportion, il faut et il suffit que le produit des extrêmes soit égal au produit des moxjens.

i° La condition est nécessaire : en effet, si l'on a la proportion

on peut réduire les deux rapports au même conséquent (361), et l'on a :

axd __ r/xb^ bX(l~~ dxb

Or ces deux quotients égaux ont le même diviseur bx d; il

faut donc que les deux dividendes soient égaux, c'est-à-dire

que l'on ait

axd=cxb.

^° La condition est suffisante : car si l'on a quatre nombres

a, b, c, d, tels (jue

on peut diviser ces deux produits égaux par un même nombre bxd; ics quoiienls'sont égaux, et l'on a :

aX d cxb

bxd~~ bxd'^

ou, en simplifiant chaque rapport (361),

Cette propriété fondamentale permet de vérifier aisément si quatre nombres donnés forment ou ne forment pas une proportion. Par exemple, les quatre nombres lo, i5, 16, 24 forment une proporlion; car 10 x 24 = 240, et i5 x 16 = 240. Mais les quatre nombres 8, i3, 20, 32 ne forment pas une proporlion; car 8 x 32 = 236, et i3x 20 = 260.

369. Quatrième proportionnelle a trois nombres. Une quatrième proportionnelle à Irais nombres a, b, c, est le quatrième terme x d'une proportion qui commence par les trois nombres a, b. c (rangés dans Tordre où ils sont donnés). Cette

pro[)ortion s'écrit donc :

Puisque le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, on a :

axx^=bx c,

et, par conséquent, x est le quotient de la division de b xc

par a :

25 i LIVRE YI. — CHAPÏTRK î.

hxr a

Règle. Pour trouver une quatrième proportionnelle à trois nombres donnés, on divise par le premier le produit des deux autres.

Exemple : la quatrième proportionnelle 37, 12, 3o est

370. Proportion continue; troisième proportionnelle a DEUX nombres. Lorsque^ dans une proportion, les moyens sont égaux, ils prennent le nom commun de moyen terme , et la proportion est dite continue.

Exemples :

sont des proportions continues. Il n'y a plus alors que trois nombres distincts dans la proportion ; et le dernier est appelé troisième proportionnelle aux deux autres.

Soient deux nombres a, h ; une troisième proportionnelle à a et h est un nombre x tel que l'on a

Le produit des moyens est 6' : donc le produit a X ^ des extrêmes est aussi 6^; et, par suite, x est le quotient de la division de 6- par a :

Règle. Pour trouver une troisième proportionnelle à deux nombres donnés, on divise le carré du second par le premier. Exemple : la troisième proportionnelle à i3 et à 8 est

371 . Moyenne proportionnelle entre deux nombres. Une moyenne proportionnelle entre deux nombres r, b, est le moyen terme x d'une proportion continue dont a et b sont les extrêmes. Cette proportion s'écrit donc :

Le produit des cxlrêmes est a x & : donc le produit des moyens x^ est égal haxh; et, par suite^ x est la racine carrée du produit a x?^ :

x=\Jaxb.

Règle. Pour trouver une morjenne proportionnelle entre deux nombres donnés, on extrait la racine carrée de leur produit.

Exemple : la moyenne proportionnelle entre 4 et 9 est x = \/4 X 9 = 6.