Changements de place que l'on peut faire subir aux

QUATRE termes d'uNE PROPORTION, SANS QU'iLS CESSENT DE FORMER

UNE PROPORTION. On pcut Opérer entre les quatre termes d'une proportion tous les changements de place qui n'allèrent pas l'égalilé entre le produit des extrêmes et le produitdes moyens; et Tonne peut leur en imposer aucun autre (368).

Ainsi on peut : {^permuter les moyens entre eux ; 2° permuter les extrêmes entre eux ; S^ mettre les moyens respectivement à la place des extrêmes.

De là résultent huit manières différentes d'écrire quatre nombres qui peuvent former une proportion. Soient, en effet, quatre nombres a, b, c, rf, formant une proportion :

On aura

, en permutant

les

moyens entre eux :

Mettant

ici les moyens à

la place des extrêmes :

Permutant, dans cette dernière proportion, les moyens entre eux:

"256 LIVRE VI. — CHAPITRE l.

Mettant ici les moyens à la place des extrêmes :

ri '^ ^

Permutant de nouveau les moyens :

0 a Mettant encore les moyens à la place des extrêmes :

ri ha

t7l cl = c •

Permutant enfin les moyens :

On obtient bien ainsi huit manières distinctes d'écrire en proportion les quatre nombres a, 6, c, d. Il y a deux de ces dispositions qui commencent par a, deux par b, deux par c, deux par d. Mais il ne saurait en exister d'autres. Car si une proportion commence par a, elle doit finir par d; par suite, les deux moyens^ b et c, ne peuvent fournir entre a et (/ qu(i deux dispositions, savoir : a, b, c, d, ou a, c, 6, d. Par conséquent, chacune des dispositions que l'on obtiendra, en coniîuençanl par un des quatre termes, fournira deux proportions et deux seulement.

Si l'on comptait toutes les manières dont on peut disposer quatre nombres a, b, c, d, l'un à la suite de Tautre, on en trouverait aisément vingt-quatre. Il y a donc, entre les quatre nombres, huit proportions vraies et seize proportions fausses.

373. Autre conséquence. On peut aussi multiplier ou diviser à la fois par un même nombre l'un des extrêmes et l'un des moyens d'une proportion^ sans qu'il cesse d'y avoir proportion. Car on multiplie eu on divise ainsi par un même nombre le produit des extrêmes et le produit des moyens; ce qui n'altère pas leur égalité.