Comparaison des proportions. 1" Si deux proportions

ont un rapport commun, les rapports non communs forment une proportion.

Si Ton a :

on aura :

car deux quantités jj, j-ïï^ égales à une troisième t, sont égales

entre elles.

2*^ Si deux proportions ont les mêmes antécédents, le rapport

des conséquents de ïune est égal au rapport des conséquents de

Vautre.

Si Ton a :

b~~cr ¥~d/' on aura :

car si^ dans les proportions données, on change les moyens de

place, on a :

proportions qui ont un rapport commun (T), et fournissent la proportion demandée.

On verra de même que, si deux proportions ont les mêmes conséquents, le rapport des antécédents de l'une est égal au rapport des antécédents de l'autre.

3° Si deux proportions ont les mêmes moyens, les quatre extrêmes forment une proportion, pourvu que l'on prenne les deux extrêmes de l'une comme extrêmes et les deux extrêmes de Vautre comme moyens.

Si Ton a :

on aura :

- = —, ou — = JT.

Car des deux proportions données on tire (368) : axd = bxc, a'Xd' =.hxc,

d'où

axd — a'x. d',

et par suite (368) :

---=-, ou ~ = %. C.Q.F.D.

On verra de même qae^ si deux proportions ont les mêmes extrêmes, on peut former une proportion avec les quatre moyens, dans les mêmes conditions.

Si Ton a :

b "~" d' h' ~~ d' on aura :

375. Combinaison des proportions. 1° On peut multiplier des proportions terme à terme; les quatre produits forment une proportion.

Si l'on a :

on aura :

a X a' xa" __ c X c' >< c" bxb' x¥' " dx d' X d"'

a a^ a" Caries facteurs p jr, yu , dont le produit constitue le pre-

c d c" mier rapport, sont respectivement égaux aux facteurs y j^j ^,^

dont le produit constitue le second rapport.

4° On peut diviser deux proportions terme à terme -, les quatre quotients forment une proportion.

Si l'on a :

on aura :

bTb' '"d'-lF'

car

a\a' a , b axh' a h' a ^a/

bTW "" 7i' ' b^ "" a^><b "'b^â/'^b'b^'' et de même

JTd'~'"d'd''

Cl c Oy, dans ces deux divisions, les dividendes r-' -. sont égaux,

a' c' ainsi que les diviseurs 77» -./ : les quotients, c'est-à-dire les

rapports^ sont donc égaux.

30 Si l'on élève à une même puissance les quatre termes d'une proportion, les quatre puissances forment une proportion.

Si Ton a :

b~d' on aura :

car élever les quatre termes au cube^ c'est multiplier, membre à membre (1°), trois proportions identiques.

¥ Si Von extrait des quatre termes d^une proportion des racines de même indice, les quatre racines forment une proportion.

Si l'on a :

^ b d' on aura :

Va \/c

P ~" Vd

Ces rapports, en effet, sont égaux, même quand ils seraient

a c incommensurables , puisque leurs cubes ^ et - sont

égaux (3o).